第1讲 直线的方程
最新考纲 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
知 识 梳 理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
所有直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.( )
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
(4)当直线的斜率不存在时，不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(2017·衡水金卷)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
解析 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°，故选B.
答案 B
3.如果A·C0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.
答案 C
4.已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝______.
解析 ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，∴x＝－3.
答案 －3
5.(必修2P100A9改编)过点P(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.
解析 当纵、横截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)
【例1】 (1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________.
解析 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，
因为α∈，所以≤cos α≤，
因此k＝2·cos α∈[1，].
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].
又θ∈[0，π)，所以θ∈，
即倾斜角的取值范围是.
(2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，
∴直线l的斜率k∈(－∞，－]∪[1，＋∞).
答案 (1)B (2)(－∞，－]∪[1，＋∞)
【迁移探究1】 若将题(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.
解 ∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kAP＝＝，
kBP＝＝.
如图可知，直线l斜率的取值范围为.
【迁移探究2】 将题(2)中的B点坐标改为B(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围.
解 如图：
直线PA的倾斜角为45°，
直线PB的倾斜角为135°，
由图象知直线l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).
规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0).
【训练1】 (2017·惠州一调)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.[0，π) B.∪
C. D.∪
解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤
tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
规律方法 在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.
【训练3】 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
解 法一 设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，
点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
从而S△ABO＝ab≥12，
当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，
从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.
法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.
则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，
且有A，B(0，2－3k)，
∴S△ABO＝(2－3k)
＝≥
＝×(12＋12)＝12.
当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立，
即△ABO的面积的最小值为12.
故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.
[思想方法]
1.直线的倾斜角和斜率的关系：
(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.
(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α
0°
0°0，∴m＝3.选B.
答案 B
3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点.若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 由椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a，所以4a＝4，故a＝，又由e＝
eq \f(c,a)＝，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，则C的方程为＋＝1，故选A.
答案 A
4.(2016·全国Ⅰ卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解析 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c，0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.
由题意知＝×2b，解得＝，即e＝，故选B.
答案 B
5.(选修1－1P42A6改编)已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________.
解析 设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)，由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x＞0，所以x＝，∴P点坐标为或.
答案 或
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)(选修1－1P42A7改编)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
(2)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠
F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3，则b＝________.
解析 (1)连接QA.
由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.
(2)由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
所以(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°＝×b2×＝
b2＝3，所以b＝3.
答案 (1)A (2)3
规律方法 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
(2)椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.
【训练1】 (1)已知椭圆＋＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是( )
A. B.2 C.2 D.
(2)(2016·保定一模)与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切的动圆圆心P的轨迹方程为________.
解析 (1)由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F为直角，
所以S△PF1F2＝|F1F2||PF2|＝×2×1＝.
(2)设动圆的半径为r，圆心为P(x，y)，则有|PC1|＝r＋1，|PC2|＝9－r.
所以|PC1|＋|PC2|＝10＞|C1C2|，
即P在以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆上，
得点P的轨迹方程为＋＝1.
答案 (1)A (2)＋＝1
考点二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆方程为________.
(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆标准方程为________.
解析 (1)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n).
由
解得m＝，n＝.
∴椭圆方程为＋＝1.
(2)法一 椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，
2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4.
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二 设所求椭圆方程为＋＝1(kb>0).
过点F2(1，0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|＝3，
∴点A必在椭圆上，
∴＋＝1.①
又由c＝1，得1＋b2＝a2.②
由①②联立，得b2＝3，a2＝4.
故所求椭圆C的方程为＋＝1.
答案 (1)A (2)＋＝1
考点三 椭圆的几何性质
【例3】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
(2)(2015·福建卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析 (1)设M(－c，m)，则E，OE的中点为D，
则D，又B，D，M三点共线，
所以＝，所以a＝3c，所以e＝.
(2)设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形.∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.
设M(0，b)，则≥，∴1≤bb>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值.
解 (1)由条件可知，c＝1，a＝2，故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程是＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2).
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意.
