第2课时 垂线段最短
关键问答
①将直线外一点与直线上各点连接，所得线段中最短的线段一定是什么线段？
②点到直线的距离是一个几何图形，还是一个正数？它与垂线段有什么区别？
1．①如图5－1－29，P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( )
图5－1－29
A．PA B．PB
C．PC D．PD
2．②如图5－1－30，OA⊥AB于点A，点O到直线AB的距离是( )
图5－1－30
A．线段OA B．线段OA的长度
C．线段OB的长度 D．线段AB的长度
命题点 1 垂线段最短 [热度：92%]
3．如图5－1－31，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处(AB⊥CD)开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是( )
图5－1－31
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
4.③如图5－1－32，在铁路旁有一村庄，现要建一火车站，为了使村庄里的人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在( )
图5－1－32
A．A点 B．B点
C．C点 D．D点
解题突破
③选一点建火车站可以转化为确定垂线段的垂足.
5．2018·秦皇岛月考 如图5－1－33，已知A，B，C，D是某公园内的四个凉亭，图中的连线是甬道，且∠D＝90°，∠BAC＝90°，若AC＝100米，则下列判断中不正确的是( )
图5－1－33
A．甬道AD可能为100米 B．甬道CD可能为60米
C．甬道AD可能为80米 D．甬道BC可能为140米
6.④如图5－1－34，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E.若DE＝9，AB＝12，不考虑点与点重合的情况，则线段BD的长度的取值范围是____________．
图5－1－34
解题突破
④BD的长既是点B到AC的距离，又是点D到直线BC上一点B的距离．
7．⑤如图5－1－35，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
图5－1－35
(1)从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由．
方法点拨
⑤最短路线问题往往转化为点与点的距离或点到直线的距离问题.
命题点 2 点到直线的距离 [热度：90%]
8．⑥如图5－1－36，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
图5－1－36
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
方法点拨
⑥直角三角形的直角边长能表示点到直线的距离．
9.⑦P为直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝5 cm，PB＝3 cm，PC＝4 cm，则点P到直线l的距离( )
A．等于4 cm B．等于3 cm
C．小于3 cm D．不大于3 cm
模型建立
⑦点到直线的距离小于或等于点与直线上各点所连线段的长.
10．到直线l的距离等于2 cm的点有( )
A．0个 B．1个 C．无数个 D．无法确定
11．下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
B．连接直线外一点和直线上任一点，使这条线段垂直于已知直线
C．作出点P到直线的距离
D．连接直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离
12．⑧如图5－1－37是李晓松同学在运动会跳远比赛中最好的一跳，M，P为双脚留下的痕迹，甲、乙、丙三名同学分别测得PA＝5.52米，PB＝5.37米，MA＝5.60米，那么他的跳远成绩应该为________米．
图5－1－37
解题突破
⑧跳远成绩指的是两个脚印中，离踏板较近的脚的后脚跟到踏板所在直线的距离记录．
13.⑨如图5－1－38，关于如何量出点C到线段AB所在直线的距离，三名同学有不同的做法．
图5－1－38
甲同学：只要量出线段BC的长度即可；
乙同学：过点C无法向直线AB作垂线，所以无法量出点C到直线AB的距离；
丙同学：过点C作直线AB的垂线，垂线和直线AB不相交，所以不能量出点C到直线AB的距离．
你同意以上三名同学的做法吗？若不同意，请你写出正确的做法．
解题突破
⑨过点C作AB的垂线，垂足落在线段AB的延长线上.
14.⑩如图5－1－39，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．
图5－1－39
(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点H的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；
(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？画图并说明理由．
模型建立
⑩到四个点A，B，C，D的距离之和最小的点，是分别连接AD和BC所得的交点，可以用两点之间线段最短来解释.
15．一辆汽车在直线形的公路上由A向B行驶，点M，N分别是位于公路AB两侧的学校，如图5－1－40所示．
(1)汽车在公路上行驶时，会对两个学校的教学造成一定的影响，当汽车行驶到何处时，分别对两个学校的影响最大？并在图上标出来；
(2)当汽车从A向B行驶时，在哪一段路上对两个学校的影响都逐渐增大？在哪一段路上对M学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大？
图5－1－40
典题讲评与答案详析
1．B 2.B
3．D [解析] 利用垂线段最短，可知AB是点A与直线CD上各点连接得到的线段中，长度最短的线段．
4．A
5．A
6．9＜BD＜12
[解析]B是直线AC外一点，BA，BD是点B与直线AC上两点连接得到的线段，根据垂线段最短，可得BD＜AB.D是直线BC外一点，DE，DB是点D与直线BC上两点连接得到的线段，根据垂线段最短，可得DE＜BD，所以9＜BD＜12.
7．解：如图所示．
(1)沿线段BA走，两点之间线段最短．
(2)沿线段AC走，垂线段最短．
(3)沿线段BD走，垂线段最短．
8．D [解析]AB的长表示点B到直线AC的距离，AC的长表示点C到直线AB的距离，AD的长表示点A到直线BC的距离，BD的长表示点B到直线AD的距离，CD的长表示点C到直线AD的距离．
9．D [解析] 由于P为直线l外一点，A，B，C为直线上三点，由垂线段最短，可得点P到直线l的距离应该小于或等于3 cm，即不大于3 cm.
10．C 11.A
12．5.37
13．解：三名同学的做法都是错误的，所以不同意他们的做法．
正确做法：延长线段AB，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，则线段CD的长就是点C到直线AB的距离．
14．解：(1)如图，因为两点之间线段最短，所以连接AD，BC，它们相交于点H，则点H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小．
(2)如图，过点H作HG⊥EF，垂足为G，沿GH开渠最短．理由：在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
15．解：(1)如图，
过点M作MC⊥AB于点C，过点N作ND⊥AB于点D.根据垂线段最短，知汽车在点C处对M学校的影响最大，在点D处对N学校的影响最大．
(2)汽车由A向C行驶时，对两个学校的影响都逐渐增大；汽车由C向D行驶时，对M学校的影响逐渐减小，而对N学校的影响逐渐增大．
【关键问答】
①垂线段．
②是一个正数．区别：“垂线段”是一条线段，它是一个图形；“点到直线的距离”是指垂线段的长度，它是一个数量．
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