函数与导数
热点一 利用导数研究函数的性质
以含参数的函数为载体，结合具体函数与导数的几何意义，研究函数的性质，是高考的热点重点.本热点主要有三种考查方式：(1)讨论函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围.
【例1】已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a.
若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；
当x∈时，f′(x)0时，f(x)在x＝取得最大值，
最大值为f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f >2a－2等价于ln a＋a－10).
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当00
所以不等式化为x≤0.
所以不等式f(x)≤0的解集为.
(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，
由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，
所以原方程等价于ex－－1＝0.
令h(x)＝ex－－1，
因为h′(x)＝ex＋>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，
所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，
又h(1)＝e－30，h(－3)＝e－3－0，
所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根且分别在区间1，2]和－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3，1}.
热点三 利用导数研究不等式问题
导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题.归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；
(3)存在型不等式成立问题.
【例3】设函数f(x)＝e2x－aln x.
(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；
(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.
(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2e2x－(x>0).
当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；
当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，
因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，
v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增.
所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增.
又f′(a)>0，当b满足00等价于ln x－>0.
设g(x)＝ln x－，
则g′(x)＝－＝，g(1)＝0.
①当a≤2时，若x>1，则x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0
∴g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
故当a≤2时，g(x)>0在x∈(1，＋∞)上恒成立.
②当a>2时，令g′(x)＝0得x1＝a－1－x2＝a－1＋
由x2>1和x1x2＝1得x1
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