2019届高考数学二轮复习专题二第2讲　解三角形Word版含答案.docx

专题二 第2讲 解三角形 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题．‎ 知识与技巧的梳理 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式．‎ ‎(1)正弦定理 在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；‎ 变形：a＝2Rsin A，sin A＝，‎ a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等．‎ ‎(2)余弦定理 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A；‎ 变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝．‎ ‎(3)三角形面积公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B．‎ 热点题型 热点一　利用正(余)弦定理进行边角计算 ‎【例1】(2018·株洲质检)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知cos2A=-‎‎1‎‎3‎，c=‎‎3‎，sinA=‎6‎sinC．‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）若角A为锐角，求b的值及ΔABC的面积．‎ 解（Ⅰ）由cos2A=1-2sin‎2‎A得sin‎2‎A=‎‎2‎‎3‎，‎ 因为A∈(0，π)‎，∴sinA=‎‎6‎‎3‎，‎ 由sinA=‎6‎sinC，sinC=‎‎1‎‎3‎，‎ 由正弦定理asinA‎=‎csinC得a=3‎‎2‎．‎ ‎（Ⅱ）角A为锐角，则cosA=‎‎3‎‎3‎，‎ 由余弦定理得b‎2‎‎-2b-15=0‎即b=5‎，或b=-3‎（舍去），‎ 所以ΔABC的面积SΔABC‎=‎1‎‎2‎bcsinA=‎‎5‎‎2‎‎2‎．‎ 探究提高　1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．‎ ‎2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．‎ ‎【训练1】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2．‎ ‎(1)求cos B；‎ ‎(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b．‎ 解　(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sin B＝8sin2，故sin B＝4(1－cos B)．‎ 上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，‎ 解得cos B＝1(舍去)，cos B＝．‎ ‎(2)由cos B＝，得sin B＝，‎ 故S△ABC＝acsin B＝ac．‎ 又S△ABC＝2，则ac＝．‎ 由余弦定理及a＋c＝6得 b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4．‎ 所以b＝2．‎ 热点二　应用正、余弦定理解决实际问题 ‎【例2】 (2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距离比B到C的距离远40米．A地测得该仪器在C处的俯角为∠OAC＝15°，A地测得最高点H的仰角为∠HAO＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH为（ ）‎ A．210(＋)米 B．140米 C．210米 D．20(－)米 解析　由题意，设AC＝x米，则BC＝(x－40)米，‎ 在△ABC内，由余弦定理：BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，‎ 即(x－40)2＝x2＋10 000－100x，解得x＝420米．‎ 在△ACH中，AC＝420米，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，‎ 由正弦定理：＝．‎ 可得CH＝AC·＝140(米)．‎ 答案　B 探究提高　1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．‎ ‎2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．‎ ‎【训练2】 (2018·衡水中学)如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若， ， ， ，求信号塔的高度．‎ 解（1）在中，，，．由正弦定理， ．‎ ‎（2）由（1）及条件知，，，，．‎ 由正弦定理得．‎ 热点三　解三角形与三角函数的交汇问题 ‎【例3】 (2017·长沙质检)已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x－1，x∈R．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；‎ ‎(2)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，f(C)＝0，sin B＝2sin A，求a，b的值．‎ 解　(1)f(x)＝sin 2x－2cos2x－1‎ ‎＝sin 2x－(cos 2x＋1)－1＝sin 2x－cos 2x－2＝2sin－2，‎ 所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，最小值为－4．‎ ‎(2)因为f(C)＝2sin－2＝0，‎ 所以sin＝1，又C∈(0，π)，‎ 知－