1
5.2 分式的基本性质
第 2 课时 利用约分进行多项式的除法
知识点 1 利用分式的基本性质化简求值
当出现含两个字母的等式时，可以先用一个字母表示出另外一个字母，然后再代入所求
代数式进行化简求值．
1．已知 x－2y＝0，求分式
x2－xy＋4y2
2x2＋y2 的值．
知识点 2 多项式的除法
利用分式的意义和分式的约分，还可以进行一些多项式的除法．把两个多项式相除先表
示成分式，然后通过分解因式、约分等把分式化简，用整式或最简分式表示所求的商．
[注意] 把多项式的除法写成分式的形式时，因为分数线具有除号和括号的作用，故原被
除式与除式中的括号可以省略．
2．计算：(3x2y＋12xy2＋12y3)÷(x2y2－4y4)．
探究 运用整体思想进行分式的化简求值
教材例 2 的变式题已知 x－y－2xy＝0，求分式
2x－2y＋5xy
x－3xy－y 的值．
[归纳总结] 已知未知数之间的等量关系，进行分式的化简求值时，将已知等式和分式两
者同时变形，再运用整体思想进行约分、化简、求值．2
[反思] 多个多项式相除，应如何进行运算？3
一、选择题
1．下列约分正确的是( )
A.
m
m＋3＝1＋
m
3 B.
x＋y
x－2＝1－
y
2
C.
9b
6a＋3＝
3b
2a＋1 D.
x（a－b）
y（b－a）＝
x
y
2．计算(x2－x)÷(x－1)的结果为( )
A．x－1 B．x C．x＋1 D．2x
3．已知 3x－5y＝0，则
x＋y
x－y的值为( )
A.
1
2 B.
5
3 C．4 D.
1
4
4．若
1
x－
1
y＝3，则
5x＋xy－5y
x－xy－y 的值为( )
A．－
7
2 B.
7
2 C.
2
7 D．－
2
7
二、填空题
5．填空：(1)(2a3b3－2a2b4)÷(a－b)＝________；
(2)(4x2－81)÷(2x＋9)＝________；
(3)(4y2＋4y＋1)÷(2y＋1)＝________．
6．若
a
b＝
1
3，则
a＋b
b ＝________．
7．2015·河北若 a＝2b≠0，则
a2－b2
a2－ab的值为________．
三、解答题
8．计算：
(1)(m2－4m)÷(16－m2)；
(2)(x2－14xy＋49y2)÷(2x－14y)；
(3)(a－6ab＋9ab2)÷(9b－3)；
(4)(10x－5y＋5n)÷[3m(2x－y)2－3mn2]．4
9．从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2－b2 中，任意选择两个代数式相除并
化简，然后求当 a＝6，b＝3 时该式的值．
10．先化简，再求值．
(1)
m2－9
m2＋6m＋9，其中 m＝5；
(2)
mn＋n2
m2－n2，其中 m＝3，n＝4.
11．已知 a＋2b＝0，求
a2＋2ab－b2
2a2＋ab＋b2的值．
12．已知
x＋y
xy ＝5，求
2x－3xy＋2y
x＋2xy＋y 的值．
阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．
题目：已知
x
a－b＝
y
b－c＝
z
c－a(a，b，c 互不相等)，求 x＋y＋z 的值．
解：设
x
a－b＝
y
b－c＝
z
c－a＝k，
则 x＝k(a－b)，y＝k(b－c)，z＝k(c－a)，
∴x＋y＋z＝k(a－b＋b－c＋c－a)＝0，
即 z＋y＋z＝0.
依照上述方法解答下列问题：
已知
y＋z
x ＝
z＋x
y ＝
x＋y
z ，其中 xyz≠0 且 x＋y＋z≠0，求
x＋y－z
x＋y＋z的值．5
详解详析
教材的地位
和作用
本节内容是对分式的基本性质的进一步运用，前提是熟练掌握分式的基本性
质．对于多项式除以多项式，可先将其转化为分式，然后通过约分化简得到
结果
知识
与技
能
1.运用整体思想代入分式化简求值；
2.根据分式的基本性质，利用约分进行多项式的除法
过程
与方
法
1.观察式子的特点，体会整体思想的作用；
2.经历“多项式除以多项式转化为分式约分”的过程，培养学生的创新意
识
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
培养学生运用理论进行实践的观点
重点 利用约分进行多项式的除法运算
难点 运用整体思想代入分式化简求值教学
重点
难点 易错
点 在分式的约分过程中，符号容易出错
【预习效果检测】
1．[解析] 由已知可得 x＝2y，再将其代入所求分式，即可得到结果．
解：由 x－2y＝0，得 x＝2y，
∴原式＝
（2y）2－2y·y＋4y2
2（2y）2＋y2 ＝
4y2－2y2＋4y2
8y2＋y2 ＝
6y2
9y2＝
2
3.
