2019届高考数学二轮复习专题二第3讲　平面向量Word版含答案.docx

专题二 第3讲 平面向量 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 ‎1．以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；‎ ‎2．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；‎ ‎3．向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现．‎ 知识与技巧的梳理 ‎1．平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa．‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，‎ 有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．‎ ‎2．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．‎ ‎3．平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝．‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝．‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝．‎ ‎4．平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)．‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋)．‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G．‎ 热点题型 热点一　平面向量的有关运算 ‎【例1】(1) (2018·大连八中)已知向量，，，则m=（ ）‎ A．‎-2‎ B．2 C．‎-3‎ D．3‎ ‎(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． ‎ 解析　(1) 向量，，∴，‎ ‎∵，∴1×2＝﹣1（1+m），∴m＝﹣3．‎ 故选C．‎ ‎(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝．‎ 答案　(1)C　(2) 探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．‎ ‎【训练1】(2019·广州一模)已知ΔABC的边BC上有一点D D满足BD‎=4‎DC，则AD可表示为( )‎ A．AD‎=‎1‎‎4‎AB+‎‎3‎‎4‎AC B．‎AD‎=‎3‎‎4‎AB+‎‎1‎‎4‎AC C．AD‎=‎4‎‎5‎AB+‎‎1‎‎5‎AC D．‎AD‎=‎1‎‎5‎AB+‎‎4‎‎5‎AC 解析 由题意可知AD‎=AB+BD=AB+‎4‎‎5‎BC=AB+‎4‎‎5‎AC‎-‎AB=AD=‎1‎‎5‎AB+‎‎4‎‎5‎AC．，故选D．‎ 答案　D 热点二　平面向量的数量积 命题角度1　平面向量数量积的运算 ‎【例2－1】(1) (2019·株洲质检)在RtΔABC中，点D为斜边BC的中点，‎|AB|=8‎，‎|AC|=6‎，则AD‎⋅AB=‎（ ）‎ A．48 B．40 C．32 D．16‎ ‎(2)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝．若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为（ ）‎ A．4 B．－4 C． D．－ 解析　(1)因为点D为斜边BC的中点，所以AD‎=‎1‎‎2‎(AB+AC)‎，‎ 所以 AD‎⋅AB=‎ ‎1‎‎2‎‎(AB+AC)⋅AB=‎1‎‎2‎AB‎2‎+‎1‎‎2‎AC⋅‎AB，‎ 又RtΔABC中AC⊥AB，所以AD‎⋅AB=‎ ‎1‎‎2‎AB‎2‎‎=‎1‎‎2‎|AB‎|‎‎2‎=32‎，故选C．‎ ‎(2)∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4．‎ 答案　(1)C　(2)B 探究提高　1．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．‎ ‎2．进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．‎ ‎3．求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．‎ ‎4．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|．‎ ‎5．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：‎ ‎(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．‎ ‎(2)|a±b|＝＝．‎ ‎(3)若a＝(x，y)，则|a|＝．