第1讲 平面向量的概念及线性运算
最新考纲 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知 识 梳 理
1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量；其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定 义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a.
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)零向量与任意向量平行.( )
(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
(3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )
(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )
(5)在△ABC中，D是BC中点，则＝(＋).( )
解析 (2)若b＝0，则a与c不一定平行.
(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b
都是单位向量，则a＝b；③向量与相等.则所有正确命题的序号是( )
A.① B.③ C.①③ D.①②
解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误.
答案 A
3.(2017·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝( )
A.2 B.3 C.－2 D.－3
解析 由＝－＋，可得3＝－＋4，即4－4＝－，则4＝，即＝－4，可得＋＝－3，故＝－3，
则λ＝－3，故选D.
答案 D
4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得解得λ＝μ＝.
答案
5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______，＝________(用a，b表示).
解析 如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案 b－a －a－b
考点一 平面向量的概念
【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号).
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
解析 ①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，∥且，方向相同，因此＝.
③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
答案 ①
规律方法 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号).
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.
解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；
②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.
答案 ③
考点二 平面向量的线性运算
【例2】 (1)(2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.－a＋b
C.a－b D.－a－b
(2)(2015·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.
解析 (1)＝＋＝＋＝＋
(－)＝＋＝a＋b，故选A.
(2)由题中条件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.
答案 (1)A (2) －
规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.
(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
【训练2】 (1)如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于( )
A.－ B.＋
C.＋ D.－
(2)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于( )
A.1 B. C. D.
解析 (1)在△CEF中，有＝＋.
因为点E为DC的中点，所以＝.
因为点F为BC的一个靠近B点的三等分点，
所以＝.
所以＝＋＝＋
＝－，故选D.
(2)∵＝＋＝＋，
∴2＝＋，即＝＋.
故λ＋μ＝＋＝.
答案 (1)D (2)D
考点三 共线向量定理及其应用
【例3】 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.
(1)证明 ∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b).
∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
∴，共线，又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线.
(2)解 ∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，
使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
规律方法 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.
【训练3】 (1)(2017·资阳模拟)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( )
A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线
C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋
x＋＝0成立的实数x的取值集合为( )
A.{0} B.∅
C.{－1} D.{0，－1}
解析 (1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，
∴、共线，又有公共点B，
∴A，B，D三点共线.故选B.
(2)因为＝－，所以x2＋x＋－＝0，即＝－x2－(x－1)，因为A，B，C三点共线，所以－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
答案 (1)B (2)D
[思想方法]
1.向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.
[易错防范]
1.
解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B.
答案 B
2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A.a与λa的方向相反 B.a与λ2a的方向相同
C.|－λa|≥|a| D.|－λa|≥|λ|·a
解析 对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.
答案 B
3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A.0 B.
C. D.
解析 由题图知＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.
答案 D
5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于( )
A. B.2 C.3 D.4
解析 ＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故选D.
答案 D
6.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于( )
A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c
解析 ∵＝2，∴－＝＝2＝2(－)，
∴3＝2＋，∴＝＋＝b＋c.
答案 A
7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析 ∵＝a＋b，＝a－2b，∴＝＋＝2a－b.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线.
设＝λ，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.
答案 B
8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝( )
A.a－b B.a－b
C.a＋b D.a＋b
解析 连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且＝＝a，
所以＝＋＝b＋a.
答案 D
二、填空题
9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有________个.
解析 根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量相等的向量有，，，共3个.
答案 3
10.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________.
解析 因为ABCD为平行四边形，所以＋＝＝2，
已知＋＝λ，故λ＝2.
答案 2
11.向量e1，e2不共线，＝3(e1＋e2)，＝e2－e1，＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________.
解析 由＝－＝4e1＋2e2＝2，且与不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.
答案 ④
12.已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.
解析 由已知条件得＋＝－，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴＝＝(＋)，即＋＝3，则m＝3.