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设方程为y＝k(x－1).
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
由①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)＝144(k2＋1)>0.
∵∴x1＋x2＝＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
λ＝，又λ＞1，∴λ＝.
[思想方法]
1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.
2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n).
[易错防范]
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.
2.在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0，1)进行根的取舍，否则将产生增根.
3.椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值等于( )
A.5 B.3 C.5或3 D.8
解析 当m>4时，m－4＝1，∴m＝5；当00)的渐近线方程是y＝±x，－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y＝±x.
4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·郑州模拟)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±2x
解析 因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝2，所以c＝，所以a＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选B.
答案 B
2.(2015·广东卷)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 因为所求双曲线的右焦点为F2(5，0)且离心率为e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为－＝1，故选C.
答案 C
3.(2017·山西省四校联考)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( )
A. B. C. D.
解析 ∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F(c，0)到y＝x的距离为2，即＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴＝b＝2，又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝＝，∴离心率e＝＝＝.
答案 B
4.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝( )
A. B. C. D.
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.
由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝.
答案 C
5.(2017·成都诊断)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B.2 C.6 D.4
解析 由题意知，双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x，将x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4.
答案 D
二、填空题
6.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________.
解析 由已知，得a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.
答案 2
7.(2016·北京卷)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析 取B为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2，∴c＝|OB|＝2，又∠AOB＝，
∴＝tan＝1，即a＝b.又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
答案 2
8.(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
解析 由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c.
又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
答案 2
三、解答题
9.(2017·安徽江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－).
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
(1)解 ∵e＝，
∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)可知，a＝b＝，
∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴k MF1＝，k MF2＝，
kMF1·kMF2＝＝－.
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故k MF1·k MF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴·＝0.
法二 由(1)可知，a＝b＝，∴c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M(3，0)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，
∴·＝0.
10.已知椭圆C1的方程为＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·＞2(其中O为原点)，求k的取值范围.
解 (1)设双曲线C2的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，
则a2＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1.
故C2的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得
∴k2≠且k2＜1.①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－.
∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)
＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.
又∵·＞2，得x1x2＋y1y2＞2，
∴＞2，即＞0，解得＜k2＜3.②
由①②得＜k2＜1，
故k的取值范围为∪.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝x，因此可得点A的坐标为(a，b).
设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为－＝1，故选A.
答案 A
12.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 由条件，得|OP|2＝2ab，又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，∴2ab≥a2，∴2b≥a，又∵c2＝a2＋b2≥a2＋＝a2，∴e＝≥.
答案 C
13.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
解析 如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设点P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8.
答案 (2，8)
14.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.
(1)求此双曲线的方程；
(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积.
解 (1)依题意得解得
故双曲线的方程为－x2＝1.
(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由＝得点P的坐标为.
将点P的坐标代入－x2＝1，
整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，∵tan＝2，
则tan θ＝，从而sin 2θ＝.又|OA|＝m，|OB|＝n，
∴S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.
第7讲 抛物线
最新考纲 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a＞0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(2016·四川卷)抛物线y2＝4x的焦点坐标是( )
A.(0，2) B.(0，1) C.(2，0) D.(1，0)
解析 抛物线y2＝ax的焦点坐标为，故y2＝4x，则焦点坐标为(1，0).
答案 D
3.(2014·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )
A.4 B.2 C.1 D.8
解析 由y2＝x，得2p＝1，即p＝，因此焦点F，准线方程为l：x＝－.设A点到准线的距离为d，由抛物线的定义可知d＝|AF|，从而x0＋＝x0，解得x0＝1，故选C.
答案 C
4.(选修1－1P64A4(2)改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.
解析 很明显点P在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x轴负半轴上或y轴负半轴上.
当焦点在x轴负半轴上时，设方程为y2＝－2px(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p×(－2)，
解得p＝4，此时抛物线的标准方程为y2＝－8x；
当焦点在y轴负半轴上时，设方程为x2＝－2py(p＞0)，把点P(－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此时抛物线的标准方程为x2＝－y.