‎ ‎【训练2】(1)(2015·福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于（ ）‎ A．13 B．15 C．19 D．21‎ ‎(2) (2019·新泰一中)已知向量a与b的夹角为120°，且a‎=b=2‎，那么b‎⋅‎‎2a-‎b的值为（ ）‎ A．﹣8 B．﹣6 C．0 D．4‎ 解析　(1)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，‎ 则＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)．∴点P(1，4)，‎ 则·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，‎ 当且仅当4t＝，即t＝时取等号，故·的最大值为13．‎ ‎(2)向量a与b的夹角为‎120°‎，且a‎=b=2‎，可得a‎⋅b=a⋅b⋅cos120°=2×2×‎-‎‎1‎‎2‎=-2‎，即有b‎⋅‎2a-‎b=2a⋅b-b‎2‎=2×‎-2‎-4=-8‎．故选A．‎ 答案　(1)A　(2) A 热点三　平面向量与三角的交汇综合 ‎【例3】 (2017·郑州质检)已知向量m＝(2sin ωx，cos2ωx－sin2ωx)，n＝(cos ωx，1)，其中，．‎ 若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π．‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，若f(B)＝－2，BC＝，sin B＝sin A，求·的值．‎ 解　(1)f(x)＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋cos2ωx－sin2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin．‎ ‎∵f(x)的最小正周期为π，∴．∵，∴．‎ ‎(2)设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c．‎ ‎∵f(B)＝－2，∴2sin＝－2，即sin＝－1，解得B＝(B∈(0，π))．‎ ‎∵BC＝，∴a＝，∵sin B＝sin A，∴b＝a，∴b＝3．‎ 由正弦定理，有＝，解得sin A＝．∵0＜A＜，∴A＝．∴C＝，∴c＝a＝．‎ ‎∴·＝cacos B＝××cos ＝－．‎ 探究提高　1．破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化．‎ ‎2．这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解．‎ ‎【训练3】(2018·天津七校)在平面直角坐标系xoy中，已知向量a‎=(cosx,sinx),b=(1,‎3‎),x∈(π‎3‎,π)‎．‎ ‎（1）若a‎⊥‎b，求x的值；‎ ‎（2）若a与b的夹角为π‎6‎，求cosx的值．‎ 解（1）∵a‎⊥‎b，∴a‎⋅b=0‎，‎ 又a‎⋅b=cosx+‎3‎sinx=2(‎1‎‎2‎cosx+‎3‎‎2‎sinx)=2cos(x-π‎3‎)=0‎，‎ ‎∴ ‎x-π‎3‎=kπ+π‎2‎(k∈Z)‎ ‎∵ x∈(π‎3‎,π)‎，∴ x=‎5‎‎6‎π．‎ ‎（2）a‎⋅b=|a||b|cosπ‎6‎=1×2×‎3‎‎2‎=‎‎3‎,‎ ‎∴‎2cos(x-π‎3‎)=‎‎3‎，∴cos(x-π‎3‎)=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∵ x∈(π‎3‎,π)‎ ∴x-π‎3‎∈(0,‎2π‎3‎)‎ ∴‎sin(x-π‎3‎)=‎‎1‎‎2‎ cosx=cos[(x-π‎3‎)+π‎3‎]=cos(x-π‎3‎)cosπ‎3‎-sin(x-π‎3‎)sinπ‎3‎‎=‎0‎．‎ 限时训练 ‎（45分钟）‎ 经典常规题 ‎1．(2018·全国I卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB‎=‎（ ）‎ A．‎3‎‎4‎AB‎-‎‎1‎‎4‎AC B．‎‎1‎‎4‎AB‎-‎‎3‎‎4‎AC C．‎3‎‎4‎AB‎+‎‎1‎‎4‎AC D．‎‎1‎‎4‎AB‎+‎‎3‎‎4‎AC ‎2．(2018·全国II卷)已知向量，满足，，则（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎3．(2018·全国III卷)已知向量，，．若，则λ=‎________．‎ ‎4．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．‎ ‎(1)若a∥b，求x的值；‎ ‎(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．‎ 高频易错题 ‎1．(2018·平遥中学)若向量与满足a‎+‎b‎⊥‎a，且a‎=1,b=2‎，则向量在方向上的投影为（ ）‎ A．‎3‎ B．‎-‎‎1‎‎2‎ C．－1 D．‎‎3‎‎3‎ ‎2．(2019·内江一模)若a‎=1‎，b‎=2‎，a‎+‎‎2b‎=‎‎13‎，则a与b的夹角为（ ）‎ A．