[点评] 本题还可以采用特殊值法求解，例如取 x＝2，y＝1，代入原式求值．
2．解：(3x2y＋12xy2＋12y3)÷(x2y2－4y4)
＝
3x2y＋12xy2＋12y3
x2y2－4y4
＝
3y（x＋2y）2
y2（x＋2y）（x－2y）
＝
3（x＋2y）
y（x－2y）＝
3x＋6y
xy－2y2.
【重难互动探究】
例 解：由 x－y－2xy＝0，得 x－y＝2xy.
∴
2x－2y＋5xy
x－3xy－y
＝
2（x－y）＋5xy
x－y－3xy
＝
2 × 2xy＋5xy
2xy－3xy6
＝
9xy
－xy
＝－9.
【课堂总结反思】
[反思] 先把多项式相除表示成分式，被除式作为分子，几个除式相乘作为分母，能分解
因式的先分解因式，然后再约分．
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．C
2．[解析] B (x2－x)÷(x－1 )＝
x2－x
x－1 ＝
x（x－1）
x－1 ＝x.
3．[解析] C 由 3x－5y＝0，得 x＝
5
3y，
∴
x＋y
x－y＝
5
3y＋y
5
3y－y
＝
8
3
2
3
＝4.
4．B
5．[答案] (1)2a2b3 (2)2x－9 (3)2y＋1
6．[答案]
4
3
7．[答案]
3
2
[解析] ∵a＝2b≠0，
∴
a2－b2
a2－ab＝
(a＋b )(a－b )
a(a－b ) ＝
a＋b
a ＝
2b＋b
2b ＝
3
2.
8．解：(1)(m2－4m)÷(16－m2)
＝
m2－4m
16－m2
＝
m（m－4）
（4＋m）（4－m）
＝
－m（4－m）
（4＋m）（4－m）
＝－
m
4＋m.
(2)(x2－14xy＋49y2)÷(2x－14y)
＝
x2－14xy＋49y2
2x－14y
＝
（x－7y）2
2（x－7y）
＝
x－7y
2 .
(3)(a－6ab＋9ab2)÷(9b－3)7
＝
a－6ab＋9ab2
9b－3
＝
a（1－3b）2
3（3b－1）
＝
a（3b－1）
3
＝
3ab－a
3 .
(4)(10x－5y＋5n)÷[3m(2x－y)2－3mn2]
＝
10x－5y＋5n
3m（2x－y）2－3mn2
＝
5（2x－y＋n）
3m（2x－y＋n）（2x－y－n）
＝
5
3m（2x－y－n）.
9．解：本题答案不唯一，如
(a2－2ab＋b2)÷(3a－3b)
＝
a2－2ab＋b2
3a－3b
＝
a－b
3 .
当 a＝6，b＝3 时，
a－b
3 ＝1.
10．解：(1)原式＝
（m＋3）（m－3）
（m＋3）2 ＝
m－3
m＋3.
当 m＝5 时，原式＝
5－3
5＋3＝
1
4.
(2)原式＝
n（m＋n）
（m＋n）（m－n）＝
n
m－n.
当 m＝3，n＝4 时，原式＝
4
3－4＝－4.
11．解：由 a＋2b＝0，得 a＝－2b，
∴
a2＋2ab－b2
2a2＋ab＋b2＝
(－2b )
2
＋2 × (－2b )b－b2
2 × (－2b )
2
＋(－2b )b＋b2
＝
－b2
7b2 ＝－
1
7.
12．解：由
x＋y
xy ＝5，得 x＋y＝5xy，
∴
2x－3xy＋2y
x＋2xy＋y ＝
2（x＋y）－3xy
x＋y＋2xy
＝
2 × 5xy－3xy
5xy＋2xy ＝
7xy
7xy＝1.
[数学活动]8
解：设
y＋z
x ＝
z＋x
y ＝
x＋y
z ＝k，则 y＋z＝kx，z＋x＝ky，x＋y＝kz，
∴y＋z＋z＋x＋x＋y＝k(x＋y＋z)，即 2(x＋y＋z)＝k(x＋y＋z)．
∵x＋y＋z≠0，
∴k＝2，
∴x＋y＝2z，
∴
x＋y－z
x＋y＋z＝
2z－z
2z＋z＝
1
3.
微信/支付宝扫码支付