锐角三角函数
(满分100分,30分钟完成)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,a=4,b=3,则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:∵∠C=90°,a=4,b=3,∴c==5,∴cosA==,故选B.
考点:1.锐角三角函数的定义;2.勾股定理.
2.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:根据一个角的正弦等于它余角的余弦,可得答案.
在Rt△ABC中,∠C=90°得
∠B+∠A=90°.
由一个角的正弦等于它余角的余弦,得
cosB=sinA=,
故选:B.
考点:互余两角三角函数的关系.
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,a=4,b=3,则cosA的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题分析:∵∠C=90°,a=4,b=3,∴c==5,∴cosA==,
故选B.
考点:1.锐角三角函数的定义;2.勾股定理
4. 在Rt中,,若,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
7
试题分析:∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴cosB=sinA,∵sinA=,∴cosB=.
故选B.
考点:三角函数
5在Rt△ABC中,∠C=90°,如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的,则∠A的正切值( ).
A.缩小为原来的 B.扩大为原来的4倍
C.缩小为原来的 D.没有变化
【答案】D.
【解析】
试题分析:根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变,然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变. ∵在Rt△ABC中,如果每个边都缩小为原来的,∴锐角A的对边与邻边的比值不变,∴锐角A的正切值不变.
故选:D.
考点:锐角三角函数的定义.
6. 在 Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,则sinB的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:由直角三角形的边角对应关系,根据勾股定理可求得AB=10,因此sinB==.
故选D
考点:锐角三角函数
7. 如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是( )
A.2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:根据勾股定理,可得AC、AB的长,根据正切函数的定义,可得答案.
如图:
7
,
由勾股定理,得
AC=,AB=2,BC=,
∴△ABC为直角三角形,
∴tan∠B==,
故选:D.
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理;勾股定理的逆定理.
8. 如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,AC=3,则sinB的值是
C
A
B
D
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=2,则斜边AB=2CD=4,则即可求得sinB的值.
试题解析::在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,CD=2,
∴AB=2CD=4.
∴sinB=
故选C.
考点:1.锐角三角函数的定义;2.直角三角形斜边上的中线.
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 等腰三角形的面积为24,底边长4,则底角的正切值为 。
【答案】6
【解析】
试题分析:等腰三角形的面积为24,底边为4,设高为h,根据题意可得,h=12
所以,底角的正切值==6,
故答案为6.
考点:1.等腰三角形的性质;2.锐角三角形函数
10.
如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在格点上,则cosA= .
7
【答案】
【解析】
试题分析:根据勾股定理,可得AC的长,根据余弦为邻边比斜边,可得答案.
如图
,
由勾股定理,得
AC===5.
cosA==,
故答案为:.
考点:锐角三角函数的定义;勾股定理.
11. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8.若∠BPC=∠BAC,则tan∠BPC= .
【答案】.
【解析】
试题分析:如答图,过点A作AH⊥BC于点H,
∵AB=AC,∴AH平分∠BAC,且BH=BC=4.
7
又∵∠BPC=∠BAC,∴∠BAH=∠BPC.
∴tan∠BPC=tan∠BAH.
在Rt△ABH中,AB=5,BH=4,∴AH=3.
∴tan∠BAD=.
∴tan∠BPC=.
考点:1.等腰三角形的性质;2.锐角三角函数定义;3.转化思想的应用.
12. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是 .
【答案】.
【解析】
试题分析:根据锐角三角函数的定义(tanA=)求出即可.
试题解析:tanA=
考点:锐角三角函数的定义.
13. 如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的⊙O的圆心O在格点上,点A、B、C、E也都在格点上,CB与⊙O相交于点D,连接ED.则∠AED的正弦值等于 .
【答案】.
【解析】
7
试题分析:首先根据圆周角定理可知,∠AED=∠ACB,在Rt△ACB中,根据锐角三角函数的定义求出∠ACB的正弦值.
∵∠AED和∠ABC所对的弧长都是,
∴根据圆周角定理知,∠AED=∠ABC,
∴在Rt△ACB中,根据锐角三角函数的定义知,
sin∠ABC=,
∵AC=1,AB=2,
∴BC=,
∴sin∠ABC= ,
∴∠AED的正弦值等于 ,
故答案为 .
考点:锐角三角函数的定义;圆周角定理.
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 某国发生8.1级强烈地震,我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作,如图,某探测对在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处由生命迹象,已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°,且AB=4米,求该生命迹象所在位置C的深度.(结果精确到1米,参考数据:sin25°≈0.4,cos25°≈0,9,tan25°≈0.5,≈1.7)
【答案】3.
【解析】
试题分析:过C点作AB的垂线交AB的延长线于点D,通过解Rt△ADC得到AD=2CD=2x,在Rt△BDC中利用锐角三角函数的定义即可求出CD的值.
试题解析:作CD⊥AB交AB延长线于D,设CD=x米.
在Rt△ADC中,∠DAC=25°,所以tan25°==0.5,所以AD==2x.
Rt△BDC中,∠DBC=60°,由tan 60°=,解得:x≈3.
即生命迹象所在位置C的深度约为3米.
7
考点:解直角三角形的应用.
15. .某海域有A、B、C三艘船正在捕鱼作业,C船突然出现故障,向A、B两船发出紧急求救信号,此时B船位于A船的北偏西72°方向,距A船24海里的海域,C船位于A船的北偏东33°方向,同时又位于B船的北偏东78°方向.
(1)求∠ABC的度数;
(2)A船以每小时30海里的速度前去救援,问多长时间能到出事地点.(结果精确到0.01小时).
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
【答案】(1)30°;(2)约0.57小时.
【解析】
试题分析:(1)根据两直线平行,同旁内角互补,即可得到∠DBA的度数,则∠ABC即可求得;(2)作AH⊥BC于点H,分别在直角△ABH和直角△ACH中,利用三角函数求得BH和CH的长,则BC即可求得,进而求得时间.
试题解析:(1)∵BD∥AE,∴∠DBA+∠BAE=180°,∴∠DBA=180°﹣72°=108°,∴∠ABC=108°﹣78°=30°;(2)作AH⊥BC,垂足为H,∴∠C=180°﹣72°﹣33°﹣30°=45°,∵∠ABC=30°,∴AH=AB=12,∵sinC=,∴AC===12.则A到出事地点的时间是:≈≈0.57小时.约0.57小时能到达出事地点.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
7