专题一
第2讲 不等式
函数、导数与不等式
考向预测
1．利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；
2．在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大．
知识与技巧的梳理
1．不等式的解法
(1)一元二次不等式的解法．
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或0)，如果a与ax2＋bx＋c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2＋bx＋c异号，则其解集在两根之间．
(2)简单分式不等式的解法．
①>0(0(0，b>0)．
(4)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
3．利用基本不等式求最值
(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2(简记为：积定，和有最小值)．
(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值(简记为：和定，积有最大值)．
4．简单的线性规划问题
解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可
行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
热点题型
热点一 不等式的性质及解法
【例1】(1)(2018·武汉联考)已知函数是上的减函数，若，则实数a的取值范围为____．
(2)(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数，若
f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
解析 (1)因为是上的减函数，若，
所以，解不等式组得，
(2)f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0且f′(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数．
又f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，
由f(a－1)＋f(2a2)≤0，得f(2a2)≤f(1－a)，
∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，
故实数a的取值范围是．
答案 (1)C (2)
探究提高 1．解一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
2．(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化．
(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
【训练1】(1)(2018·七宝中学)若对任意恒成立，则实数的取值范围是_____
(2)已知不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立，则a的取值范围是________．
解析 (1) 由已知得不等式对任意恒成立，所以不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，当时，则不等式对任意不恒成立，所以。所以，即，所以．解得．
(2)设y＝，，
故y＝在x∈[2，6]上单调递减，则ymin＝＝，
故不等式≥|a2－a|对于x∈[2，6]恒成立等价于|a2－a|≤恒成立，化简得
解得－1≤a≤2，故a的取值范围是[－1，2]．
答案 (1)R (2)[－1，2]
热点二 基本不等式
【例2】(1)(2018·天津期末)已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是__________．
(2)(2016·江苏卷改编)已知函数f(x)＝2x＋，若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，则实数m的最大值为________．
解析 (1)∵，，恒成立，且，
，
因为恒成立，∴，
∴．
故答案为．
(2)由条件知．
∵f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
∴对于x∈R恒成立．
又＝f(x)＋≥2＝4，且，
∴m≤4，故实数m的最大值为4．
答案 (1)8 (2)4
探究提高 1．利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得．
2．特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解．
(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错．
【训练2】 (1) (2018·新泰一中)若直线过点，则的最小值为______．
(2)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A． B．2 C．2 D．4
解析 (1)∵直线过点，∴，
故，当且仅当，即时取等号，结合可解得且，故答案为．
(2)依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．
∵＋＝，∴≥，即ab≥2，
∴ab的最小值为2．
答案 (1)C (2)C
热点三 简单的线性规划问题
【例3】 (1) (2018·张家口期中)已知，满足，则的最大值为_____．
(2) (2017·池州模拟)已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝( )
A． B．1 C． D．4
解析 (1) 根据题中所给的约束条件，画出可行域，如图所示：
由解得 ，
目标函数可看做斜率为3的动直线，其纵截距越小，越大，
由图可知，当动直线过点时，最大，最大值为，
故答案是6.
