1
1.3 平行线的判定
第 2 课时 平行线的判定(二)
知识点 1 “内错角相等，两直线平行”
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单地说，内错
角相等，两直线平行．
[几何语言] 如图 1－3－19，
图 1－3－19
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.
1．如图 1－3－22 所示，在四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠DAC＝∠ACD，试说明：
AB∥CD.
图 1－3－22
知识点 2 “同旁内角互补，两直线平行”
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单地说，同
旁内角互补，两直线平行．
[几何语言] 如图 1－3－23，
图 1－3－23
∵∠1＋∠2＝180°，∴AB∥CD.
2．如图 1－3－24 所示，已知 QR 平分∠PQN，NR 平分∠QNM，∠1＋∠2＝90°，PQ 与 MN
平行吗？为什么？2
图 1－3－24
探究 一 平行线的判定的简单应用
教材补充题如图 1－3－25，一个弯形管道 ABCD 的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60
°，AB 与 CD 平行吗？为什么？
图 1－3－25
[归纳总结] 正确理解“同旁内角互补，两直线平行”是解答此题的关键．
探究 二 平行线的判定的综合应用
教材补充题如图 1－3－26，∠E＝∠1，∠2＋∠ABC＝180°，BE 是∠ABC 的平分
线．
试说明：DF∥AB.
图 1－3－26
[归纳总结] 综合应用平行线的判定方法解题是这一节的难点也是重点．3
[反思] 如图 1－3－27，由∠1＝∠3，∠BAD＝∠DCB，可以判定哪两条直线平行？
解：因为∠1＝∠3，所以 AB∥CD①.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4②，所以
AD∥BC③.
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
图 1－3－274
一、选择题
1．两条直线被第三条直线所截，下列条件不能判定这两条直线平行的是( )
A．同位角相等 B．内错角相等
C．同旁内角互补 D．同旁内角相等
2．如图 1－3－28 所示，点 E 在 AD 的延长线上，下列条件中能判定 BC∥AD 的是( )
图 1－3－28
A．∠3＝∠4 B．∠A＋∠ADC＝180°
C．∠1＝∠2 D．∠A＝∠5
3．如图 1－3－29 所示，下列条件能判定 GE∥CH 的是( )
图 1－3－29
A．∠FEB＝∠ECD
B．∠AEG＝∠DCH
C．∠GEC＝∠HCF
D．∠HCE＝∠AEG
二、填空题
4．如图 1－3－30，直线 a，b 被直线 c 所截，若满足________，则 a，b 平行．
图 1－3－30
5．如图 1－3－31 所示，点 A 在直线 l 上，如果∠B＝75°，∠C＝43°，那么当∠1＝
________°时，直线 l∥BC；当∠2＝________°时，直线 l∥BC.
图 1－3－31
6.如图 1－3－32 所示，直线 a，b 与直线 c 相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠4＝∠6；
③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠3＝180°.
其中能判定 a∥b 的条件是________．(只填序号)5
图 1－3－32
7．如图 1－3－33，∠1 与∠3 互余，∠2 与∠3 的余角互补，直线 l1 与 l2 的位置关系是
__________ ， 判 定 理 由 是
________________________________________________________________________．
图 1－3－33
8．如图 1－3－34 所示，如果∠DBC＝∠ADB，那么________∥________；如果∠ADC＋
∠DCB＝180°，那么________∥________；如果∠CBE＝________，那么 AD∥BC；如果∠CBE
＝______，那么 AB∥CD.
图 1－3－34
9．阅读下列推理过程，在括号中填写理由：
已知：如图 1－3－35，∠1＝78°，∠2＝78°，∠3＝78°，∠4＝102°.
图 1－3－35
解：∵∠1＝∠2＝78°，
∴AB∥CD( )．
∵∠2＝∠3＝78°，
∴AB∥CD( ).
∵∠2＋∠4＝78°＋102°＝180°，
∴AB∥CD( ).
三、解答题
10．如图 1－3－36，如果∠1＋∠2＝180°，那么 l1∥l2 吗？请说明理由．
图 1－3－366
11．2016·淄博如图 1－3－37 是一个由 4 条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1＝50°，∠
2＝50°，∠3＝130°，找出图中的平行线，并说明理由．
图 1－3－37
12．如图 1－3－38，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°，那么 AB∥CD 吗？
为什么？
图 1－3－38
13．如图 1－3－39 所示，AC⊥BC，∠1 与∠2 互余，这些条件能够判定哪两条直线平行？
并说明理由．
图 1－3－39
14．如图 1－3－40 所示，∠BAF＝46°，∠ACE＝136°，CE⊥CD，CD 与 AB 平行吗？为
什么？7
图 1－3－40
[创新题] 我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同
样会发生折射现象．如图 1－3－41 是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意
图．由于折射率相同，因此∠1＝∠4，∠2＝∠3.请你用所学知识判断 c 与 d 是否平行，并说
明理由．
图 1－3－418
详解详析
教材的地位
和作用
本课时内容是第 1 课时内容的延续，是在第 1 课时的基本事实的基础上推
导出来的，是判定两直线平行的另外两种常用方法．注意以合作探究的方式
来学习本课时知识
知识
与技
能
1.掌握平行线的另外两种判定方法：“内错角相等，两直线平行”和“同
旁内角互补，两直线平行”；
2.会用“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”判
定两直线平行，会进行简单的推理及表述
过程
与方
法
培养学生主动探索、勇于实践、善于发现、乐于合作交流的品质和素养
教
学
目
标 情感、
态度
与价
值观
在探索的学习生活中获得成功的体验，学会与人合作与交流
重点 平行线的另外两种判定方法：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角
互补，两直线平行”
难点 添加辅助线，判定两直线平行
教学
重点
难点 易错
点 对截得的两个角的被截直线判断不清，导致平行线的判断错误
【预习效果检测】
1．[解析] 要说明 AB∥CD，只需说明∠ACD＝∠BAC.