π‎6‎ B．π‎3‎ C．π‎2‎ D．‎‎2π‎3‎ ‎3．(2019·乐山一模)如图所示，AD是三角形ABC的中线，O是AD的中点，若CO‎=λAB+μAC，其中λ,μ∈R，则λ+μ的值为（ ）‎ A．‎-‎‎1‎‎2‎ B．‎1‎‎2‎ C．‎-‎‎1‎‎4‎ D．‎‎1‎‎4‎ ‎4．(2017·山东卷)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是____．‎ ‎5．设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈．‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．‎ 精准预测题 ‎1．(2017·汉中模拟)已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，则|b|＝（ ）‎ A．9 B．3 C． D．3 ‎2．(2018·平遥中学)已知向量a‎=(λ+1,2),b=(-2,2)‎,若‎|a-2b|=|a+2b|‎，则λ的值为（ ）‎ A．-3 B．-1 C．1 D．2‎ ‎3．(2019·河南联考)若非零向量a，b满足‎|a|=‎3‎|b|‎，且‎(a-b)⊥(a+2b)‎，则a与b的夹角的余弦值为（ ）‎ A．‎6‎‎3‎ B．‎3‎‎3‎ C．‎-‎‎6‎‎3‎ D．‎‎-‎‎3‎‎3‎ ‎4．(2017·贵阳调研)已知向量a＝，b＝(－sin x, sin x)，f(x)＝a·b．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值；‎ ‎(2)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f＝1，a＝2，求三角形ABC面积的最大值．‎ ‎5．(2018·武威十八中)已知函数fx=a⋅‎b，其中a‎=‎2cosx,‎3‎sin2x,b=cosx,1‎,x∈R．‎ ‎（1）求函数y=fx的单调递增区间；‎ ‎（2）在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fA=2,a=‎‎7‎，且b=2c，求ΔABC的面积．‎ 参考答案 经典常规题 ‎1．【解题思路】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE‎=‎1‎‎2‎BA+‎‎1‎‎2‎BC，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC‎=BA+‎AC，之后将其合并，得到BE‎=‎3‎‎4‎BA+‎‎1‎‎4‎AC，下一步应用相反向量，求得EB‎=‎3‎‎4‎AB-‎‎1‎‎4‎AC，从而求得结果．‎ ‎【答案】根据向量的运算法则，可得 BE‎=‎1‎‎2‎BA+‎1‎‎2‎BD=‎1‎‎2‎BA+‎1‎‎4‎BC=‎1‎‎2‎BA+‎1‎‎4‎(BA+AC)‎‎ ‎=‎1‎‎2‎BA+‎1‎‎4‎BA+‎1‎‎4‎AC=‎3‎‎4‎BA+‎‎1‎‎4‎AC，‎ 所以EB‎=‎3‎‎4‎AB-‎‎1‎‎4‎AC，故选A．‎ ‎2．【解题思路】根据向量模的性质以及向量乘法得结果．‎ ‎【答案】因为a‎⋅(2a-b)=2a‎2‎-a⋅b=2|a‎|‎‎2‎-(-1)=2+1=3，‎所以选B．‎ ‎3．【解题思路】由两向量共线的坐标关系计算即可．‎ ‎【答案】由题可得‎2a+b=(4,2)‎，‎ ‎∵c//(2a+b),‎‎ c‎=(1,λ)‎，‎∴4λ-2=0‎,即λ=‎‎1‎‎2‎，故答案为‎1‎‎2‎．‎ 点睛：本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．‎ ‎4．【解题思路】(1)两向量平行，坐标对应成比例；(2)根据数量积定义求出f(x)，再用辅助角公式进行化简．‎ ‎【答案】(1)∵a∥b，∴3sin x＝－cos x，∴3sin x＋cos x＝0，即sin＝0．‎ ‎∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝．‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝3cos x－sin x＝－2sin．∵x∈[0，π]，∴x－∈，‎ ‎∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3，‎ 当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2．‎ 高频易错题 ‎1．【解题思路】由向量a‎→‎与b‎→‎满足|a‎→‎|＝1，|b‎→‎|＝2，且a‎+‎b‎⊥‎a，求出，由此能求出向量a‎→‎在向量b‎→‎方向上的投影．‎ ‎【答案】∵向量a‎→‎与b‎→‎满足|a‎→‎|＝1，|b‎→‎|＝2，且a‎+‎b‎⊥‎a，‎ ‎∴（a‎→‎‎+‎b‎→‎）‎=a‎→‎‎2‎+a‎→‎⋅b‎→‎=a‎→‎⋅b‎→‎+‎1＝0，解得，‎ ‎∴向量a‎→‎在向量b‎→‎方向上的投影为：|a‎→‎|•cos‎＜‎a‎→‎，b‎→‎‎＞=‎|a‎→‎|‎×a‎→‎‎•‎b‎→‎‎|a‎→‎|⋅|b‎→‎|‎=‎-1‎‎2‎=-‎‎1‎‎2‎．