(2)解析 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，
∵目标函数z＝2x－3y的最大值是2，
由图象知z＝2x－3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．
由解得A(4，2)，
同时A(4，2)也在直线ax＋y－4＝0上，
∴4a＝2，则a＝．
答案 (1)D (2)A
探究提高 1．线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想．需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
2．对于线性规划中的参数问题，需注意：
(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化．
(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可．
【训练3】 (1) (2019·贵州联考)设实数，满足不等式组，则的最小值是__________．
(2)(2017·新乡模拟)若实数x，y满足且z＝mx－y(m0，∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即时取得等号．故填4．
高频易错题
1．【解题思路】根据等比数列的性质求出，由乘“1”法求出代数式的最小值即可．
【答案】正项等比数列的公比为2，若，
故,故，,
故．
当且仅当即时“＝”成立，故选A．
2．【解题思路】 画出可行域，确定取最小值和最大值时的点．
【答案】 画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，
结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2．故选B．
3．【解题思路】 利用分离参数法分离出m，转化为求最值问题．
【答案】 由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，
因为x＜0，所以m＞＝2x＋．
又2x＋＝－≤－2＝－2．
当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，
所以m＞－2．故选C．
4．【解题思路】 分类讨论代入不同的函数解析式，进而求出x的范围．
【答案】 当x＞0时，由可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞)．故填(－∞，0]∪[3，＋∞)．
5．【解题思路】（1）画出可行域，将目标函数变形为，故最大值，直线纵截距最大，故将直线经过可行域尽可能地向上平移到点时，此时最大，将点坐标带入即可，表示可行域内的点到原点距离的平方，观察可行域内的点并将与原点距离最小的点的坐标带入目标函数即可；（2）函数解析式化为，由图像得只需，解不等式得的取值范围．
【答案】（1）由，得 ∴，由，得 ∴，
由，得，∴，可行域为如图，
∵，又∵，∴，是轴的截距，，
∴过点时，，∵是表示区域M上的点到原点距离平方.
如图使所求距离的平方最小，∴.
（2）∵，过区域中的点，而区域中，
又∵，函数图象过点，，
当时，，，
∴满足过区域M中的点，只须图象与射线，有公共点.
∴只须时, ，∴，∴所求的取值范围是.
精准预测题
1．【解题思路】画出可行域，确定何时取最小值.
【答案】
由题画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，
由题，∴，选C．
2．【解题思路】x2＋y2可看做点(x, y)到(0, 0)的距离的平方，也可利用均值不等式．
【答案】 法一 ∵x≥0，y≥0且x＋y＝1．
∴2≤x＋y＝1，当且仅当x＝y＝时取等号，从而0≤xy≤，
因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1．
法二 可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2＋y2的取值范围为．
故填 ．
3．【解题思路】 y＝3x＋b化为b＝－3x＋y即为目标函数，画出可行域，确定取最小值时的点．
【答案】 作x＝|y－1|与y＝2x－5围成的平面区域如图，
由解得A(6，7)，
平移直线y＝3x＋b，则由图象可知当直线经过点A时，直线y＝3x＋b在y轴上的截距最小，此时b最小．
∴b＝－3x＋y的最小值为－18＋7＝－11．
故填－11．
4．【解题思路】（1）先求导数，并化简不等式得，再根据一元二次不等式恒成立得，最后利用基本不等式得结论.（2）先讨论时，不等式恒成立，再讨论时，利用变量分离法将不等式恒成立转化为对应函数最值问题，根据函数单调性求得函数最值即得M的取值范围，最后确定M的最小值．
【答案】 （1）易知．由题设，对任意的，，即恒成立，所以，从而．
于是，且，因此．
（2）由（1）知，．当时，有．
令，则，．而函数的值域是．
因此，当时，的取值集合为．
当时，由（1）知，，．
此时或0，，从而恒成立．
综上所述，的最小值为．
5．【解题思路】根据设初中编个班，高中编制为个班，得出二元一次方程组，
又设年利润为万元，那么，即，
根据线性规划可得年利润最大值，
利用可得大约经过36年可以收回全部投资.
【答案】设初中编制为个班，高中编制为个班.则依题意有， （*）
又设年利润为万元，那么，即，
在直角坐标系中作出（*）所表示的可行域，如图所示.
问题转化为在如图所示的阴影部分中，求直线在轴上的截距的最大值，
如图，虚线所示的为一组斜率为的直线，显然当直线过图中的点时，纵截距取最大值.
解联立方程组得，
将，代入s中得，，.
设经过年可收回投资，则
第年利润为（万元）；
第2年利润为（万元），
以后每年的利润均为万元，故依题意应有.
解得.
答：学校规模以初中个班、高中个班为宜，第一年初中招生个班约人，高中招生个班约，从第三年开始年利润为万元，约经过年可以收回全部投资.
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