锐角三角函数
(满分100分，30分钟完成)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1. sin60°=（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：sin60°=，故选D．
考点：特殊角的三角函数值．
2. 已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】A
【解析】
试题分析：因为α为锐角，tan（90°－α）=，所以90°－α=60°，所以α=30°，
故选：A．
考点：特殊角的三角函数值．
3. 如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=30°，则cos∠AOB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=2∠ACB=60°，∴cos∠AOB=cos60°=．
故选C．
考点：1．圆周角定理；2．特殊角的三角函数值．
4. 计算：=（ ）
7
A． B．1 C． D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵cos45°=sin45°=，∴=．
故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
5 已知A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°≤A≤60° B．60°≤A＜90°
C．0°＜A≤30° D．30°≤A＜90°
【答案】
【解析】
试题分析：∵cos60°= ，余弦函数值随角增大而减小，
∴当cosA≤ 时，∠A≥60°．
又∠A是锐角，
∴60°≤A＜90°．
故选B．
考点：锐角三角函数的增减性
6. 在△ABC中，若|sinA-|+（-tanB）2=0，则∠C的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】D．
【解析】
试题解析：∵|sinA-|+（-tanB）2=0，
∴|sinA-|=0，（ -tanB）2=0，
∴sinA-=0， -tanB=0，
sinA=，tanB=
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C=120°．
7
故选D．
考点：1.特殊角的三角函数值；2.非负数的性质：绝对值；3.非负数的性质：偶次方．
7. 如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6和8，现按照如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：根据勾股定理得出AB=10，根据折叠图形的性质得出AE的长度，从而求出CE的长度，然后根据三角函数的计算法则求出tan∠CBE的值．
考点：折叠图形的性质、三角形函数
8.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，
PA＝8，OA＝6，则tan∠APO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
试题分析：因为PA为⊙O的切线，A为切点，所以∠OAP=,在直角三角形OAP中再有三角函数可求出tan∠APO=，所以选A.
考点：切线的性质，三角函数.
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 计算：|1﹣ |﹣ +2sin60°= ．
【答案】﹣1
【解析】
试题分析：原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
考点：(1)、实数的运算；(2)、特殊角的三角函数值．
10. 如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，BC=，求∠ACB的度数为 。
7
【答案】45°
【解析】
试题分析：过点A作AD⊥BC，∠B=60°，∠ADB=90°，AB=2，则BD=1，AD=，根据BC=1+，则CD=BC－BD=1+－1=，则AD=CD，所以△ACD为等腰直角三角形，即∠ACB=45°
考点：直角三角形的性质
11. ．已知α、β均为锐角，且满足|sinα-|+=0，则α+β= ．
【答案】75°
【解析】
试题分析：由已知sinα-=0，tanβ-1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．
考点：1．非负数的性质；2．特殊角的三角函数值．
12. 如图，、分别切⊙于点、，点是⊙上一点，且，则 度；若PA＝4，则AO＝ ．
【答案】120；.
【解析】
试题分析：连接OA，BO，OP，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和可求得∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°，从而得出∠AEB的度数；再由切线长定理得出∠APO=30°，根据三角函数求解即可：
如图，连接OA，BO，OP，
∵PA、PB分别切⊙O，∴∠OAP=∠OBP=90°.
∵∠P=60°，∴∠AOB=180°-∠P=180°-60°=120°．
∵∠AOB=2∠E=120°，∴∠AEB=60°.
∵∠P=60°，∴∠APO=30°.
∴Rt△AOP中，，.
7
考点：1.圆周角定理；2.切线的性质；3.多边形的内角和定理；4. 锐角三角函数定义；5.特殊角的三角函数值.
13. 如图，直径为10的⊙A上经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为
【答案】．
【解析】
试题解析：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，
∵∠COD=90°，
∴CD是直径，即CD=10，
∵C（0，5），
∴OC=5，
∴OD=，
∵∠OBC=∠ODC，
∴cos∠OBC=cos∠ODC==．
考点：1.圆周角定理；2.坐标与图形性质；3.含30度角的直角三角形；4.特殊角的三角函数值．
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．
7
【答案】280．
【解析】
试题分析：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，在Rt△ACD中，求出CD的长，则AE=CD，在Rt△ABE中，求出BE的长，然后根据BC=AD﹣BE即可得到这栋楼的高度．
试题解析：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，在Rt△ACD中，∵∠CAD=30°，AD=420米，∴CD=AD•tan30°==（米），∴AE=CD=140米．在Rt△ABE中，∵∠BAE=30°，AE=米，∴BE=AE•tan30°=×=140（米），∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280（米）．
答：这栋楼的高度为280米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
15. 如图，一台起重机，他的机身高AC为21m，吊杆AB长为40m，吊杆与水平线的夹角∠BAD可从30°升到80°．求这台起重机工作时，吊杆端点B离地面CE的最大高度和离机身AC的最大水平距离（结果精确到0.1m）．
（参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，≈1.73）
7
【答案】吊杆端点B离地面CE的最大高度约为60.2cm，离机身AC的最大水平距离约34.6cm．
【解析】
试题分析：当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC的水平距离最大；
当∠B’AD＝80°时，吊杆端点B’离地面CE的高度最大．
试题解析：当∠BAD＝30°时，吊杆端点B离机身AC的水平距离最大；
当∠B’AD＝80°时，吊杆端点B’离地面CE的高度最大．
作BF⊥AD于F，B´G⊥CE于G，交AD于F’ ．
在Rt△BAF中，cos∠BAF＝，
∴AF＝AB·cos∠BAF＝40×cos30°≈34.6（cm）．
在Rt△B’AF’中，sin∠B´AF’＝，
∴B’F’＝AB’·sin∠B’AF’＝40×sin80°≈39.2（cm）．
∴B’G＝B’F +F’G≈39.2+21=60.2（cm）．
答：吊杆端点B离地面CE的最大高度约为60.2cm，离机身AC的最大水平距离约34.6cm．
考点：三角函数的应用.
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