解直角三角形应用举例练习题(附解析新人教版九年级下)
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资料简介
应用举例 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________‎ 一、选择题 ‎ ‎ 1 .拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:,坝高BC=‎10m,则坡面AB的长度是( )‎ A. ‎15m B.m C.m D.‎‎20m ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:Rt△ABC中,BC=‎10m,tanA=1:;∴AC=BC÷tanA=m,∴AB==‎20m.‎ 故选D.‎ 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎2. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为‎3米,则旗杆AB的高度为 ‎(A)‎9米 (B)‎6米 (C)‎6米 (D)(6+)米 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:过点D作DE⊥AB,垂足为E,则四边形ACDE为矩形,AE=CD=‎6米,AC=DE.设BE=x米,先解Rt△BDE,得出DE=x米,AC=x米,再解Rt△ABC,得出AB=3x米,然后根据AB-BE=AE,列出关于x的方程,解方程即可.‎ 试题解析:过点D作DE⊥AB,垂足为E,由题意可知,四边形ACDE为矩形,‎ 9‎ 则AE=CD=‎6米,AC=DE.‎ 设BE=x米.‎ 在Rt△BDE中,∵∠BED=90°,∠BDE=30°,‎ ‎∴DE=BE=x米,‎ ‎∴AC=DE=x米.‎ 在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,∠ACB=60°,‎ ‎∴AB=AC=×x=3x米,‎ ‎∵AB-BE=AE,‎ ‎∴3x-x=6,‎ ‎∴x=3,‎ AB=3×3=9(米).‎ 即旗杆AB的高度为‎9米.‎ 故选A.‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. ‎ ‎3.轮船从B处以每小时25海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行1小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处于灯塔A的距离是( )海里.‎ A.25 B.‎25 ‎C.25 D.50‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:根据题意求出BC的长和∠ABC=45°,根据等腰直角三角形的性质解答即可.‎ 由题意得,BC=25×1=‎25海里,‎ 9‎ ‎∠DBC=30°,∠DBA=75°,‎ 则∠ABC=45°,∠BCE=30°,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴CA=CB=‎25海里.‎ 故选:B.‎ 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. ‎ ‎4 如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE=‎8m,测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°,旗杆底部B的俯角∠ECB=45°,那么,旗杆AB的高度( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得∠ECA=30°,CE=8,所以AE=CE×tan30°=8×=,而∠ECB=45°,三角形EBC是等腰直角三角形,所以EB=EC=8,所以AB为(8+)m,‎ 故选D.‎ 考点:锐角三角函数及解直角三角形 ‎5. 如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽‎6米,坝高‎20米,斜坡AB的坡度i=1︰2.5,斜坡CD的坡角为30度,则坝底AD的长度为( )。‎ 9‎ A‎.56米 B‎.66米 C.()米 D.()米 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线,得到两个直角三角形和一个矩形,利用相应的性质求解即可.‎ 试题解析:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,‎ 由题意得,BC=EF=‎6米,BE=CF=‎20米,斜坡AB的坡度i为1:2.5,‎ 在Rt△ABE中,,‎ ‎∴AE=‎50米.‎ 在Rt△CFD中,∠D=30°,‎ ‎∴DF=CFcot∠D=‎20米,‎ ‎∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=(56+20)米.‎ 故选B.‎ 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎6. 如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,AB的长度是‎13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,则二楼的层高BC约为(精确到‎0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)( )‎ A.‎10.8米 B.‎8.9米 C.‎8.0米 D.‎‎5.8米 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:延长CB交PQ于点D,根据坡度的定义即可求得BD的长,然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长,则BC即可得到.‎ 延长CB交PQ于点D.‎ ‎∵MN∥PQ,BC⊥MN,‎ ‎∴BC⊥PQ.‎ 9‎ ‎∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4,‎ ‎∴==.