第1讲 不等式的性质与一元二次不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
知 识 梳 理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；
(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).
3.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( )
解析 (1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2.
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a0的解集为∅.
(4)当a＝b＝0，c≤0时，不等式ax2＋bx＋c≤0也在R上恒成立.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜ C.＞ D.＜
解析 因为c＜d＜0，所以0＞＞，两边同乘－1，得－＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式的性质可知－＞－＞0.两边同乘－1，得＜.故选B.
答案 B
3.设集合M＝{x|x2－3x－4a D.a>c>b
(2)若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；
④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
解析 (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝＋>0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
答案 (1)A (2)C
规律方法 (1)比较大小常用的方法：
①作差法；②作商法；③函数的单调性法.
(2)判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除.
【训练1】 (1)(2017·松滋市校级期中)已知p＝a＋，q＝，其中a>2，x∈R，则p，q的大小关系是( )
A.p≥q B.p>q C.p0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形.
2.当Δ0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
3.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0⇒f(x)＞g(x).
答案 B
2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出＜成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案 C
3.(2017·河北省三市联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x0，∴y>，
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4
≥＋2＝5，
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
(2)由已知得x＝.
法一 (消元法)
因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，
所以x＋3y＝＋3y
＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，
当且仅当＝3(y＋1)，
即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.
法二 ∵x＞0，y＞0，
9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，
当且仅当x＝3y时等号成立.
设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，
∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
答案 (1)5 (2)6
规律方法 条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.
易错警示 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致.
【训练2】 (1)已知x>0，y>0且x＋y＝1，则＋的最小值为________.
(2)(2016·武汉模拟)已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.0
解析 (1)(常数代换法)
因为x>0，y>0，且x＋y＝1，
所以＋＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时等号成立，
所以当x＝，y＝时，＋有最小值18.
(2)由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0.
∴x＋2y＝(x＋2y)×＝＋＋4≥4＋4＝8.
答案 (1)18 (2)A
考点三 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
解 (1)设所用时间为t＝(h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)求解.
【训练3】 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v
行驶，单位：米/秒)，平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为______辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时.
解析 (1)当l＝6.05时，F＝，
∴F＝＝≤＝1 900，
当且仅当v＝，即v＝11时取“＝”.
∴最大车流量F为1 900辆/时.
(2)当l＝5时，F＝＝，
∴F≤＝2 000，
当且仅当v＝，即v＝10时取“＝”.
∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2 000－1 900＝100辆/时.
答案 (1)1 900 (2)100
[思想方法]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤≤，≤≤(a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性
.
[易错防范]
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.下列不等式一定成立的是( )
A.lg>lg x(x>0)
B.sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C.x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.＜1(x∈R)
解析 当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有＝1，故选项D不正确.
答案 C
2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A.[0，2] B.[－2，0]
C.[－2，＋∞) D.(－∞，－2]
解析 2≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.
答案 D
3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则·的最小值为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 ∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号.故选C.
答案 C
4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.≤ B.＋≤1
C.≥2 D.a2＋b2≥8
解析 4＝a＋b≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；＋＝＝≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.
答案 D
5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B.2 C.2 D.4
解析 依题意知a＞0，b＞0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立.因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2，故选C.
答案 C
6.(2017·日照模拟)若实数x，y满足xy>0，则＋的最大值为( )
A.2－ B.2＋
C.4＋2 D.4－2
解析 ＋＝＝＝1＋＝1＋≤1＋＝4－2，当且仅当＝，即x2＝2y2时取等号.故选D.
答案 D
7.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )
A. B. C.2 D.
解析 由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.
答案 C
8.(2017·安庆二模)已知a>0，b>0，a＋b＝＋，则＋的最小值为( )
A.4 B.2 C.8 D.16
解析 由a>0，b>0，a＋b＝＋＝，得ab＝1，
则＋≥2＝2.当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立.故选B.
答案 B
二、填空题
9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.
解析 ∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3，即ab≥9.
答案 [9，＋∞)
10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为________.
解析 ∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m0)的最大值为1，则＋的最小值为________.
解析 不等式组所表示的平面区域是以(0，0)，，(1，1)为顶点的三角形区域(包括边界)，观察可知，当直线z＝ax＋2by过点(1，1)时，z有最大值，故a＋2b＝1，故1≥2，故ab≤，故＋≥≥8，当且仅当a＝2b＝时等号成立，故＋的最小值为8.
答案 8
15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________.
解析 由题意知a>0，b>0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝(t>0)，则t2＋2t－3≤0，解得0
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