2018～2019学年度第一学期期末七校联考
高三数学（理科）
杨村一中：陈丽华 静海一中：郭梅
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则=（ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．设，直线，直线，则“”是“”的（ ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是（ ）
开始
（A） -5 （B）1
是
（C）2 （D）7
否
输出
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
结束
（A）7
否
能被2整除？
（B）14
S=S+2i-1
S=S+2i-1
是
（C）30
（D）41
5．已知,，，，则的大小关系为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．己知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为2，将
的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是函数的单调递增区间的为（ ）
（A） （B） （C） （D）
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
8．定义域为的函数满足，当时， . 若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．已知复数(是虚数单位)，则复数的虚部为___________.
10．若二项式的展开式中的常数项为，则=_____________.
11．已知正方体中，四面体的表面积为，则该正方体的体积是_____________.
12．已知抛物线的参数方程为（为参数，），其焦点为，顶点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在轴的上方），过作于点，若的面积为，则=_____________.
13．设若则的最小值为_____________.
14．在梯形中，∥，，，，，分别为线段和上的动点，且，，则的最大值为_____________.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分）
15．（本题满分13分）
在中，内角所对的边分别为. ，，
.
（Ⅰ）求边的值；
（Ⅱ）求的值.
16． （本题满分13分）
某高中志愿者部有男志愿者6人，女志愿者4人，这些人要参加元旦联欢会的服务工作. 从这些人中随机抽取4人负责舞台服务工作，另外6人负责会场服务工作.
（Ⅰ）设为事件：“负责会场服务工作的志愿者中包含女志愿者但不包含男志愿者”，求事件发生的概率.
（Ⅱ）设表示参加舞台服务工作的女志愿者人数，求随机变量的分布列与数学期望.
17． （本题满分13分）
如图，已知梯形中，∥，，，四边形为矩形，，平面平面.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（Ⅲ）若点在线段上，且直线与平面所成角
的正弦值为，求线段的长.
18．（本题满分13分）
设是等差数列，是等比数列，公比大于0.已知
，，，.
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）设，（）.
（ⅰ）求；
（ⅱ）证明（）
19．（本题满分14分）
设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且点在第二象限. 与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.
20．（本题满分14分）
已知函数，其中，＝2.71828…为自然对数的底数. 设是的导函数.
（Ⅰ）若时，函数在处的切线经过点，求的值；
（Ⅱ）求函数在区间上的单调区间；
（Ⅲ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围.
天津市部分区2018～2019学年度第一学期期末六校联考
高三数学（理科）参考答案
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．B 2．C 3．B 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 10．124 11．8 12． 13． 14．
三、解答题（共80分）
15．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）由，得 ………………………………1分
，由，得， ……………………3分
由余弦定理，得，解得或（舍）
…………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由得 ………………………………………………7分
………………………………………………10分
…………………………13分
16．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）事件为的基本事件的总数为，
事件包含基本事件的个数为，则. …………………4分
（Ⅱ）由题意知可取的值为： . ……………………………5分
则 ，
， ，
………………………………………………………10分
因此的分布列为
0
1
2
3
4
……………………………………… ………………………………………11分
的数学期望是
=…13分
17．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）证明：四边形为矩形，，
又平面平面，平面平面=，
平面. …………………………………………………………1分
取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，
设平面的法向量，∵，，
由得，不妨设，………3分
又 ∴，∴，……4分
又∵平面 ∴∥平面． ……………………5分
（Ⅱ）设平面的法向量
∵，
由得，不妨设， …………7分
∴，…………………………………………8分
∴平面与平面所成二面角的正弦值为．…9分
（Ⅲ）∵点在线段上，设
∴， ……………10分
又∵平面的法向量，设直线与平面所成角为
∴，
，
， ………………………………………………12分
∴，，∴的长为.…13分
18．（本题满分13分）
【解析】（Ⅰ）设数列的首项为，公差为，数列的公比为，
∵，，∴，∴或，
∵，∴，∴. …………………………………………3分
由，解得，：
∴，. …………………………………………………………5分
（Ⅱ）设，则 ………………………6分
(ⅰ) …9分
(ⅱ) ………………………11分
………………………………………………………13分
19．（本题满分14分）
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为，由已知得，
所以，椭圆的方程为． …………………………………………………3分
（II）设点，，由题意，且
由的面积是面积的3倍，可得， …………………5分
所以，从而，
所以，即． ………………………………………6分
易知直线的方程为，由消去，可得…7分
由方程组消去，可得． …………………………9分
由，可得， …………………………………10分
整理得，解得，或． ………………………12分
当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去．
所以，的值为． …………………………………………………14分
20．（本题满分14分）
【解析】（I）时，，
∴切线斜率，切点坐标 ∴切线方程
∵切线经过点，∴ ∴ …………………………3分
（II）∵ ∴.
∵在单调递增，∴
，即时，，所以单调递增区间为 …4分
②当，即时，，所以单调递减区间为 ……5分
③当时，令，得，
令，得，令，得，
∴函数单调递减区间为，单调递增区间为
综上①②③可得：
当时，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为 . …………………………7分
（Ⅲ）由得：，…………8分
由已知，设为在区间内的一个零点，
则由可知，在区间上至少有三个单调区间．
∴在区间内存在零点，在区间内也存在零点.
∴在区间内至少有两个零点．
由（II）可知，
当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.
当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意．
∴， …………………………………………………9分
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增
………………………………………………………10分
令，∵ ∴，
令
，令得；令得；
∴在单调递增，在单调递减.
∴在恒成立.
即在
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