综上可知，抛物线的标准方程为y2＝－8x或x2＝－y.
答案 y2＝－8x或x2＝－y
5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
考点一 抛物线的定义及应用
【例1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________.
(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.
解析 (1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.
(2)将x＝3代入抛物线方程
y2＝2x，得y＝±.
∵>2，∴A在抛物线内部，如图.
设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).
答案 (1)9 (2)(2，2)
规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
【训练1】 (1)过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|＝6，＝λ(λ＞0)，则λ的值为( )
A. B. C. D.3
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
解析 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－2，－x3)，
则x1＋2＝6，解得x1＝4，y1＝±4，点A(4，4)，
则直线AB的方程为y＝2(x－2)，
令x＝－2，得C(－2，－8)，
联立方程组解得B(1，－2)，
所以|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，所以λ＝3.
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 (1)D (2)y2＝4x
考点二 抛物线的标准方程及其性质
【例2】 (1)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A.x2＝y B.x2＝y
C.x2＝8y D.x2＝16y
(2)(2016·全国Ⅰ卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析 (1)∵－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，
∴＝2，即＝＝4，∴＝.
x2＝2py(p＞0)的焦点坐标为，－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.由题意得＝2，解得p＝8.故C2的方程为x2＝16y.
(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，
∵|AB|＝4，|DE|＝2，
抛物线的准线方程为x＝－，
∴不妨设A，D，
∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，
∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，
∴C的焦点到准线的距离为4.
答案 (1)D (2)B
规律方法 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练2】 (1)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F
的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )
A.y2＝9x B.y2＝6x
C.y2＝3x D.y2＝x
(2)(2016·西安模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若|AF|＝3，则△AOB的面积为________.
解析 (1)设A，B在准线上的射影分别为A1，B1，由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，则直线l的斜率为，故|AC|＝2|AA1|＝6，从而|BF|＝1，|AB|＝4，故＝＝，即p＝，从而抛物线的方程为y2＝3x，故选C.
(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1，0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标为y＝2，所以A(2，2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，
联立直线与抛物线的方程
解得或由图知B，
所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝.
答案 (1)C (2)
考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究)
命题角度一 直线与抛物线的公共点(交点)问题
【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.
(1)求；
(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
解 (1)由已知得M(0，t)，P，
又N为M关于点P的对称点，故N，
故ON的方程为y＝x，
将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，
解得x1＝0，x2＝，
因此H.
所以N为OH的中点，即＝2.
(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点，理由如下：
直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t).
代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，
即直线MH与C只有一个公共点，
所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.
规律方法 (1)①本题求解的关键是求点N、H的坐标.②第(2)问将直线MH的方程与曲线C联立，根据方程组的解的个数进行判断.
(2)①判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.②解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.
命题角度二 与抛物线弦长(中点)有关的问题
【例3－2】 (2017·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.
(1)求抛物线C的方程；
(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积.
解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，
∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.
(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.
由得y2－8y－8m＝0，
Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.
y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，
∴x1x2＝＝m2.
由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，
∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0).
故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|
＝3＝24.
规律方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.
(3)涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.
【训练3】 已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.
(1)解 由抛物线的定义得|AF|＝2＋.
因为|AF|＝3，即2＋＝3，解得p＝2，
所以抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)证明 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，
所以m＝±2.
由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).
由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为
y＝2(x－1).
由得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝，从而B.
又G(－1，0)，所以kGA＝＝，
kGB＝＝－，
所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.
[思想方法]
1.抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率).
2.抛物线的焦点弦：设过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；|AB|＝x1＋x2＋p；
(3)若F为抛物线焦点，则有＋＝.
[易错防范]
1.认真区分四种形式的标准方程
(1)区分y＝ax2(a≠0)与y2＝2px(p＞0)，前者不是抛物线的标准方程.
(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).
2.直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝( )
A. B.1 C. D.2
解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.