解：∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠BAC.
又∵∠DAC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
2．[解析] 观察图形，可知图中只具备同旁内角∠PQN 和∠QNM，且它们的度数分别是∠1
和∠2 度数的 2 倍，易知它们的度数之和是 180°.
解：PQ∥MN.理由如下：
因为 QR 平分∠PQN，NR 平分∠QNM，
所以∠PQN＝2∠1，∠QNM＝2∠2.
因为∠1＋∠2＝90°，
所以∠PQN＋∠QNM＝2(∠1＋∠2)＝180°，
所以 PQ∥MN(同旁内角互补，两直线平行)．
【重难互动探究】
例 1 解：AB∥CD.
理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．9
例 2 解：如图，∵BE 是∠ABC 的平分线，
∴∠1＝∠3.
∵∠E＝∠1，∴∠E＝∠3，
∴AE∥BC，∴∠ABC＋∠A＝180°.
∵∠2＋∠ABC＝180°，
∴∠2＝∠A，
∴DF∥AB.
【课堂总结反思】
[知识框架]
相等 互补
[反思] (1)①
(2)因为∠1＝∠3，所以 AD∥BC.
又因为∠BAD＝∠DCB，∠2＝∠BAD－∠1，∠4＝∠DCB－∠3，所以∠2＝∠4，所以
AB∥CD.
【作业高效训练】
[课堂达标]
1．[解析] D 根据平行线的判定方法可知选项 A，B，C 能判定两条直线平行，D 不能判
定两条直线平行．故选 D.
2．[解析] C 由∠3＝∠4，∠A＋∠ADC＝180°，∠A＝∠5 都可得 AB∥CD，故选项 A，
B，D 都不正确．
3．[解析]C 图中直线 GE，CH 被直线 CE 所截，形成一组内错角∠GEC 和∠HCF，当它们
相等时，可判定 GE∥CH.
4．[答案] ∠1＝∠2(答案不唯一)
[解析] 答案不唯一，如∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠3＋∠4＝180°，∠1＋∠4＝180°
等．
5．[答案] 75 43
[解析] 根据内错角相等，两直线平行，当∠1＝∠B＝75°或∠2＝∠C＝43°时，直线 l
∥BC.
6．[答案] ①③④
[解析] 根据同位角相等，两直线平行对①进行判断．根据同旁内角互补，两直线平行对
③进行判断．由于∠2＝∠3，∠5＋∠3＝180°，则∠5＋∠2＝180°，然后再根据同旁内角
互补，两直线平行对④进行判断．
7．[答案] 平行 同旁内角互补，两直线平行
[解析] 因为∠1＋∠3＝90°，∠2＋(90°－∠3)＝180°，所以∠2－90°＝∠3，所以∠1
＋∠2＝180°.因为同旁内角互补，两直线平行，所以 l1∥l2.
8．[答案] BC AD AD BC ∠BAD ∠BCD
[解析]图中∠DBC 与∠ADB 是内错角，由∠DBC＝∠ADB，可知 BC∥AD；∠ADC与∠DCB 是
同旁内角，它们互补，可知 AD∥BC；∠CBE 与∠BAD 是同位角，由∠CBE＝∠BAD，可知
AD∥BC；∠CBE 与∠BCD 是内错角，由∠CBE＝∠BCD，可知 AB∥CD.
9．[答案] 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直10
线平行
10．解：如图，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4(对顶角相等)，
∠1＋∠2＝180°，
∴∠3＋∠4＝180°，
∴l1∥l2(同旁内角互补，两直线平行)．
11．解：OB∥AC，OA∥BC.
理由：∵∠1＝50°，∠2＝50°，
∴∠1＝∠2，∴OB∥AC.
∵∠2＝50°，∠3＝130°，∴∠2＋∠3＝180°，
∴OA∥BC.
12．解：AB∥CD.
理由：∵∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝130°.
∵∠ABC＝50°，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
13．[解析] 由垂直定义可知∠ACB＝90°，又知∠1 与∠2 互余，所以可得∠2 与∠ACD
互补，推出 AB∥CD.
解：AB∥CD.理由如下：
因为 AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.
又因为∠1 与∠2 互余，
所以∠2＋∠ACB＋∠1＝180°，
即∠2＋∠ACD＝180°，
所以 AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
14．[解析] CD 和 AB 被直线 CF 所截，要说明 CD∥AB，只需说明截出的一组内错角相等
即可．
解：CD∥AB.
理由：因为 CE⊥CD，
所以∠DCE＝90°，
所以∠ACD＝360°－∠ACE－∠DCE＝134°.
因为∠BAF＝46°，
所以∠BAC＝180°－∠BAF＝134°，
所以∠BAC＝∠ACD，
所以 CD∥AB(内错角相等，两直线平行)．
[数学活动]
[解析]如图，欲说明 c∥d，结合图形只要先说明∠2＋∠5＝∠3＋∠6，再利用内错角相
等，两直线平行即可．11
解：c∥d.
理由：如图，∵∠1＋∠5＝∠4＋∠6，∠1＝∠4，
∴∠5＝∠6.
又∵∠2＝∠3，
∴∠2＋∠5＝∠3＋∠6，
∴c∥d(内错角相等，两直线平行)．
[点评] 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键，不能遇到
相等或互补的角就误认为直线平行，只有同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，才能推
出被截的两条直线平行．
微信/支付宝扫码支付