专题四
功能关系在力学中的应用
考向预测
能量观点是高中物理解决问题的三大方法之一，既在选择题中出现，也在综合性的计算题中应用，常将功、功率、动能、势能等基础知识融入其他问题考查，也常将动能定理、机械能守恒、功能关系作为解题工具在综合题中应用。考查的重点有以下几方面：(1)(变力)做功和功率问题；(2)动能定理的应用；(3)机械能守恒的条件；(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合；(5)功能关系与能量守恒。
知识与技巧的梳理
1．几种力做功的特点
(1)重力、弹簧弹力、静电力做功与路径无关。
(2)摩擦力做功的特点
①单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
②相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零，在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的转移，没有机械能转化为其他形式的能；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。在一对滑动摩擦力做功的过程中，不仅有相互摩擦的物体间机械能的转移，还有部分机械能转化为内能，转化为内能的量等于系统机械能的减少量，等于滑动摩擦力与相对位移的乘积。
③摩擦生热是指滑动摩擦生热，静摩擦不会生热。
2．几个重要的功能关系
(1)重力的功等于重力势能的变化，即WG＝－ΔEp。
(2)弹力的功等于弹性势能的变化，即W弹＝－ΔEp。
(3)合力的功等于动能的变化，即W＝ΔEk。
(4)重力(或系统内弹簧弹力)之外的其他力的功等于机械能的变化，即W其他＝ΔE。
(5)一对滑动摩擦力做的功等于系统中内能的变化，即Q＝Ff·x相对。
1．功和功率的求解
(1)功的求解：W＝Flcos α用于恒力做功，变力做功可以用动能定理或者图象法来求解。
(2)功率的求解：可以用定义式P＝来求解，如果力是恒力，可以用P＝Fvcos α来求解。
2．动能定理的应用技巧
若运动包括几个不同的过程，可以全程或者分过程应用动能定理。
限时训练
（45分钟）
经典常规题
1．(2018·全国卷Ⅲ·19)地下矿井的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送到地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程，( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
2．如图所示，一块长木板B放在光滑的水平面上，在B上放一物体A。现以恒定的外力拉B，使A、B间产生相对滑动，如果以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离，在此过程中( )
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功，等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量
高频易错题
1．如图所示，一个质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为0.6g，该物体在斜面上上升的最大高度为h，g＝10 m/s2，则在这个过程中物体的( )
A．机械能守恒
B．重力势能增加了0.5mgh
C．机械能损失了0.2mgh
D．动能损失了1.1mgh
2．(多选)如图所示，在升降机内有一固定的光滑斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体下方的固定木板A上，另一端与质量为m的物块B相连，弹簧与斜面平行。升降机由静止开始加速上升高度h的过程中( )
A．物块B的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块B的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
C．物块B的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
D．物块B和弹簧组成系统的机械能的增加量等于斜面对物块B的支持力和A对弹簧的弹力做功的代数和
3．(多选)以恒定速率运动，皮带始终是绷紧的，将m＝1 kg的货物放在传送带上的A处，经过1.2 s到达传送带的B端。用速度传感器测得货物与传送带的速度v随时间t变化的图象如图乙所示，已知重力加速度g取10 m/s2，由v－t图线可知( )
