应用举例
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1 .拦水坝横断面如图所示,迎水坡AB的坡比是1:,坝高BC=10m,则坡面AB的长度是( )
A. 15m B.m C.m D.20m
【答案】D.
【解析】
试题分析:Rt△ABC中,BC=10m,tanA=1:;∴AC=BC÷tanA=m,∴AB==20m.
故选D.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
2. 某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度,如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°,在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°,旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上,已知每层楼的高度为3米,则旗杆AB的高度为
(A)9米 (B)6米 (C)6米 (D)(6+)米
【答案】A.
【解析】
试题分析:过点D作DE⊥AB,垂足为E,则四边形ACDE为矩形,AE=CD=6米,AC=DE.设BE=x米,先解Rt△BDE,得出DE=x米,AC=x米,再解Rt△ABC,得出AB=3x米,然后根据AB-BE=AE,列出关于x的方程,解方程即可.
试题解析:过点D作DE⊥AB,垂足为E,由题意可知,四边形ACDE为矩形,
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则AE=CD=6米,AC=DE.
设BE=x米.
在Rt△BDE中,∵∠BED=90°,∠BDE=30°,
∴DE=BE=x米,
∴AC=DE=x米.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,∠ACB=60°,
∴AB=AC=×x=3x米,
∵AB-BE=AE,
∴3x-x=6,
∴x=3,
AB=3×3=9(米).
即旗杆AB的高度为9米.
故选A.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
3.轮船从B处以每小时25海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行1小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处于灯塔A的距离是( )海里.
A.25 B.25 C.25 D.50
【答案】B
【解析】
试题分析:根据题意求出BC的长和∠ABC=45°,根据等腰直角三角形的性质解答即可.
由题意得,BC=25×1=25海里,
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∠DBC=30°,∠DBA=75°,
则∠ABC=45°,∠BCE=30°,
∴∠ACB=90°,
∴CA=CB=25海里.
故选:B.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
4 如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB.已知观测点C到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA=30°,旗杆底部B的俯角∠ECB=45°,那么,旗杆AB的高度( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:由题意得∠ECA=30°,CE=8,所以AE=CE×tan30°=8×=,而∠ECB=45°,三角形EBC是等腰直角三角形,所以EB=EC=8,所以AB为(8+)m,
故选D.
考点:锐角三角函数及解直角三角形
5. 如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1︰2.5,斜坡CD的坡角为30度,则坝底AD的长度为( )。
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A.56米 B.66米 C.()米 D.()米
【答案】B
【解析】
试题分析:过梯形上底的两个顶点向下底引垂线,得到两个直角三角形和一个矩形,利用相应的性质求解即可.
试题解析:作BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,
由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1:2.5,
在Rt△ABE中,,
∴AE=50米.
在Rt△CFD中,∠D=30°,
∴DF=CFcot∠D=20米,
∴AD=AE+EF+FD=50+6+20=(56+20)米.
故选B.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
6. 如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,则二楼的层高BC约为(精确到0.1米,sin42°≈0.67,tan42°≈0.90)( )
A.10.8米 B.8.9米 C.8.0米 D.5.8米
【答案】D
【解析】
试题分析:延长CB交PQ于点D,根据坡度的定义即可求得BD的长,然后在直角△CDA中利用三角函数即可求得CD的长,则BC即可得到.
延长CB交PQ于点D.
∵MN∥PQ,BC⊥MN,
∴BC⊥PQ.
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∵自动扶梯AB的坡度为1:2.4,
∴==.
设BD=5k(米),AD=12k(米),则AB=13k(米).
∵AB=13(米),
∴k=1,
∴BD=5(米),AD=12(米).
在Rt△CDA中,∠CDA=90゜,∠CAD=42°,
∴CD=AD•tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米),
∴BC=10.8﹣5≈5.8(米).