故选B．‎ ‎2．【解题思路】根据‎|a‎→‎|=1，|b‎→‎|=2‎，对‎|a‎→‎+2b‎→‎|=‎‎13‎两边平方即可求出a‎→‎‎⋅b‎→‎=-1‎，‎ 从而可求出cos＜a‎→‎，b‎→‎＞=-‎‎1‎‎2‎，这样即可求出a‎→‎与b‎→‎的夹角．‎ ‎【答案】∵‎|a‎→‎|=1，|b‎→‎|=2，|a‎→‎+2b‎→‎|=‎‎13‎；‎ ‎∴‎(a‎→‎+2b‎→‎‎)‎‎2‎=a‎→‎‎2‎+4b‎→‎‎2‎+4a‎→‎⋅b‎→‎=1+16+4a‎→‎⋅b‎→‎=13‎；∴a‎→‎‎⋅b‎→‎=-1‎；‎ ‎∴cos＜a‎→‎，b‎→‎＞=a‎→‎‎⋅‎b‎→‎‎|a‎→‎||b‎→‎|‎=-‎‎1‎‎2‎；‎ 又‎0≤＜a‎→‎，b‎→‎＞≤π，∴a‎→‎‎，‎b‎→‎的夹角为‎2π‎3‎．故选D．‎ ‎3．【解题思路】在三角形ACD中O是AD的中点，可得CO‎=‎1‎‎2‎(CD+CA)‎，然后将其转化到AB‎、‎AC上求出λ、μ的值 ‎【答案】由题知CO‎=‎1‎‎2‎(CD+CA)=‎1‎‎2‎×(‎1‎‎2‎CB+CA)=‎1‎‎4‎(AB-AC)+‎1‎‎2‎CA=‎1‎‎4‎AB-‎‎3‎‎4‎AC，‎ 则λ=‎‎1‎‎4‎，μ=-‎‎3‎‎4‎，故λ+μ=-‎‎1‎‎2‎，故选A．‎ ‎4．【解题思路】求两向量的夹角：cos θ＝，注意θ∈[0，π]．‎ ‎【答案】cos 60°＝＝＝．解之得λ＝．故填．‎ ‎5．【解题思路】(1)直接利用坐标形式求模公式；(2)根据数量积定义求出f(x)，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简．‎ ‎【答案】(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．又x∈，从而sin x＝，所以x＝．‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 当x＝∈时，sin取最大值1．所以f(x)的最大值为．‎ 精准预测题 ‎1．【解题思路】两向量垂直，两向量的数量积为0．‎ ‎【答案】向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，∴2a＋b＝(1，x－8)，‎ 由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9．则|b|＝＝3．故选D．‎ ‎2．【解题思路】根据向量的坐标的运算得a‎-2b=( λ+5,-2)．a+2b=( λ-3,6)‎，利用向量模长相等列方程即可求解．‎ ‎【答案】由向量a‎=(λ+1,2),b=(-2,2)‎,‎ 可得a‎-2b=( λ+5,-2)．a+2b=( λ-3,6)‎．‎ a‎-2‎b‎=‎(λ+5)‎‎2‎‎+‎‎(-2)‎‎2‎=‎λ‎2‎‎+10λ+29‎‎，a‎+2‎b‎=‎(λ-3)‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎=‎λ‎2‎‎-6λ+45‎．‎ 由‎|a-2b|=|a+2b|‎，得λ‎2‎‎+10λ+29‎‎=‎λ‎2‎‎-6λ+45‎，解得λ=1‎．‎ 故选C．‎ ‎3．【解题思路】由‎(a-b)⊥(a+2b)‎可得a‎-‎b‎∙a‎+2‎b=a‎2‎-2b‎2‎+abcosθ=0‎，结合‎|a|=‎3‎|b|‎可得结果．‎ ‎【答案】设a与b的夹角为θ，‎ ‎∵‎‎ ‎(a-b)⊥(a+2b)‎，‎∴a‎-‎b∙a‎+2‎b=a‎2‎-2b‎2‎+abcosθ=0‎，‎ cosθ=-a‎2‎‎-2‎b‎2‎a‎⋅‎b=-b‎2‎‎3‎b‎2‎=-‎‎3‎‎3‎‎，故选D．‎ ‎4．【解题思路】(1) 根据数量积定义求出f(x)，再用二倍角公式和辅助角公式进行化简；‎ ‎(2) f＝1可得A，再利用余弦定理结合均值不等式．‎ ‎【答案】(1)∵a＝(－sin x，cos x)，b＝(－sin x，sin x)，‎ 则f(x)＝a·b＝sin2x＋sin xcos x＝(1－cos 2x)＋sin 2x＝sin＋，∴f(x)的最小正周期T＝＝π，‎ 当2x－＝＋2kπ，k∈Z时，即x＝＋kπ(k∈Z)，f(x)取最大值是．‎ ‎(2)∵f＝sin＋＝1，∴sin＝，∴A＝．‎ ‎∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴12＝b2＋c2－bc，∴b2＋c2＝12＋bc≥2bc，‎ ‎∴bc≤12(当且仅当b＝c＝2时等号成立)．∴S＝bcsin A＝bc≤3．‎ ‎∴当三角形ABC为等边三角形时面积取最大值是3．‎ ‎5．【解题思路】（1）利用向量数量积的坐标运算公式、降次公式和辅助角公式，化简fx为Asinωx+φ+B的形式，将ωx+φ代入‎2kπ-π‎2‎,2kπ+‎π‎2‎中，解出x的范围，由此求得函数的单调区间．‎ ‎（2）利用fA=2‎求得角A的大小，利用余弦定理和b=2c列方程组，解方程组求得c‎2‎的值，由此求得三角形的面积．‎ ‎【答案】（1），‎ 令，解得，，‎ 函数的单调递增区间是（）．‎ ‎（2）∵，∴，即，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵，由余弦定理得，①‎ ‎，②，‎ 由①②得，∴．‎