答案 D
2.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )
A.y＝12x2 B.y＝12x2或y＝－36x2
C.y＝－36x2 D.y＝x2或y＝－x2
解析 分两类a>0，a0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)＋为定值；
(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).
由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，
得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)
则y1，y2是方程(*)的两个实数根，
所以y1y2＝－p2.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，
所以x1x2＝＝＝.
(2)＋＝＋
＝.
因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，
得＋＝＝(定值).
(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，
则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于( )
A.－4 B.4 C.p2 D.－p2
解析 ①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝，则x1x2＝；
②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)，
联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，
则x1x2＝.又y＝2px1，y＝2px2，∴yy＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，
∴y1y2＝－p2.故＝－4.
答案 A
12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为( )
A. B. C. D.1
解析 如图，由题可知F，设P点坐标为(y0＞0)，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，kOM＝＝≤＝，当且仅当y＝2p2等号成立.故选C.
答案 C
13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.
解析 如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即＝，即m＋n的最小值为－1.
答案 －1
14.(2017·南昌模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点).
(1)求抛物线C2的方程；
(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值.
解 (1)由题意知F1(1，0)，F2，
∴＝，∵F1F2⊥OP，∴·＝·(－1，－1)＝1－＝0，
∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，
联立得M，
联立得N(4k，4k2)，
从而|MN|＝＝，
又点P到直线MN的距离d＝，
进而S△PMN＝···＝
2·＝
＝2，
令t＝k＋(t≤－2)，则有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，
当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值.即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.
第8讲 圆锥曲线的综合问题
最新考纲 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2.
了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
知 识 梳 理
1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，
即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C相离.
(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·|y1－y2|＝·.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)直线l与椭圆C相切的充要条件是：直线l与椭圆C只有一个公共点.( )
(2)直线l与双曲线C相切的充要条件是：直线l与双曲线C只有一个公共点.( )
(3)直线l与抛物线C相切的充要条件是：直线l与抛物线C只有一个公共点.( )
(4)如果直线x＝ty＋a与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则弦长|AB|＝|y1－y2|.( )
(5)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ＞0.( )
解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.
(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.
(5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析 直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.
答案 A
3.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.
答案 C
4.过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析 过(0，1)与抛物线y2＝4x相切的直线有2条，过(0，1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.
答案 C
5.(选修1－1P68B1改编)已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________.
解析 由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20，
|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝202－2|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝128，
所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×128＝64.
答案 64
第1课时 直线与圆锥曲线
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1(－1，0)，且点P(0，1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程.
解 (1)椭圆C1的左焦点为F1(－1，0)，∴c＝1，
又点P(0，1)在曲线C1上，
∴＋＝1，得b＝1，则a2＝b2＋c2＝2，
所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，
由消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
因为直线l与椭圆C1相切，
所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.
整理得2k2－m2＋1＝0.①
由消去y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.
因为直线l与抛物线C2相切，
所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1.②
综合①②，解得或
所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.
规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.
【训练1】 在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围.
解 (1)设点M(x，y)，依题意|MF|＝|x|＋1，
∴＝|x|＋1，化简得y2＝2(|x|＋x)，
故轨迹C的方程为y2＝
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x(x≥0)；C2：y＝0(x＜0).
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2).
由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.①
①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点.
②当k≠0时，方程①的Δ＝－16(2k2＋k－1)＝－16(2k－1)(k＋1)，②
设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则
由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.③
(ⅰ)若由②③解得k＜－1，或k＞.
所以当k＜－1或k＞时，直线l与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
(ⅱ)若即解集为∅.
综上可知，当k＜－1或k＞或k＝0时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
考点二 弦长问题
【例2】 (2016·四川卷)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；
(2)设O是坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|2＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值.
(1)解 由已知，a＝b，则椭圆E的方程为＋＝1.
由方程组得3x2－12x＋(18－2b2)＝0.①
方程①的判别式为Δ＝24(b2－3)，由Δ＝0，得b2＝3，
此时方程①的解为x＝2，所以椭圆E的方程为＋＝1.点T的坐标为(2，1).
