专题二
第1讲 三角函数
三角函数、解三角形、平面向量与数列
考向预测
1．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；
2．利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查；
3．三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心．
知识与技巧的梳理
1．常用三种函数的图象性质(下表中)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
递增
区间
递减
区间
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称
中心
对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ
周期性
2π
2π
π
2．三角函数的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋( )时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋( )求得．
(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；
对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ()求得．
(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ()时为奇函数．
3．三角函数的两种常见变换
(1)y＝sin x
y＝sin(ωx＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．
4．三角函数公式
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，．
(2)诱导公式：对于“，的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：
奇变偶不变，符号看象限．
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
；
；
．
(4)二倍角公式：，．
(5)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中．
热点题型
热点一 三角函数的图象
【例1】(1) (2018·清流一中)已知函数，
（1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象；
（2）函数图象经过怎样的变换可以得到的图象？
(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
A． B．
C． D．
(1)解 (1)列表
0
2
0
0
2
【注：列表每行1分，该行必须全对才得分；图象五点对得1分，图象趋势错扣1分】
（2）把的图象向左平移个单位得到的图象，再把的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象，最后把的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到的图象．
(2)由(1)知，根据图象平移变换，得．
因为y＝sin x的对称中心为，．
令2x＋2θ－＝kπ，，解得，．
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，令，，解得，．
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值．
(2)解析 (1)由题意知A＝2，，ω＝2，
因为当时取得最大值2，所以，
所以，，解得，，
因为|φ|0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
【训练1】(1) (2018·孝感期末)已知函数，，
的图像在轴上的截距为1，且关于直线对称．若对于任意的，存在，
使得，则实数的取值范围为______．
(2)(2017·贵阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( ，，)的部分图象如图所示．
①求函数f(x)的解析式；
②将函数y＝f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，再把所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间上的最小值．
解析(1)因为的图像在轴上的截距为1，且关于直线对称，
所以，，
又，，所以，，
所以，，
所以，，，，
因为，，所以，
若对于任意的，存在，使得，
则，所以，解得，
所以实数m的取值范围为，答案为．
答案
(2)解 ①设函数f(x)的最小正周期为T，由题图可知A＝1，＝－＝，
即T＝π，所以π＝，解得ω＝2，故f(x)＝sin(2x＋φ)．
由0＝sin可得＋φ＝2kπ，，
则φ＝2kπ－，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝－，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin．
②根据条件得g(x)＝sin，
当x∈时，4x＋∈，
所以当x＝时，g(x)取得最小值，且g(x)min＝．
热点二 三角函数的性质
【例2】 (2018·哈尔滨三中)已知函数的图象与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．
（1）求解析式及的值；
（2）求的单调增区间；
（3）若时，函数有两个零点，求实数的取值范围．
解 （1）由题意知，，，∴，∴；
又∵图象过点，∴，∴；
又∵，∴；∴；
又∵是在轴右侧的第1个最高点，∴，解得．
（2）由，得，
∴的单调增区间为；
（3）∵在时，函数有两个零点，
∴有两个实数根，即函数图象有两个交点．
∴在上有两个根，
∵，∴，
∴结合函数图象，函数有两个零点的范围是．
∴．
探究提高 1．讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．
2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间，是将ωx＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y＝Asin(ωx＋φ)的增区间(或减区间)，但是当A＞0，ω＜0时，需先利用诱导公式变形为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间．
【训练2】 (2017·浙江卷)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．
(1)求f 的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解 (1)f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin，
则f ＝－2sin＝2．
(2)f(x)的最小正周期为π．
由正弦函数的性质，令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z．
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z．
热点三 三角函数图象与性质的综合应用
【例3】 (2017·西安调研)已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx－(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求函数f(x)的单调递增区间．
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
解 (1)f(x)＝2sin ωxcosωx＋(2sin2ωx－1)＝sin 2ωx－cos 2ωx＝2sin．
由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，，
整理得kπ－≤x≤kx＋，，
所以函数f(x)的单调递增区间是，．
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin 2x＋1的图象；
所以g(x)＝2sin 2x＋1．
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋( )，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可．
所以b的最小值为4π＋＝．
探究提高 1．研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝．应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的最小正周期为T＝．
【训练3】函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出在区间上的图象．
性质
理由
结论
得分
定义域
值域
奇偶性
周期性
单调性
对称性
作图
解∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立，∴函数的定义域为R；
∵，
∴由|cosx|∈[0，1]，f2（x）∈[2，4]，可得函数的值域为[2，2]；
∵，∴函数的最小正周期为π，
∵当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
∴在上递增，在上递减，
∵，且，
∴在其定义域上为偶函数，结合周期为π得到图象关于直线对称，
因此，可得如下表格：
性质
理由
结论
得分
定义域
定义域
值域
值域
奇偶性
偶函数
周期性
周期
单调性
在上递增，
在上递减
对称性
f（-x）=f（x），，…
关于直线x=kπ2对称
作图
热点四 三角恒等变换及应用
【例4】(1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan ，则＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析＝＝＝＝＝＝3．
答案C．
探究提高1．三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值．
2．解决条件求值问题的三个关注点
(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．
(3)解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，
求出角的大小．
【训练4】 (1) (2018·泰安一中)平面直角坐标系中，点在单位圆上，设，
若，且，则的值为_________．
(2)(2017·石家庄质检)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0
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