专题04 零点个数与参数范围
通过函数的零点个数确定参数的范围是今年来选择题或者填空的压轴题的热门，题目本身难度不算很大，但是涉及到分类讨论，数形结合，整体，换元，利用导数分析函数的单调性，最值和极值等等数学思想及方法。
【题型示例】
1、已知函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围为.
【答案】
2、已知函数.若函数有个零点，则实数的取值范围是.
【答案】
【解析】
令，
当时有两个零点，需，∴；
当时有三个零点，，∵， 所以函数有个零点，舍；
当时，由于
所以，且 ，所以，
综上实数的取值范围是.
3、函数是上的偶函数， 恒有，且当时， ，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是．
【答案】
【解析】
∵对于任意的,都有，当时，易得：，又函数是上的偶函数，易得：，故
∴函数是一个周期函数，且
又∵当时, ,且函数是定义在上的偶函数，
故函数在区间上的图象如下图所示：
若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数解
则，
解得： ，
即的取值范围是；
故答案为： .
4、已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是.
【答案】
【专题练习】
1、设定义域为的函数，若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】
令，则原函数等价为。作出函数的图象如图，
图象可知当由时，函数有四个交点。
要使关于的函数有8个不同的零点，
则函数在上有两个不同的实根，
令，则由根的分布可得
，整理得，解得。
所以实数的取值范围是。
2、已知函数若函数的图象与直线有且仅有两个交点，则实数的取值范围为．
【答案】
【解析】
函数的图象与直线有且仅有两个交点，即方程有且仅有两个不同的实数根．作出函数的图象如图所示.由图象可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点，要使直线与函数的图象有且仅有两个交点，则，即实数的取值范围为．
3、已知,有个零点，则实数的取值范围是．
【答案】
【解析】
由题意，有两个零点，即函数的图象与直线有两个交点，直线过原点，又，因此一个交点为原点，
又记，，，即在原点处切线斜率大于，并随的增大，斜率减小趋向于0，
可知的图象与直线在还有一个交点，因此没有负实数根．所以
∴．
4、已知函数有零点，则的取值范围是.
【答案】
5、已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
当时，，方程有两解，不符合题意，舍去；当时，，解得或，则函数在区间单调递增；在区间上单调递减，因为，而，所以存在，使得，不符合题意存在唯一的零点，且，舍去；当时，，解得或，则函数在区间单调递减；在区间上单调递增，而，所以存在，使得，因为函数存在唯一的零点，且，所以极小值，整理得，因为，所以，故选.
6、若函数有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由函数有零点，可知方程有解，则当时，，当时，，综上，，则.学-科网
7、已知函数，函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意知方程恰有个实数根，当时，由，解得或，所以，得：.当，由，得或，所以得：.综上,选.
8、已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（ ）（注：为自然对数的底数）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
画出函数图象如下图所示，由图可知，当时，直线与有两个交点；当增大到直线与图象相切时，交点个数从2个变为1个，结合选项可知C正确（D选项，从图象上看，显然不正确) ．
9、已知函数是奇函数, 且函数有两个零点,则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
因为函数是奇数，所以，即，所以，所以．当时，当或时，所以在上函数单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，极小值为．因为函数有两个零点，即方程有两个根，又，由函数图象可得或或，解得或，故选.
10、已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
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