(2)证明 由已知可设直线l′的方程为y＝x＋m(m≠0)，
由方程组可得
所以P点坐标为.|PT|2＝m2.
设点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
由方程组可得3x2＋4mx＋(4m2－12)＝0.②
方程②的判别式为Δ＝16(9－2m2)，
由Δ>0，解得－0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为.直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值.
解 (1)由题意得
解得b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，解得k＝±1.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11.已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|＋|AF2|的最大值为5，则b的值是( )
A.1 B. C. D.
解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a＝2，由椭圆的定义，可知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即＝3，可求得b2＝3，即b＝.
答案 D
12.抛物线C1：y＝x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝( )
A. B. C. D.
解析 ∵双曲线C2：－y2＝1，
∴右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x.
抛物线C1：y＝x2(p＞0)，焦点为F′.
设M(x0，y0)，则y0＝x.
∵kMF′＝kFF′，∴＝.①
又∵y′＝x，∴y′|x＝x0＝x0＝.②
由①②得p＝.
答案 D
13.设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.
解析 直线AF的方程为y＝－(x－2)，联立得y＝4，所以P(6，4).
由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.
答案 8
14.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程.
解 (1)设Q(x0，4)，代入y2＝2px得x0＝.
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
由题设得＋＝×，
解得p＝－2(舍去)或p＝2.所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0).
代入y2＝4x得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1，2m)，|AB|＝|y1－y2|＝4(m2＋1).
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，
y3y4＝－4(2m2＋3).
故MN的中点为E，
|MN|＝|y3－y4|＝.
由于MN垂直平分AB，
故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，从而|AB|2＋|DE|2＝
|MN|2，
即4(m2＋1)2＋＋＝.
化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.
所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
第2课时 定点、定值、范围、最值问题
考点一 定点问题
【例1】 (2017·枣庄模拟)已知椭圆＋＝1(a＞0，b＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足＝λ1，＝λ2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l过定点并求此定点.
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，
又a2＝b2＋c2，所以a2＝3.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
设l方程为x＝t(y－m)，
由＝λ1知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，
∴y1－m＝－y1λ1，由题意y1≠0，∴λ1＝－1.
同理由＝λ2知λ2＝－1.
∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①
联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，
∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)＞0，②
且有y1＋y2＝，y1y2＝，③
将③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，
∴(mt)2＝1.
由题意mt＜0，∴mt＝－1，满足②，
得l方程为x＝ty＋1，过定点(1，0)，即Q为定点.
规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【训练1】 (2017·雅安中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两焦点在x轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点S的动直线l交椭圆C于A，B
两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)∵椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c.又斜边长为2，即2c＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.
(2)当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋＝；
当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.
由得
故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0，1).
下面证明Q(0，1)为所求：
若直线l的斜率不存在，上述已经证明.
若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，
Δ＝144k2＋64(9＋18k2)＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
＝(x1，y1－1)，＝(x2，y2－1)，
·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)
＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋
＝(1＋k2)·－·＋＝0，
∴⊥，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0，1).
考点二 定值问题
【例2】 (2016·山东卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为4，焦距为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过动点M(0，m)(m＞0)的直线交x轴于点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.
①设直线PM，QM的斜率分别为k，k′，证明为定值.
②求直线AB的斜率的最小值.
(1)解 设椭圆的半焦距为c.
由题意知2a＝4，2c＝2.
所以a＝2，b＝＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)①证明 设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).
由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).
所以直线PM的斜率k＝＝.
直线QM的斜率k′＝＝－.
此时＝－3.所以为定值－3.
②解 设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由①知直线PA的方程为y＝kx＋m.
则直线QB的方程为y＝－3kx＋m.联立
整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，
由x0x1＝，可得x1＝，
所以y1＝kx1＋m＝＋m.
同理x2＝，y2＝＋m.
所以x2－x1＝－
＝，
y2－y1＝＋m－－m
＝，
所以kAB＝＝＝，
由m＞0，x0＞0，可知k＞0，所以6k＋≥2，
当且仅当k＝时取“＝”.