故选:D.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题;解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
二、填空题
7. 如图,为了测量楼的高度,自楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°,已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m,那么楼的高度AC为 m(结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:∵自楼的顶部A看地面上的一点B,俯角为30°,∴∠ABC=30°,∴AC=AB•tan30°=30×=(米),∴楼的高度AC为米.故答案为:.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
8. 如果某人沿坡度i=1:3的斜坡前进10m,那么他所在的位置比原来的位置升高了 m.
【答案】.
【解析】
试题解析:设BC=x,AB=3x,
则AC2=AB2+BC2,
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AC=,
解得:x=.
故所在的位置比原来的位置升高了m.
考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题.
9.如图所示,一艘海轮位于灯塔的北偏东方向,距离灯塔4海里的处,该海轮沿南偏东方向航行__________海里后,到达位于灯塔的正东方向的处.
【答案】4.
【解析】
试题分析:如图,作AM⊥PB于M,由题意可得∠PAM=∠BAM=30°,AP=4,可求得PM=2,又因AM⊥PB,得∠PAM=∠BAM,所以PM=BM=2,即PB=4,所以该海轮沿南偏东方向航行4海里后,到达位于灯塔的正东方向的处.
考点:方位角;解直角三角形的应用.
10如图,在高度是21米的小山A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°,底部D处的俯角为45°,则这个建筑物的高度CD= 米(结果可保留根号)
【答案】21+7
【解析】
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试题分析:作AE⊥CD于点E.在Rt△ABD中,∠ADB=45°,∴DE=AE=BD=AB=21(米),
在Rt△AEC中,CE=AE•tan∠CAE=21×=7(米).则CD=(21+7)米.
考点:解直角三角形的应用..
三、解答题
11.张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树CD的高度,如图,山坡与水平面成30°角(即∠MAN=30°),在山坡底部A处测得大树顶端点C的仰角为45°,沿坡面前进20米,到达B处,又测得树顶端点C的仰角为60°(图中各点均在同一平面内),求这棵大树CD的高度(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732)
【答案】11.5米
【解析】
试题分析:过B作BE⊥CD交CD延长线于E,由∠CAN=45°,∠MAN=30°,得到∠CAB=15°,由∠CBD=60°,∠DBE=30°,得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以AB=BC=20,解Rt△BCE,可求得CE,解Rt△DBE可求得DE,CE﹣DE即得到树高CD.
试题解析:如图,过B作BE⊥CD交CD延长线于E,
∵∠CAN=45°,∠MAN=30°,
∴∠CAB=15°
∵∠CBE=60°,∠DBE=30°,
∴∠CBD=30°,
∵∠CBE=∠CAB+∠ACB,
∴∠CAB=∠ACB=15°,
∴AB=BC=20,
在Rt△BCE中,∠CBE=60°,BC=20,
∴CE=BCsin∠CBE=20×BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10,
在Rt△DBE中,∠DBE=30°,BE=10,
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∴DE=BEtan∠DBE=10×,
∴CD=CE﹣DE=≈11.5,
答:这棵大树CD的高度大约为11.5米.
考点:解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
12. 如图,一艘轮船航行到B处时,测得小岛A在船的北偏东60°的方向,轮船从B处继 续向正东方向航行200海里到达C处时,测得小岛A在船的北偏东30°的方向.己知在小岛周围170海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)
【答案】轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.
【解析】
试题分析:如图,直角△ACD和直角△ABD有公共边AD,在两个直角三角形中,利用三角函数即可用AD表示出CD与BD,根据CB=BD-CD即可列方程,从而求得AD的长,与170海里比较,确定轮船继续向前行驶,有无触礁危险.
试题解析:该轮船不改变航向继续前行,没有触礁危险
理由如下:如图所示.
则有∠ABD=30°,∠ACD=60°.
∴∠CAB=∠ABD,
∴BC=AC=200海里.
在Rt△ACD中,设CD=x海里,
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则AC=2x,AD=x,
在Rt△ABD中,AB=2AD=2x,
BD===3x,
又∵BD=BC+CD,
∴3x=200+x,
∴x=100.
∴AD=x=100≈173.2,
∵173.2海里>170海里,
∴轮船不改变航向继续向前行使,轮船无触礁的危险.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
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