解直角三角形
(满分100分，30分钟完成)
学校:___________姓名：___________班级：_________考号：___________
一、选择题(每题5分,共40分)
1. 在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：如图所示：∵，∴，根据三角函数的定义可知，，所以AC=．
故选D．
考点：三角函数的定义．
2. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度是如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度是 （ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【解析】
试题分析：由于，所以：，在直角三角形BCE中，CE=BC•sin30°=10× =5m．
故选B．
考点：解直角三角形
3. 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，cosα=，AB =4，则AD长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B．
【解析】
9
试题分析：由已知可知：AB=CD=4，∠ADE=∠ECD=α．在Rt△DEC中，cos∠ECD=cosα=，即，故选B．
考点：解直角三角形
4.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，，BC的长是10m，则乘电梯从点B到点C上升的高度是 （ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【解析】
试题分析：由于，所以：，在直角三角形BCE中，CE=BC•sin30°=10× =5m．
故选B．
考点：解直角三角形
5 如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：连接BD．
∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC==
故选B．
9
考点：三角形的中位线定义、勾股定理的逆定理、三角函数
6. 如图，中，AC﹦5，，，则的面积为（ ）
A． B．12 C． 14 D．21
【答案】A．
【解析】
试题分析：作AD⊥BC，如图
∵sinC=，AC=5，
∴AD=4，
∴CD=，
∵cosB=，
∴∠B=45°，
∴BD=AD=3，
∴S△ABC=BC•AD=（3+4）×3=．
故选A．
考点：解直角三角形．
7. 在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为（ ）．
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【答案】D．
【解析】
9
试题分析：根据特殊角的三角函数值：cos45°=,所以∠B=45°，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，如图：①当△ABC为钝角三角形时，如图1，作AD⊥BC交BC的延长线于D，由∠B=45°可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；②当△ABC为锐角三角形时，如图2，作AD⊥BC交BC于D,由∠B=45°可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD+CD=12+5=17；故BC的值有两个7或17，选D．
考点：解直角三角形．
8. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosA=，D为AB上一点，且AD：BD=1：2，若BC=3，求CD的长．
【答案】.
【解析】
试题分析：过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC．先在Rt△ABC中，由cosA=，可设AC=5k，则AB=6k，利用勾股定理得出AB2﹣AC2=BC2，求出k=±3（负值舍去），那么AC=15，AB=18．再由DE∥BC，得出，求出DE=BC=，AE=AC=5，CE=AC﹣AE=10，然后利用勾股定理得出CD=．
试题解析：过D作DE⊥AC于E，则DE∥BC．
9
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴cosA=，
∴设AC=5k，则AB=6k，
∵AB2﹣AC2=BC2，
∴36k2﹣25k2=99，
∴k=±3（负值舍去），
∴AC=15，AB=18．
∵DE∥BC，
∴，
∴DE=BC=，AE=AC=5，
∴CE=AC﹣AE=10，
∴CD=．
考点：解直角三角形．
二、填空题(每题6分,共30分)
9. 一直角三角形中，斜边与一直角边的比是13：12，最小角为α，则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
【答案】 ， ， ．
【解析】
试题分析：本题利用了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．先根据斜边与一直角边的比是13：12设出斜边与直角边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长．运用三角函数的定义求解．
设斜边为13x，则一直角边的边长为12x，另一直角边的边长=x=5x．
∴sinα= ，cosα= ，tanα= ．
考点： 解直角三角形．
10. 在中，，，则 .
【答案】
【解析】
试题分析：由勾股定理求出BC，再由三角函数即可求出答案.
9
试题解析：在Rt△ABC中，BC=
∴tan∠ABC=
考点：1.勾股定理；2.解直角三角形.
11. 如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析：根据题意可得AC=2，则cosC==.
考点：解直角三角形.
12. 如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ____ m．
135°
A
B
C
D
h
【答案】6．
【解析】
试题分析：
过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M, 由∠ABC=135°可得∠CBM=45°，在Rt△BMC中，由锐角三角函数即可求得CM=6．
考点：解直角三角形．
13. 如图，过矩形ABCD的顶点B作BE∥AC，垂足为E，延长BE交AD于F，若点F是边AD的中点，则sin∠
9
ACD的值是 ．
【答案】.
【解析】
试题分析：由矩形的性质得出AD∥BC，AD=BC，∠D=90°，证出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例=，设AF=DF=a，AE=x，则CE=2x，AC=3x，再证明△AEF∽△ADC，得出，得出x=，AC=a，再由三角函数的定义求得sin∠ACD==.
故答案为：．
考点：矩形的性质；解直角三角形．
三、解答题(每题15分,共30分)
14. 如图，205国道旁的马鞍山南部承接产业示范园区里某幢大楼顶部有广告牌CD．习老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（计算结果保留根号）
（1）求这幢大楼的高DH；
（2）求这块广告牌CD的高度．
【答案】（1）15+1.6（2）31﹣15
【解析】
试题分析：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE；应利用ME-NE=AB=14构造方程关系式，进而可解即可求出答案．
试题解析：（1）在Rt△DME中，ME=AH=45米；
9
由，得DE=45×=15米；
又因为EH=MA=1.6米，
因而大楼DH=DE+EH=（15+1.6）米；
（2）又在Rt△CNE中，NE=45﹣14=31米，
由，得CE=NE=31米；
因而广告牌CD=CE﹣DE=（31﹣15）米；
答：楼高DH为（15+1.6）米，广告牌CD的高度为（31﹣15）米．
考点：解直角三角形
15. 已知如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=105°，AC=2，求AB的长．
【答案】3+．
【解析】
试题分析：根据三角形内角和定理求出∠B的度数，过C作CD⊥AB于D，根据等角对等边求出CD=BD，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，根据勾股定理求出AD，最后根据AB=AD+BD，即可得出答案．
试题解析：在△ABC中，
∵∠A=30°，∠C=105°，
∴∠B=45°，
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
9
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+．
考点：解直角三角形．
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