专题02 导数与零点个数
导数与零点个数，对于考生来讲中等偏难，基本的思路是利用导数分析函数的单调性，确定函数的极值或最值，作出函数的大致图像，再数形结合可求得结果。
【题型示例】
1、设为实数,函数．
(1)求的极值点；
(2)如果曲线与轴仅有一个交点,求实数的取值范围．
【答案】
（1）的极大值点为,极小值点为．（2）或．
2、已知函数.
（1）求的极值；
（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点,求实数的取值范围.
【答案】
（1）极大值，无极小值；
（2）.
【解析】
（1）的定义域为, ,令得，
当时，，是增函数；
当时，，是减函数，
所以在处取得极大值,
无极小值.
（2）①当时，即时，
由（1）知在上是增函数，在上是减函数，
所以，
因为的图象与的图象在上有公共点,
所以，解得，又，所以.
②当时，即时，在上是增函数，
所以在上最大值为，
所以原问题等价于,解得.
又，所以此时无解.
综上,实数 的取值范围是.
3、设函数（其中）．
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）求函数在上的最小值；
（Ⅲ）若，判断函数零点个数．
【答案】
（1）极小值，不存在极大值；
（2）
（3）1个．
【解析】
（Ⅰ） ，
由得，由得，
在单调递增，在单调递减．
极小值，不存在极大值．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，在单调递增，在单调递减．
当时，在单调递减，单调递增，
∴．
当时，在单调递增，
；
（Ⅲ）由题意
求导得，
由得或，由得
所以在上单调递增，在上单调递减
当时，，
故函数只有一个零点．
4、已知函数 .
（I）若，求的极值；
（II）若，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】
（I）的极小值为；（II）或.
【解析】
（I）时，，其中
则得
当时，单调递减，当时，单调递增，
因而的极小值为 ；
（II）若有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个实数根，
分离参数得，设，则，
又设，，而
因而当时，当时，
那么当时，单调递增，
当时，单调递减，，
又时，且时
从而或，即或时函数有且只有一个零点.
【题型专练】
1、已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
【答案】
（1）有得极大值，无极小值；（2）.
2、设函数, .关于的方程在区间上有解,求的取值范围;
【答案】的取值范围.
【解析】
方程即为,
令,则,
∴当时,,随变化情况如表:
, , ,
∴当时, ,∴的取值范围.
3、已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时（其中），不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程在区间上恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围.
【答案】
（1）的单调减区间为，增区间；
（2）；
（3）.
【解析】
∵,所以
(1)∵,令, 得：，所以的单调减区间为，增区间；
（2）由（1）知, 得，函数在上是连续的，又
所以，当时，的最大值为
故时，若使恒成立，则
（3）原问题可转化为：方程在区间上恰有两个相异实根.
令，则，令，解得：.
当时，在区间上单调递减，
当时，在区间上单调递增.
在和处连续，
又
且当时，的最大值是，的最小值是
∴在区间上方程恰好有两个相异的实根时，实数的取值范围是：
4、设函数,其中为实数.
（1）若在上是单调减函数, 且在上有最小值, 求的取值范围；
（2）若在上是单调增函数, 试求的零点个数, 并证明你的结论.
【答案】
（１）；（２）当或时，有个零点，当时,有个零点，证明见解析．
（2）在上恒成立, 则,故.
①若, 令得增区间为；令得减区间为,
当时, ；当时, ；当时, ,
当且仅当时取等号. 故:时, 有个零点；当时, 有个零点.
5、已知函数在处的切线斜率为2.
(1)求的单调区间和极值;
(2)若在上无解,求的取值范围.
【答案】
（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
函数的极小值为，极大值为.
（2）
【解析】
(1)∵，∴，
∴，
令，解得或..
当变化时，的变化情况如下表:
∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.
∴函数的极小值为，极大值为.
(2)令，
∵在上无解,
∴在上恒成立,
∵，
记，
∵在上恒成立,
∴在上单调递减,
∴，
若，则，
∴，
∴单调递减,
∴恒成立,
若，则，存在，使得，
∴当时，，即，
∴在上单调递增,
∵，
∴在上成立,与已知矛盾,故舍去,
综上可知，.
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