故此时＝，即m＝，符合题意.
所以直线AB的斜率的最小值为.
规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
(1)解 由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.
考点三 范围问题
【例3】 (2016·天津卷)设椭圆＋＝1(a＞)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为原点，e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H.若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围.
解 (1)设F(c，0)，由＋＝，
即＋＝，可得a2－c2＝3c2.
又a2－c2＝b2＝3，所以c2＝1，因此a2＝4.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设直线l的斜率为k(k≠0)，则直线l的方程为y＝k(x－2).
设B(xB，yB)，由方程组消去y，整理得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
解得x＝2或x＝.
由题意得xB＝，从而yB＝.
由(1)知F(1，0)，设H(0，yH)，
有＝(－1，yH)，＝.
由BF⊥HF，得·＝0，
所以＋＝0，解得yH＝.
因为直线MH的方程为y＝－x＋.
设M(xM，yM)，由方程组消去y，
解得xM＝.
在△MAO中，∠MOA≤∠MAO⇔|MA|≤|MO|，
即(xM－2)2＋y≤x＋y，
化简得xM≥1，即≥1，
解得k≤－或k≥.
所以直线l的斜率的取值范围为或.
规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【训练3】 (2017·威海模拟)已知圆x2＋y2＝1过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点，直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，与椭圆＋＝1相交于A，B两点.记λ＝·，且≤λ≤.
(1)求椭圆的方程；
(2)求k的取值范围；
(3)求△OAB的面积S的取值范围.
解 (1)由题意知2c＝2，所以c＝1.
因为圆与椭圆有且只有两个公共点，
从而b＝1，故a＝，所以所求椭圆方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
所以原点O到直线l的距离为＝1，
即m2＝k2＋1.由
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
λ＝·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，由≤λ≤，得≤k2≤1，
即k的取值范围是∪.
(3)|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝2－，
由≤k2≤1，得≤|AB|≤.
设△OAB的AB边上的高为d，
则S＝|AB|d＝|AB|，
所以≤S≤.
即△OAB的面积S的取值范围是.
考点四 最值问题
【例4】 (2015·浙江卷)已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).
解 (1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.
由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，
所以Δ＝－2b2＋2＋＞0，①
将AB中点M代入直线方程y＝mx＋解得b＝－②
由①②得m＜－或m＞.
(2)令t＝∈∪，则
|AB|＝·.
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S(t)，
所以S(t)＝|AB|·d＝ ≤.
当且仅当t2＝时，等号成立.
故△AOB面积的最大值为.
规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.
【训练4】 已知椭圆C：x2＋2y2＝4.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为原点.若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.
所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.
因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.
(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.
因为OA⊥OB，所以·＝0，
即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x＋2y＝4，
所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2
＝(x0＋)2＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4
＝x＋＋＋4＝＋＋4(0＜x≤4).
因为＋≥4(0＜x≤4)，当且仅当x＝4时等号成立，
所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.
[思想方法]
1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
3.求解范围问题的方法
求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.
4.圆锥曲线中常见最值的解题方法
(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)
代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.
[易错防范]
1.求范围问题要注意变量自身的范围.
2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.
3.在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.
4.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.[－2，2]
C.[－1，1] D.[－4，4]
解析 Q(－2，0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得
－1≤k≤1.
答案 C
2.(2017·石家庄模拟)已知P为双曲线C：－＝1上的点，点M满足||＝1，且·＝0，则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为( )
A. B. C.4 D.5
解析 由·＝0，得OM⊥PM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点P的位置为双曲线的顶点(±3，0)，而双曲线的渐近线为4x±3y＝0，∴所求的距离d＝，故选B.
答案 B
3.已知椭圆C的方程为＋＝1(m＞0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A.2 B.2 C.8 D.2
解析 根据已知条件得c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m＞0)上，
∴＋＝1，可得m＝2.