答案 3
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2017·延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为( )
A.－ B.－ C.－ D.不存在
解析 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以解得k＝－.
答案 A
14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2＝2＋，则( )
A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的反向延长线上
C.点P在线段AB的延长线上
D.点P不在直线AB上
解析 因为2＝2＋，所以2＝，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.
答案 B
15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( )
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
解析 作∠BAC的平分线AD.
∵＝＋λ，
∴＝λ
＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，
∴＝·，
∴∥.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.
答案 B
16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________.
解析 ＋－2＝(－)＋(－)＝＋，
－＝＝－，
∴|＋|＝|－|.
故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.
答案 直角三角形
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
最新考纲 1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
知 识 梳 理
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( )
(2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )
(3)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( )
(5)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )
解析 (1)共线向量不可以作为基底.
(2)同一向量在不同基底下的表示不相同.
(4)若b＝(0，0)，则＝无意义.
(5)向量a与b的夹角为∠ABC的补角.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2.(2017·福建三明月考)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a＋b等于( )
A.(5，7) B.(5，9) C.(3，7) D.(3，9)
解析 2a＋b＝2(2，4)＋(－1，1)＝(3，9)，故选D.
答案 D
3.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4) D.(1，4)
解析 根据题意得＝(3，1)，∴＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，
－4)，故选A.
答案 A
4.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(m，4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析 因为a∥b，所以由(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.
答案 －6
5.(必修4P101A3改编)已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，则顶点D的坐标为________.
解析 设D(x，y)，则由＝，得(4，1)＝(5－x，6－y)，即解得
答案 (1，5)
考点一 平面向量基本定理及其应用
【例1】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B. C. D.
(2)(2017·济南调研)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________.
解析 (1)如图所示，＋＝(－)＋(＋)
＝＋＝＋＝(＋)＝.
(2)设＝k，k∈R.
因为＝＋＝＋k＝＋k(－)
＝＋k＝(1－k)＋，
且＝m＋，
所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
答案 (1)A (2)
规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
【训练1】 (1)如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.
(2)(2017·南京、盐城模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，
E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.
解析 (1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
(2)由题意可得＝＋＝＋，由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.
答案 (1)a＋b (2)
考点二 平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12) B.(23，12)
C.(7，0) D.(－7，0)
(2)(2017·北京西城模拟)向量a，b，c在正方形网格中，如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 (1)3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A.
(2)以向量a，b的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A(1，－1)，B(6，2)，C(5，－1)，所以a＝(－1，1)，b＝(6，2)，c＝(－1，－3)，∵c＝λa＋μb，∴解之得λ＝－2且μ＝－，因此，＝＝4，故选D.
答案 (1)A (2)D
规律方法 (1)巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【训练2】 (1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为( )
A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4) D.(5，14)
(2)(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2).若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.
解析 (1)设点B的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－5).
由＝3a，得解得
(2)由向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，则解得故m－n＝－3.
答案 (1)D (2)－3
考点三 平面向量共线的坐标表示
【例3】 (1)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.
(2)(必修4P101练习7改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________.
解析 (1)由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，
得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4.
从而b＝(－2，－4)，
那么2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
(2)设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
所以点P的坐标为(8，－15).
答案 (1)(－4，－8) (2)(8，－15)
规律方法 (1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(b≠0)，则a＝λb.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【训练3】 (1)(2017·河南三市联考)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是( )
A. B. C. D.
(2)若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________.
解析 (1)＝－＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，
∴与同方向的单位向量为＝.
(2)＝(a－1，3)，＝(－3，4)，根据题意∥，
∴4(a－1)－3×(－3)＝0，即4a＝－5，∴a＝－.
答案 (1)A (2)－
[思想方法]
1.对平面向量基本定理的理解
(1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.
(2)平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.
(3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.
2.向量共线的作用
向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题，向量共线的充要条件用坐标可表示为x1y2－x2y1＝0.
[易错防范]
1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标..