‎ 设BD=5k(米),AD=12k(米),则AB=13k(米).‎ ‎∵AB=13(米),‎ ‎∴k=1,‎ ‎∴BD=5(米),AD=12(米).‎ 在Rt△CDA中,∠CDA=90゜,∠CAD=42°,‎ ‎∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米),‎ ‎∴BC=10.8﹣5≈5.8(米).‎ 故选:D.‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题. ‎ 二、填空题 ‎7. 如图,为了测量楼的高度,自楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°,已知地面上的这点与楼的水平距离BC为‎30m,那么楼的高度AC为 m(结果保留根号).‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:∵自楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°,∴∠ABC=30°,∴AC=AB•tan30°=30×=(米),∴楼的高度AC为米.故答案为:.‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.‎ ‎8. 如果某人沿坡度i=1:3的斜坡前进‎10m,那么他所在的位置比原来的位置升高了 m.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题解析:设BC=x,AB=3x,‎ 则AC2=AB2+BC2,‎ 9‎ AC=,‎ 解得:x=.‎ 故所在的位置比原来的位置升高了m.‎ 考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.‎ ‎9.如图所示,一艘海轮位于灯塔的北偏东方向,距离灯塔4海里的处,该海轮沿南偏东方向航行__________海里后,到达位于灯塔的正东方向的处.‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如图,作AM⊥PB于M,由题意可得∠PAM=∠BAM=30°,AP=4,可求得PM=2,又因AM⊥PB,得∠PAM=∠BAM,所以PM=BM=2,即PB=4,所以该海轮沿南偏东方向航行‎4海里后,到达位于灯塔的正东方向的处.‎ 考点:方位角;解直角三角形的应用. ‎ ‎10如图,在高度是‎21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD= 米(结果可保留根号)‎ ‎【答案】21+7‎ ‎【解析】‎ 9‎ 试题分析:作AE⊥CD于点E.在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴DE=AE=BD=AB=21(米),‎ 在Rt△AEC中,CE=AE•tan∠CAE=21×=7(米).则CD=(21+7)米.‎ 考点:解直角三角形的应用.. ‎ 三、解答题 ‎11.张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,如图,山坡与水平面成30°角(即∠MAN=30°),在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进‎20米,到达B处,又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内),求这棵大树CD的高度(结果精确到‎0.1米,参考数据:≈1.732)‎ ‎【答案】‎‎11.5米 ‎【解析】‎ 试题分析:过B作BE⊥CD交CD延长线于E,由∠CAN=45°,∠MAN=30°,得到∠CAB=15°,由∠CBD=60°,∠DBE=30°,得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20,解Rt△BCE,可求得CE,解Rt△DBE可求得DE,CE﹣DE即得到树高CD.‎ 试题解析:如图,过B作BE⊥CD交CD延长线于E,‎ ‎∵∠CAN=45°,∠MAN=30°,‎ ‎∴∠CAB=15°‎ ‎∵∠CBE=60°,∠DBE=30°,‎ ‎∴∠CBD=30°,‎ ‎∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,‎ ‎∴∠CAB=∠ACB=15°,‎ ‎∴AB=BC=20,‎ 在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BC=20,‎ ‎∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10,‎ 在Rt△DBE中,∠DBE=30°,BE=10,‎ 9‎ ‎∴DE=BEtan∠DBE=10×,‎ ‎∴CD=CE﹣DE=≈11.5,‎ 答:这棵大树CD的高度大约为‎11.5米.‎ 考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题. ‎ ‎12. 如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)‎ ‎【答案】轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如图,直角△ACD和直角△ABD有公共边AD,在两个直角三角形中,利用三角函数即可用AD表示出CD与BD,根据CB=BD-CD即可列方程,从而求得AD的长,与‎170海里比较,确定轮船继续向前行驶,有无触礁危险.‎ 试题解析:该轮船不改变航向继续前行,没有触礁危险 理由如下:如图所示.‎ 则有∠ABD=30°,∠ACD=60°.‎ ‎∴∠CAB=∠ABD,‎ ‎∴BC=AC=‎200海里.‎ 在Rt△ACD中,设CD=x海里,‎ 9‎ 则AC=2x,AD=x,‎ 在Rt△ABD中,AB=2AD=2x,‎ BD===3x,‎ 又∵BD=BC+CD,‎ ‎∴3x=200+x,‎ ‎∴x=100.‎ ‎∴AD=x=100≈173.2,‎ ‎∵‎173.2海里>‎170海里,‎ ‎∴轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.‎ 考点:解直角三角形的应用-方向角问题.‎ 9‎

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