答案 B
4.若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线y＝x2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A.[3，＋∞) B.(3，＋∞) C.(1，3] D.(1，3)
解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立消去y得x2±x＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝－8≥0，求得b2≥8a2，∴c＝≥3a，∴e＝≥3.
答案 A
5.(2016·丽水一模)斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B. C. D.
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，
得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
答案 C
二、填空题
6.已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为________.
解析 由条件知双曲线的焦点为(4，0)，
所以解得a＝2，b＝2，
故双曲线方程为－＝1.
答案 －＝1
7.已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3，0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________.
解析 ∵·＝0，∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，
故||min＝2，∴||min＝.
答案
8.(2017·平顶山模拟)若双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1
至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析 双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有≥1，解得b2≤3，则e2＝1＋b2≤4，∵e＞1，∴1＜e≤2.
答案 (1，2]
三、解答题
9.如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点P(0，1)在短轴CD上，且·＝－1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数λ，使得·＋λ·为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b).
又点P的坐标为(0，1)，且·＝－1，
于是解得a＝2，b＝.
所以椭圆E方程为＋＝1.
(2)当直线AB的斜率存在时，
设直线AB的方程为y＝kx＋1，
A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
联立得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0.
其判别式Δ＝(4k)2＋8(2k2＋1)>0，
所以，x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋λ·＝x1x2＋y1y2
＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]
＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＝－－λ－2.
所以，当λ＝1时，－－λ－2＝－3.
此时，·＋λ·＝－3为定值.
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，
此时·＋λ·＝·＋·＝
－2－1＝－3，
故存在常数λ＝1，使得·＋λ·为定值－3.
10.(2016·浙江卷)如图，设椭圆＋y2＝1(a＞1).
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，由得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0.
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·.
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.
由(1)知|AP|＝，|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.
由于k1≠k2，k1，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，
由e＝＝得，所求离心率的取值范围是.
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
11.(2016·湖南师大附中月考)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y2＝x的一个交点的横坐标为x0，若x0＞1，则双曲线C的离心率e的取值范围是( )
A. B.(，＋∞)
C.(1，) D.
解析 不妨联立y＝x与y2＝x的方程，消去y得x2＝x，由x0＞1知＜1，即＜1，故e2＜2，又e＞1，所以1＜e＜，故选C.
答案 C
12.(2017·河南省八市质检)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若△AOB的面积为，则抛物线的准线方程为( )
A.x＝－2 B.x＝2 C.x＝1 D.x＝－1
解析 因为e＝＝2，所以c＝2a，b＝a，双曲线的渐近线方程为y＝±x，又抛物线的准线方程为x＝－，联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程得A
，B，在△AOB中，|AB|＝p，点O到AB的距离为，所以·p·＝，所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1，故选D.
答案 D
13.(2017·绵阳诊断)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任一点，则·的最小值为________.
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，设P(x，y)(－3≤x≤3，－2≤y≤2)，依题意得左焦点F(－1，0)，∴＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋＝＋.
∵－3≤x≤3，
∴≤x＋≤，∴≤≤，
∴≤≤，∴6≤＋≤12，即6≤·≤12，故最小值为6.
答案 6
14.(2017·衡水中学高三联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x＋4y＋6＝0与圆x2＋(y－b)2＝a2相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1，l2分别交椭圆C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；
(3)在(2)的条件下求△AMN面积的最大值.
解 (1)由题意，得∴
即C：＋y2＝1.
(2)由题意得直线l1，l2的斜率存在且不为0.
∵A(－2，0)，设l1：x＝my－2，l2：x＝－y－2，
由得(m2＋4)y2－4my＝0，
∴M.
同理，N.
①m≠±1时，kMN＝，
lMN：y＝.此时过定点.
②m＝±1时，lMN：x＝－，过点.
∴lMN恒过定点.
(3)由(2)知S△AMN＝×|yM－yN|
＝＝8
＝＝.
令t＝≥2，当且仅当m＝±1时取等号，
∴S△AMN≤，且当m＝±1时取等号.
∴(S△AMN)max＝.
微信/支付宝扫码支付