专题三
牛顿运动定律与曲线运动
考向预测
从考查方式上来说，在高考的考查中，本专题内容可能单独考查，特别是万有引力与航天部分，常以选择题形式出现；也可能与其他专题相结合，与能量知识综合考查，以计算题形式出现。
从近几年考试命题趋势看，本章内容与实际应用和生产、生活、科技相联系命题，或与其他专题综合考查，曲线运动问题由原来的选择题转变为在计算题中考查，万有引力与航天仍然以选择题出现，单独考查的可能性更大。
知识与技巧的梳理
1．竖直面内的圆周运动
竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度关系通常利用动能定理来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析。
2．平抛运动
对于平抛或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用“合成与分解的思想”，分析这两种运动转折点的速度是解题的关键。
3．天体运动
(1)分析天体运动类问题的一条主线就是F万＝F向，抓住黄金代换公式GM＝gR2。
(2)确定天体表面重力加速度的方法有：测重力法、单摆法、平抛(或竖直上抛)物体法、近地卫星环绕法。
限时训练
（45分钟）
经典常规题
1．(多选)如图所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与小球的质量有关
C．比值不但与小球的质量有关，还与圆周轨道半径有关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
2．(多选)2018年4月2日早8时15分左右，在太空中飞行了六年半的天宫一号目标飞行器已再入大气层，绝大部分器件在再入大气层过程中烧蚀销毁，部分残骸坠落于南太平洋中部区域，结束它的历史使命。在烧蚀销毁前，由于稀薄空气阻力的影响，“天宫一号”的运行半径逐渐减小。在“天宫一号”运行半径逐渐减小过程，下列说法正确的是( )
A．运行周期逐渐减小 B．机械能逐渐减小
C．受到地球的万有引力逐渐减小 D．运行速率逐渐减小
3．(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
高频易错题
1．(多选)如图所示，质量为m′的半圆形轨道槽放置在水平地面上，槽内壁光滑。质量为m的小物体从槽的左侧顶端由静止开始下滑到右侧最高点的过程中，轨道槽始终静止，则该过程中( )
A．轨道槽对地面的最小压力为m′g
B．轨道槽对地面的最大压力为(m′＋3m)g
C．轨道槽对地面的摩擦力先增大后减小
D．轨道槽对地面的摩擦力方向先向左后向右
2．(多选)如图所示，在竖直平面内固定两个很靠近的同心圆轨道，外圆内表面光滑，内圆外表面粗糙，一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v0向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．若v0＝2，则小球在整个运动过程中克服摩擦力做功等于mgR
B．若使小球在最低点的速度v0大于，则小球在整个运动过程中机械能守恒
C．若小球要做一个完整的圆周运动，小球在最低点的速度v0必须大于等于
D．若小球第一次运动到最高点，内环对小球的支持力为0.5mg，则小球在最低点对外圆环的压力为5.5mg
精准预测题
1．(多选)如图所示，一带电小球自固定斜面顶端A点以某速度水平抛出，落在斜面上B点。现加上竖直向下的匀强电场，仍将小球自A点以相同速度水平抛出，落在斜面上C点。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．小球带正电
B．小球所受电场力可能大于重力
C．小球两次落在斜面上所用的时间不相等
D．小球两次落在斜面上的速度大小相等
2．如图所示，长为L的轻质硬杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴上，现让杆绕
转轴O在竖直平面内匀速转动，转动的角速度为ω，重力加速度为g，某时刻杆对球的作用力水平向左，则此时杆与水平面的夹角θ为( )
A．sin θ＝ B．sin θ＝
C．tan θ＝ D．tan θ＝
3．(多选)如图所示，质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为Ep＝－，其中G为引力常量，M为地球质量，该卫星原来在半径为R1的轨道Ⅰ上绕地球做匀速圆周运动，经过椭圆轨道Ⅱ的变轨过程进入半径R3圆形轨道Ⅲ继续绕地球运动，其中P为Ⅰ轨道与Ⅱ轨道的切点，Q点为Ⅱ轨道与Ⅲ轨道的切点，下列判断正确的是( )
A．卫星在轨道Ⅰ上的动能为
B．卫星在轨道Ⅲ上的机械能等于－
C．卫星在Ⅱ轨道经过Q点时的加速度小于在Ⅲ轨道上经过Q点时的加速度
D．卫星在Ⅰ轨道上经过P点时的速率大于在Ⅱ轨道上经过P点时的速率
4．(多选)我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，如图为“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ1和θ2(θ2图中未标出)，卫星a的轨道半径是b的4倍。己知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略。下列分析正确的是( )