A．A、B两点的距离为2.4 m
B．货物与传送带的动摩擦因数为0.5
C．货物从A运动到B过程中，传送带对货物做功大小为12.8 J
D．货物从A运动到B过程中，货物与传送带摩擦产生的热量为4.8 J
精准预测题
1．(多选)倾角θ＝30°的斜面体固定在水平面上，在斜面体的底端附近固定一挡板，一质量不计的弹簧下端固定在挡板上，弹簧自然伸长时其上端位于斜面体上的O点处。质量分别为4m、m的物块甲和乙用一质量不计的细绳连接，跨过固定在斜面体顶端的光滑定滑轮，如图所示。开始物块甲位于斜面体上的M处，且MO＝L，物块乙开始距离水平面足够远，现将物块甲和乙由静止释放，物块甲沿斜面下滑，当物块甲将弹簧压缩到N点时，物块甲、乙的速度减为零，。已知物块甲与斜面体之间的动摩擦因数，重力加速度取g＝10 m/s2，忽略空气的阻力，整个过程细绳始终没有松弛。则下列说法正确的是( )
A．物块甲由静止释放到斜面体上N点的过程，物块甲先做匀加速直线运动，紧接着做匀减速直线运动直到速度减为零
B．物块甲在与弹簧接触前的加速度大小为0.5 m/s2
C．物块甲位于N点时，弹簧所储存的弹性势能的最大值为
D．物块甲位于N点时，弹簧所储存的弹性势能的最大值为
2．如图所示，质量m＝0.2 kg的小球套在固定的光滑圆环上，圆环的圆心为O，轻质弹簧的一端固定于圆心，另一端与小球相连，弹簧、小球和圆环在同一竖直平面内，B、C分别为圆环的最低点和最高点。小球受到水平向右的恒力F作用，静止于圆环上A点且恰好与圆环间无相互作用，此时弹簧与竖直方向上的夹角θ＝60o。已知弹簧劲度系数k＝40 N/m，原长l0＝0.6 m，g取10 m/s2。
(1)求水平力F的大小；
(2)撤掉F，求小球运动到B点时对轨道的压力的大小；
(3)若圆环粗糙，撤掉F同时使小球获得大小为5 m/s的速度，小球运动到最高点C处对轨道的压力为6 N，求此过程中小球克服摩擦力做的功。
3．“打水漂”是男女老少都适合体验的水上项目，将扁平的小石片在手上呈水平放置后，用力飞出，石片遇到水面后并不会直接沉入水中，而是在水面上擦水面滑行一小段距离后再弹起再飞，跳跃数次后沉入水中，即称为“打水漂”。如图所示，现在有一人从岸边离水面高度为1.8 m处，以8 m/s的水平初速度用力飞出一质量为20 g的小石片，小石片在水面上弹跳数次后沉入水底，在水面上滑行时受到的水平阻力为0.4 N。假设每次小石片接触水面相同的时间0.04 s后跳起，小石片在水面上滑动后在竖直方向上跳起时的速度与此时沿水面滑动的速度之比为常数k，k＝0.75；小石片在水面上速度减为零后，以0.5 m/s2加速度沿竖直方向沉入深为1 m的水底。不计空气阻力。求：
(1)小石片第一次接触水面时的速度；
(2)小石片从开始到沉入水底的整个过程中，水对小石片做的功；
(3)小石片从抛出到沉入水底的总时间。
4．如图所示轻弹簧一端固定在水平面上的竖直挡板上，处于原长时另一端位于水平面上B点处，B点左
侧光滑，右侧粗糙。水平面的右侧C点处有一足够长的斜面与水平面平滑连接，斜面倾角为37°，斜面上有一半径为R＝1 m的光滑半圆轨道与斜面切于D点，半圆轨道的最高点为E，G为半圆轨道的另一端点，LBC＝2.5 m，A、B、C、D、E、G均在同一竖直面内。使质量m＝0.5 kg的小物块P挤压弹簧右端至A点，然后由静止释放P，P到达B点时立即受到斜向右上方，与水平方向的夹角为37°，大小为F＝5 N的恒力，一直保持F对物块P的作用，结果P通过半圆轨道的最高点E时的速度为m/s。已知P与水平面斜面间的动摩擦因数均为μ＝0.5，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，求：
(1)P运动到E点时对轨道的压力大小；
(2)弹簧的最大弹性势能；
(3)若其他条件不变，增大B、C间的距离使P过G点后恰好能垂直落在斜面上，求P在斜面上的落点距D点的距离。
参考答案
限时训练
（45分钟）
经典常规题
1．【解题思路】由图线①知，上升总高度h＝v0t0；由图线②知，加速阶段和减速阶段上升的总高度h1＝v0t0；匀速阶段有h－h1＝v0t′，解得匀速运动的时间t′＝t0，故第②次提升过程所用时间为＋t0＋＝t0，两次上升所用时间之比为2t0∶t0＝4∶5，A项正确。由于加速阶段加速度相同，故加速时牵引力相同，B项错误。
在加速上升阶段，由牛顿第二定律知，F－mg＝ma，F＝m(g＋a)，第①次在t0时刻，功率P1＝Fv0，第②次在时刻，功率P2＝F·，第②次在匀速阶段F′＝mg，P2′＝F′·＝mg·
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