1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．下列说法正确的是________．
①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形；
②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形；
③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形；
④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形．
【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确．
【答案】 ③
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________．
【解析】 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥的组合体．
【答案】 两个圆锥的组合体
3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．
图1－1－24
【解析】 一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱．
【答案】 一个六棱柱中挖去一个圆柱
4．线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是________．
【解析】 由线段y＝2x(0≤x≤2)绕x轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面．
【答案】 圆锥的侧面
5．如图1－1－25所示，将梯形ABCD绕底边AB所在直线旋转一周，由此形成的几何体是由简单几何体__________构成的.
图1－1－25
【解析】 旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征知它中间是圆柱，两头是圆锥．
【答案】 圆锥、圆柱
4
6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．
① ② ③ ④
图1－1－26
【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④.
【答案】 ①②③
7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径为________．
【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
【答案】 3
8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为4S，则它的一个底面面积是__________．
【解析】 因为圆柱的轴截面的一边是底面直径，另一邻边为圆柱的高，所以应满足＝2r(r为底面圆半径)，∴r＝，故底面面积为πS.
【答案】 πS
二、解答题
9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为16 cm2，求其底面周长和高．
【解】 如图所示，作出等边圆柱的轴截面ABCD，由题意知，四边形ABCD为正方形，设圆柱的底面半径为r，则AB＝AD＝2r.
其面积S＝AB×AD＝2r×2r＝4r2＝16 cm2，
解得r＝2 cm.
所以其底面周长C＝2πr＝2π×2＝4π(cm)，高h＝2r＝4 cm.
10.从一个底面半径和高都是R
4
的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如图1－1－27所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．
图1－1－27
【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C＝R，设圆锥的截面圆的半径O1D为x.因为OA＝AB＝R，所以△OAB是等腰直角三角形．又CD∥OA，则CD＝BC，所以x＝l，故截面面积S＝πR2－πl2＝π(R2－l2)．
[能力提升]
1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是________．
【解析】如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．
【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
2．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是________cm.
【解析】 如图所示，E′F＝×2π×＝π(cm)，
∴最短距离E′G＝＝(cm)．
【答案】
3．在半径为13的球面上有A，B，C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为________．
【解析】 由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r
4
＝＝5，所以d＝＝12.
【答案】 12
4．如图1－1－28所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
图1－1－28
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值．
【解】 将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4)．
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，在△SAM中，
∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4)．
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
4
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