2019届高三年级第一次模拟考试
数 学
(满分160分，考试时间120分钟)
参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝Sh
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．
2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠∅，则实数a＝________．
3. 复数z满足zi＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．
4. 函数y＝的定义域是________．
5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________．
6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．
7. 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则＝________．
8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________．
9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．
10. 已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．
12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足＋＋2＝0，λ＋μ＋＝0，则λμ＝________．
13. 已知函数f(x)＝若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是________．
14. 在△ABC中，已知sin Asin Bsin(C－θ)＝λsin2C，其中tan θ＝，若＋＋为定值，则实数λ＝________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a＝(sin x，1)，b＝，其中x∈(0，π)．
(1) 若a∥b，求x的值；
(2) 若tan x＝－2，求|a＋b|的值．
16. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：
(1) 直线PB∥平面OEF；
(2) 平面OEF⊥平面ABCD.
17. (本小题满分14分)
如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．
(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；
(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．
18. (本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，B是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.
(1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．
19. (本小题满分16分)
设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．
(1) 若函数f(x)＝不存在“优点”，求实数a的值；
(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围；
(3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限．
20. (本小题满分16分)
已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nSn＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1.
(1) 若a2＝3a1，求r的值；
(2) 数列{an}能否是等比数列？说明理由；
(3) 当r＝1时，求证：数列{an}是等差数列．
2019届高三年级第一次模拟考试
数学附加题
(本部分满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)
B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．
C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)
设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求＋＋的最小值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22. (本小题满分10分)
如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1.
(1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．
23. (本小题满分10分)
已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程
fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)．
(1) 求g2(1)的值；
(2) 证明：gn(0)＝gn(1)＋1.
2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)
数学参考答案
1. π 2. ±4 3. 5 4. [－1，1] 5. 6. 8
7. 4 8. 9. 10. (－1，＋∞) 11. 2
12. － 13. [－1，0) 14.
15. (1) 因为a∥b，
所以sin xcos x＝，即sin 2x＝1.
因为x∈(0，π)，所以x＝.
(2) 因为tan x＝＝－2，
所以sin x＝－2cos x.
因为a＋b＝，
所以|a＋b|＝＝＝.
16. (1) O为BD的中点，F为PD的中点，
所以PB∥FO.
因为PB⊄平面OEF，FO⊂平面OEF，
所以PB∥平面OEF.
(2) 连结AC，因为四边形ABCD为平行四边形，
所以AC与BD交于点O，O为AC的中点．
因为E为PC的中点，
所以PA∥OE.
因为PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，
所以PA⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
因为OE⊂平面OEF，
所以平面OEF⊥平面ABCD.
17. (1) 因为Q为弧AB的中点，由对称性，知PA＝PB，∠AOP＝∠BOP＝，
又∠APO＝π－θ，∠OAP＝θ－，
由正弦定理，得＝＝，又OA＝2，
所以PA＝，OP＝，
所以y＝PA＋PB＋OP＝2PA＋OP＝＝，
因为∠APQ＞∠AOP，
所以θ>，∠OAQ＝∠OQA＝(π－)＝，
所以θ∈.
(2) 令f(θ)＝，θ∈，
f′(θ)＝＝0，得θ＝，
f(θ)在区间上单调递减，在区间(，)上单调递增，
所以当θ＝，即OP＝千米时，f(θ)有唯一的极小值，即是最小值，则f(θ)min＝2.
答：当工作坑P与O的距离为千米时，地下电缆管线的总长度最小．
18. (1) 依题意，得解得
所以b＝＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 由(1)知，A(－2，0)，设AB：x＝my－2，m≠0，
联立
解得或
即B(，)，则P(，)，
所以kOP＝－，OP：y＝－x.
因为AB⊥BQ，所以kBQ＝－m，所以直线BQ的方程为BQ：y＝－mx＋，
联立得x0＝＝8－∈(4，8)．
19. (1) 由题意可知，f′(x)＝f′对x∈(0，1)∪(1，＋∞)恒成立，
不妨取x∈(0，1)，则f′(x)＝＝＝f′恒成立，即a＝，
经验证，a＝符合题意．
(2) 设A(t，t2)，B(t≠0且t≠±1)，
因为f′(x)＝2x，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝2tx－t2，y＝x－，
令2tx－t2＝x－，解得x＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以“优点”的横坐标取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3) 设A(t，ln t)，b，t∈(0，1)，
因为f′(x)＝，
所以A，B两点处的切线方程分别为y＝x＋ln t－1，y＝tx－ln t－1，
令x＋ln t－1＝tx－ln t－1，
解得x＝>0，
所以y＝·＋ln t－1＝(ln t－)，
设h(m)＝ln m－，m∈(0，1)，
则h′(m)＝>0，
所以h(m)单调递增，
所以h(m)
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