1.1.4 直观图画法
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．利用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是________．(填序号)
(1)正三角形的直观图仍然是正三角形；
(2)平行四边形的直观图一定是平行四边形；
(3)正方形的直观图是正方形；
(4)圆的直观图是圆．
【解析】 由斜二测画法可知，平面图形中的垂直关系变成相交关系，故(1)(3)错误；又圆的直观图为椭圆，故(4)错误．
【答案】 (2)
2．如图1－1－36为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是________．
图1－1－36
① ② ③ ④
【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直．
【答案】 ③
3．如图1－1－37所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是________．
图1－1－37
【解析】 由题图可知，在△ABC中，AB⊥BC，AC为斜边，AD为直角边上的一条中线，显然斜边AC最长．
【答案】 AC
6
4．如图1－1－38所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________．
图1－1－38
【解析】 由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4.
【答案】 4
5．如图1－1－39所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________cm.
图1－1－39
【解析】 由于平行性不变，O′A′∥B′C′，故在原图形中，OA綊BC，∴四边形OABC为平行四边形，且对角线OB⊥OA，对角线OB＝2，则AB＝＝3.
∴原图形的周长为l＝3×2＋1×2＝8.
【答案】 8
6．如图1－1－40所示，为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
图1－1－40
【解析】 画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.
【答案】
7.如图1－1－41是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．
6
图1－1－41
【解析】 由题图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高线长为8，
∴面积S＝×4×8＝16.
【答案】 16
8．如图1－1－42所示，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
图1－1－42
【解析】 由四边形OPQR的直观图可知该四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
【答案】 10
二、解答题
9．用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图．
【解】 画法：第一步，画轴，如图(1)，画x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(1) (2)
第二步，画底面，以点O′为中点，在x′轴上取线段MN，使MN＝4 cm；
在y′轴上取线段PQ，使PQ＝ cm，分别过点M和N作y′轴的平行线，过点P和Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面．
第三步，画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
第四步，成图，顺次连结A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就可以得到长方体的直观图(如图(2))．
6
10．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，如图1－1－43，∠ABC＝45°，DC⊥AD，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积.
图1－1－43
【解】 在直观图①中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
①
则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，
∴BE＝，而四边形AECD为矩形，AD＝1，
②
∴EC＝AD＝1.∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此可得原图形如图②，在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋.
[能力提升]
1．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，正确的是图1－1－44中的________(填序号)．
① ② ③ ④
图1－1－44
【解析】 正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.故④正确．
【答案】 ④
6
2．如图1－1－45，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是__________(填序号).
图1－1－45
(1)△ABC是钝角三角形；
(2)△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形；
(3)△ABC是等腰直角三角形；
(4)△ABC是等边三角形．
【解析】 将其恢复成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，故△ABC是等腰直角三角形．
【答案】 (3)
3.如图1－1－46，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm2.
图1－1－46
【解析】 由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
【答案】 矩形 8
4．已知△ABC的面积为a2，它的水平放置的直观图为△A′B′C′是一个正三角形，根据给定的条件作出△A′B′C′的原图形，并计算△A′B′C′的面积．
【解】 (1)取B′C′所在的直线为x′轴，过B′C′中点O′与O′x′成45°的直线为y′轴，建立坐标系x′O′y′；
(2)过A′点作A′M′∥y′轴交x′轴于M′点，在△A′B′C′中，设它的边长为x，∵O′A′＝x，∠A′M′O′＝45°，∴O′A′＝O′M′＝x，故A′M′＝x；
6
(3)在直角坐标系xOy中，在x轴上O点左右两侧，
取到点O距离为的点B，C，
在x轴O点左侧取到原点O距离为x的点M，过M在x轴上方作y轴的平行线并截取MA＝x，连结AB，AC，则△ABC为△A′B′C′的原图形，由S△ABC＝a2，得x×x＝a2，∴x＝a，故△A′B′C′的面积为a2.
6
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