专题01 极值点的关系证明
极值点的关系证明是今年高考的热点和难点，其关键在于根据极值的必要条件确定极值点的关系，再通过极值的加减，运算整理，构造函数，再利用导数求最值即可证明。以下给出四个例子及两个练习。
【题型示例】
1、已知函数,其中为正实数．
(1)若函数在处的切线斜率为，求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数有两个极值点，求证：．
【答案】
(1)
(2)单调减区间为, ,单调减区间为．
(3)见解析
【解析】
(1)因为，所以，
则,所以的值为．
(2) ，函数的定义域为，
若,即,则,此时的单调减区间为;
若,即,则的两根为,
此时的单调减区间为, ,
单调减区间为．
(3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．
因为
要证,只需证．
构造函数，则，
在上单调递增,又,且在定义域上不间断,
由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且．
则在上递减, 上递增,所以的最小值为．
因为,
当时, ,则,所以恒成立．
所以,所以，得证．
2、已知。
(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.
(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.
(2),,∴,
令,时,,,无极值点,
时,令得:或,
由的定义域可知,且,
∴且,解得:,
∴,为的两个极值点,
即, ,且, ,得:
,
令, ,
②时,,∴,
,在递减, ,∴时, ,不合题意,
综上,.
3、已知函数．
（1）当时，求的极值；
（2）讨论的单调性；
（3）设有两个极值点，，若过两点，的直线与 轴的交点在曲线上，求的值．
【答案】
（1）当时，的极大值为；当时，的极小值为；
（2）见解析；
（3）或或．
【解析】
（1）当时，，则
则的关系如下：
增
减
增
所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为．
（2）∵，∴
①当 时，，且仅当时，所以在R是增函数
②当 时，有两个根
当时，得或，所以的单独增区间为：；
当时，得，所以的单独减区间为：．
（3）由题设知，，是的两个根，∴，且
所以
同理，
所以，直线的解析式为
设直线与轴的交点为则，解得
代入得
因为在轴上，所以
解得，或或．
4、已知。
(1)若时,在上为单调递增函数,求实数的取值范围.
(2)若,存在两个极值点,且,求实数的取值范围.
【答案】
(1);
(2).
【解析】
(1)当时, ,在上为单调递增函数,即,只需满足即可,即.
(2),,∴,
令,时,,,无极值点,
时,令得:或,
由的定义域可知,且,
∴且,解得:,
∴,为的两个极值点,
即, ,且, ,得:
,
令, ,
②时,,∴,
,在递减, ,∴时, ,不合题意,
综上,.
【专题练习】
1、设函数，.
（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数有两个极值点，且，求证：.
【答案】
（1）；
（2）函数在，单调递增，在单调递减．
（3）当函数有两个极值点时，，，
故此时，且，即，
所以，
设，其中，则，
由于时，，故在是增函数，故，所以.
②当，即时，的两个根为，，
当，即时，，当时，．
故当时，函数在单调递减，在单调递增；
当时，函数在，单调递增，在单调递减．
（3）当函数有两个极值点时，，，
故此时，且，即，
所以，
设，其中，则，
由于时，，故在是增函数，故，所以.
2、 已知函数.
(1) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(2) 若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）当时，，，所以.
因此曲线在点处的切线方程为.
（2）由题意得，
故的两个不等的实数为.
由韦达定理得，解得.
故，
设.
则，
所以在上单调递减，
所以.
因此的取值范围为.
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