2019届高考数学二轮复习专题一第3讲　导数与函数综合问题Word版含答案.docx

专题一 第3讲 导数与函数综合问题 函数、导数与不等式 考向预测 ‎1.利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.‎ ‎2. 在高考压轴题中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数的零点(方程的根)、比较大小、不等式证明、不等式恒成立与能成立问题.‎ 知识与技巧的梳理 ‎1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).‎ ‎2.四个易误导数公式 ‎(1)(sin x)′＝cos x；‎ ‎(2)(cos x)′＝－sin x；‎ ‎(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；‎ ‎(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1，x>0).‎ ‎3.利用导数研究函数的单调性 ‎(1)导数与函数单调性的关系.‎ ‎①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.‎ ‎②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.‎ ‎(2)利用导数研究函数单调性的方法.‎ ‎①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)0，右侧f′(x)0或f(x2)＜0‎ 两个 f(x1)＝0或者f(x2)＝0‎ 三个 f(x1)＜0且f(x2)＞0‎ ‎7.利用导数解决不等式问题 ‎(1)利用导数证明不等式.‎ 若证明f(x)g(x)的解集的子集⇔[f(x)－g(x)]min>0(x∈I).‎ ‎②∃x∈I，使f(x)>g(x)成立⇔I与f(x)>g(x)的解集的交集不是空集⇔[f(x)－g(x)]max>0(x∈I).‎ ‎③对∀x1，x2∈I使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x)max≤g(x)min.‎ ‎④对∀x1∈I，∃x2∈I使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x)min≥g(x)min.‎ 热点题型 热点一　利用导数研究函数的单调性 ‎【例1】 (2019·衡水中学)已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当,，为两个不相等的正数，证明：.‎ 解（1）函数的定义域为，.‎ 若，，则在区间内为增函数；‎ 若，令，得.‎ 则当时，，在区间内为增函数；‎ 当时，，在区间内为减函数.‎ ‎（2）当时，.不妨设，则原不等式等价于，‎ 令，则原不等式也等价于即.‎ 下面证明当时，恒成立.‎ 设，则，‎ 故在区间内为增函数，，即，‎ 所以.‎ 探究提高　1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)0.‎ ‎(2)对k分类讨论不全，题目中已知k>0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.‎ ‎【训练1】 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数).‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；‎ ‎(3)函数f(x)是否为R上的单调减函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由.‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex，‎ 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.‎ 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，‎ 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(－，).‎ ‎(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，‎ 所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，‎ 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，‎ 则a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1，1)都成立.‎ 令g(x)＝(x＋1)－，则g′(x)＝1＋＞0.‎ 所以g(x)＝(x＋1)－在(－1，1)上单调递增.所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－＝.‎ 所以a的取值范围是.‎ ‎(3)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立.‎ 因为ex＞0，所以x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立.‎ 所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的.‎ 故函数f(x)不可能在R上单调递减.‎ 热点二　利用导数研究函数的极值和最值 ‎【例2】 (2018·安阳调研)已知函数的极大值为2．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求在上的最大值．‎ 解（1）依题意，‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在处取得极大值，即，解得．‎ ‎（2）由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，‎ ‎①当，即时，在上单调递增，‎ 所以在上的最大值为．‎ ‎②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上的最大值为．‎ ‎③当且，即时，在上单调递减，‎ 所以在上的最大值为．‎ ‎④当，即时，令，得或（舍去）‎ 当时，在上的最大值为．‎ 当时，在上的最大值为．‎ 综上可知：‎ 当或时，在上的最大值为；‎ 当时，在上的最大值为；‎ 当时，在上的最大值为．‎ 探究提高　1.求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右附近函数值的符号.‎ ‎2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.‎ ‎3.求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.‎ ‎【训练2】 (2017·郴州二模选编)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x.‎ ‎(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当a0，因为a>0，x>0，∴>0，∴x－1>0，得x>1，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝，‎ 因为a1，即－