A．卫星a，b的速度之比为2 : 1
B．卫星b的周期为
C．卫星b每次在盲区运行的时间为
D．卫星b每次在盲区运行的时间为
5．如图所示，一颗极地卫星从北纬30°的A点正上方的B点按图示方向第一次运行至南极C点正上方的D点时所用时间为t，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响。以下说法错误的是( )
A．卫星运行的周期3t
B．卫星距地面的高度
C．卫星的角速度
D．卫星的加速度
6．如图，水平光滑杆CP上套有一个质量m＝1 kg的小物块A(
可视作质点)，细线跨过O点的轻质小定滑轮一端连接物块A，另一端悬挂质量mB＝2 kg的小物块B，C点为O点正下方杆的右端点，定滑轮到杆的距离OC＝h＝0.4 m。开始时AO与水平方向的夹角为30°，A和B静止。杆的右下方水平地面上有一倾角为θ＝37°固定斜面，斜面上有一质量M＝1 kg的极薄木板DE(厚度忽略)，开始时木板锁定，木板下表面及物块A与斜面间动摩擦因数均μ1＝0.5，木板上表面的DF部分光滑(DF长L1＝0.53 m)，FE部分与物块A间的动摩擦因数μ2＝3/8。木板端点E距斜面底端G长LEG＝0.26 m。现将A、B同时由静止释放(PO与水平方向的夹角为60°)，物块A运动到C点时细线突然断开，物块从C水平滑离杆，一段时间后，恰好以平行于薄木板的方向滑上木板，与此同时解除木板的锁定。滑块在木板上DF段运动时间恰是在FE段的一半，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物块A运动到P点时滑块A、B的速度之比；
(2)木板表面FE部分的长度L2；
(3)从解除锁定开始计时，木板端点E经多长时间到达斜面底端G？
参考答案
限时训练
（45分钟）
经典常规题
1．【解题思路】当v2＝a时，此时绳子的拉力为零，物体的重力提供向心力，则，解得v2＝gr，与物体的质量无关，故A错误；当v2＝2a时，对物体受力分析，则，解得b＝mg，与小球的质量有关，故B正确；根据A、B可知与小球的质量有关，与圆周轨道半径有关，故C正确；若F＝0，由图知：v2＝a，则有，解得，若v2＝2a，，解得，故D正确。
【答案】BCD
2．【解题思路】根据可知，则半径减小，周期减小，选项A正确；由于空气阻力做功，则机械能减小，选项B正确；由可知，半径减小，万有引力增加，选项C错误；由可知，半径减小，速率变大，选项D错误。
【答案】AB
3． 【解题思路】两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示。每秒转动12圈，角速度已知，中子星运动时，由万有引力提供向心力得：
＝m1ω2r1①，＝m2ω2r2②，l＝r1＋r2③
由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，质量之和可以估算。
由线速度与角速度的关系v＝ωr得：
v1＝ωr1④，v2＝ωr2⑤
由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。
质量之积和各自自转的角速度无法求解。
【答案】BC
高频易错题
1．【解题思路】当m在最高点时，物体只受重力对半圆轨道没有压力，故此时轨道槽对地面的压力最小为m′g，故A正确；当物体运动到最低点时，由机械能守恒可知，，由向心力公式可得，解得F＝3mg，故轨首槽对地面的压力为3mg＋m′g，此时压力最大，故B正确；当m对轨道的压力有沿水平方向的分量时，轨道槽受到水平方向的摩擦力，而在最低点时，水平分量为零，故此时摩擦力为零，故C错误；m
在轨道左侧时，对槽的弹力有水平向左的分量，故此时地面对槽有向右的摩擦力；当物体到达右侧时，弹力向右，故摩擦力向左，由牛顿第三定律可知，D正确。
【答案】ABD
2．【解题思路】若v0＝2，则若圆环内圆外表面也光滑，则上升的最大高度h＝＝2R，即恰好能上升到轨道最高点；因内圆外表面粗糙，外圆内表面光滑，则小球在上半个圆内要克服内圆的摩擦力做功，往复运动的高度逐渐降低，最后小球将在下半圆轨道内往复运动，故克服摩擦力做功为Wf＝mv02－mgR＝mgR，选项A正确；小球沿外圆运动，在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，小球恰好运动到最高点时对外圆恰无压力时速度设为v，则有mg＝m，由机械能守恒定律得：mv02＝mg·2R＋mv2，小球在最低点时的最小速度v0＝，所以若小球在最低点的速度大于，则小球始终做完整的圆周运动，机械能守恒，故C错误，B正确．若小球第一次运动到最高点，内圆对小球的支持力为0.5mg，则mg－0.5mg＝m，解得v＝，若圆环内圆外表面光滑，则到达最低点的速度满足：mv′2＝mv2＋mg·2R，在最低点：FN－mg＝m，解得FN＝5.5mg；但是由于内圆外表面不光滑，且小球与内圆有摩擦力，故小球在最低点的速度比无摩擦时的速度小，故对外圆环的压力小于5.5mg，选项D错误。
【答案】AB
精准预测题
1．【解题思路】不加电场时，小球做平抛运动，加电场时，小球做类平抛运动，根据，则t＝，因为水平方向上小球做匀速直线运动，可知t2>t1，则加上电场后的加速度a
微信/支付宝扫码支付