2.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(必修4P118A组2(6))下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.
答案 B
2.(2016·沈阳质监)已知在▱ABCD中，＝(2，8)，＝(－3，4)，则＝( )
A.(－1，－12) B.(－1，12)
C.(1，－12) D.(1，12)
解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(－1，12)，故选B.
答案 B
3.已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的( )
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由题意得a＋b＝(2，2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案 A
4.如右图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a可用基底e1，e2表示为( )
A.e1＋e2 B.－2e1＋e2
C.2e1－e2 D.2e1＋e2
解析 以e1的起点为坐标原点，e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可得e1＝(1，0)，e2＝(－1，1)，a＝(－3，1)，
因为a＝xe1＋ye2＝x(1，0)＋y(－1，1)，＝(x－y，y)，则
解得故a＝－2e1＋e2.
答案 B
5.已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是( )
A.－ B. C. D.
解析 ＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)，因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
答案 A
6.(2017·衡水冀州中学月考)在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s等于( )
A. B. C.－3 D.0
解析 因为＝2，所以＝＝(－)＝－，则r＋s＝＋＝0，故选D.
答案 D
7.在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则等于( )
A.(－2，7) B.(－6，21)
C.(2，－7) D.(6，－21)
解析 ＝－＝(－3，2)，∵Q是AC的中点，
∴＝2＝(－6，4)，＝＋＝(－2，7)，
∵＝2，∴＝3＝(－6，21).
答案 B
8.(2017·河南八市质检)已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则向量＝( )
A.＋ B.＋
C.＋ D.＋
解析 如图，∵＝2，∴＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋.
答案 C
二、填空题
9.(2017·广州综测)已知向量a＝(x，1)，b＝(2，y)，若a＋b＝(1，－1)，则x＋y＝________.
解析 因为(x，1)＋(2，y)＝(1，－1)，所以解得所以x＋y＝－3.
答案 －3
10.若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________.
解析 ＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案
11.已知向量a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________.
解析 因为a＝(1，2)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1，2)＋2(x，1)＝(2x＋1，4)，v＝2(1，2)－(x，1)＝(2－x，3).又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案
12.在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2)表示.
解析 如图，＝－＝＋2＝＋
＝－＋(－)
＝－e2＋(e2－e1)
＝－e1＋e2.
答案 －e1＋e2
能力提升题组
(建议用时：15分钟)
13.(2017·长沙调研)如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2 ，则( )
A.x＝，y＝ B.x＝，y＝
C.x＝，y＝ D.x＝，y＝
解析 由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝.
答案 A
14.已知||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为( )
A.2 B. C.3 D.4
解析 ∵·＝0，∴⊥，
以OA为x轴，OB为y轴建立直角坐标系，
＝(1，0)，＝(0，)，＝m＋n＝(m，n).
∵tan 30°＝＝，
∴m＝3n，即＝3，故选C.
答案 C
15.已知点A(－1，2)，B(2，8)，＝，＝－，则的坐标为________.
解析 设点C，D的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
由题意得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，
＝(－1－x2，2－y2)，＝(－3，－6).
因为＝，＝－，
所以有和
解得和
所以点C，D的坐标分别为(0，4)，(－2，0)，
从而＝(－2，－4).
答案 (－2，－4)
16.(2016·四川卷改编)已知正△ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是________.
解析 建立平面直角坐标系如图所示，则B(－，0)，C(，0)，A(0，3)，则点P的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝1.设P(x，y)，M(x0，y0)，则x＝2x0－，y＝2y0，代入圆的方程得＋＝，所以点M的轨迹方程为＋＝，它表示以为圆心，以为半径的圆，所以||max＝＋＝，所以||＝.
答案
第3讲 平面向量的数量积及其应用
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题；6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
知 识 梳 理
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)两个向量的夹角的范围是.( )
(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)
两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( )
(4)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.( )
(5)a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.( )
解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)若a·b>0，a和b的夹角可能为0；若a·b
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