2018～2019学年度第一学期期末六校联考
高二数学
一、选择题（每小题5分，共8小题，共40分）
1．复数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．
2．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
3．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则“”的充分条件是“”
B．若，则“”的充要条件是“”
C．命题“”的否定是“”
D．是等比数列，则是为单调递减数列的充分条件
4．已知直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆在第二象限的交点为M，与轴的交点为N，是椭圆的右焦点,且，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共6小题，共30分）
9．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__________.
10．设公比为的正项等比数列的前项和为，且，若，则__________.
11．在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为__________.
12．已知，，且，则的最小值等于__________.
13．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于两点，分别过作的垂线，垂足为. 若，且三角形的面积为，则的值为___________.
14．已知函数，若是函数唯一的极值点，则实数的取值范围为__________.
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）数列的前项和为，已知，. 其中
（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和.
16．（13分）已知函数在处取得极值.
（Ⅰ）求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
17．（13分）在如图所示的多面体中，平面，平面，，且，是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的二面角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得直线与
平面所成的角是. 若存在，指出点的位置；
若不存在，请说明理由.
18．（13分）已知数列满足，，其中
（Ⅰ）设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
19．（14分）已知椭圆：的离心率，左顶点为，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点. 点为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为的中点，是否存在定点，对于任意的都有，若存在，求出点的坐标；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最大值.
20．（14分）已知函数，.
（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；
（Ⅱ）设，试讨论函数的单调性；
（Ⅲ）当时，若存在正实数满足，求证：.
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高二数学参考答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A
9． 10．2 11． 12． 13． 14．
15．
（Ⅰ）证明：∵，∴，
∴， 又，∴，
∴数列是以1为首项，2为公比的等比数列.…………… …………… 6分
（Ⅱ）由（1）知，，
∴，
∴ ，①
. ②
①-②得
，
∴. …………… …………… 7分
16．
（Ⅰ）时，取得极值，
故解得.经检验符合题意。
…………… …………… 6分
（Ⅱ）由知，
得
令
则在上恰有两个不同的实数根，
等价于上恰有两个不同实数根.
当时，，于是上单调递增；
当时，，于是在上单调递增；
依题意有
解得 . …………… ……………7分
17．（Ⅰ）证明：∵， 是的中点，∴，
又平面，∴，
∵，∴平面，
∴． …………… …………… 3分
（Ⅱ）以为原点，分别以， 为， 轴，如图建立坐标系．则：
， ， ， ， ，
， ， ， ，
设平面的一个法向量，则： ，
取， ， ，所以，
设平面的一个法向量，则：
取， ， ，所以，
．
故平面与平面所成的二面角的正弦值为． …………… …………… 5分
（Ⅲ）在棱上存在一点，使得直线与平面所成的角是，
设且， ，
∴，
∴， ， ，∴，
若直线与平面所成的的角为，则： ，
解得，
所以在棱上存在一点，使直线与平面所成的角是，
点为棱的中点． …………… …………… 5分
18．（Ⅰ）证明：，
所以数列是等差数列，
，因此，
由. …………… …………… 6分
（Ⅱ）由，
所以，
所以，
因为，所以恒成立，
依题意要使对于，恒成立，只需，且解得，的最小值为. …………… …………… 7分
19．（Ⅰ）∵左顶点为 ∴
又∵ ∴
又∵ ∴椭圆的标准方程为．…………… ……3分
（Ⅱ）直线的方程为，由消元得
化简得， ，则
当时， ，
∴
∵点为的中点
∴点的坐标为，则.
直线的方程为，令，得点的坐标为，假设存在定点使得,则，即恒成立，
∴恒成立
∴即
∴定点的坐标为. …………… …………… 5分
（Ⅲ）∵
∴的方程可设为，由得点的横坐标为
由，得
，
当且仅当即时取等号，
∴当时， 的最小值为．
所以，原式最大值为 …………… …………… 6分
20．（Ⅰ）解：因为，所以，
因为在处取得极值，
所以，解得．
验证：当时，在处取得极大值． …………… …………3分
（Ⅱ）解：因为
所以．
①若，则当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减．
②若，，
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减；
当时，恒成立，所以函数在上单调递增；
当时，易得函数在和上单调递增，
在上单调递减． …………… …………… 5分
（Ⅲ）证明：当时，，
因为，
所以，
即，
所以．
令，，
则，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增．
所以函数在时，取得最小值，最小值为．
所以，
即，所以或．
因为为正实数，所以．
当时，，此时不存在满足条件，
所以． …………… …………… 6分
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