第1讲 绝对值不等式
最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
知 识 梳 理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a＝0
a0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.
(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( )
(2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.( )
(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( )
(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )
(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√
2.若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为( )
A.5或8 B.－1或5
C.－1或－4 D.－4或8
解析 分类讨论：
当a≤2时，f(x)＝
显然，x＝－时，f(x)min＝＋1－a＝3，∴a＝－4，
当a>2时，f(x)＝
显然x＝－时，f(x)min＝－－1＋a＝3，∴a＝8.
答案 D
3.(2015·山东卷)不等式|x－1|－|x－5|0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法.
(2)分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”
的证明方法.
(3)综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.
(4)反证法的证明步骤
第一步：作出与所证不等式相反的假设；
第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立.
2.几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当且仅当ad＝bc时，等号成立).
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立.
③柯西不等式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，
则＋
≥.
④柯西不等式的一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
(2)算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”.( )
(2)若实数x，y适合不等式xy＞1，x＋y＞－2，则x＞0，y＞0.( )
答案 (1)× (2)√
2.(2017·泰安模拟)若a＞b＞1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是( )
A.x＞y B.x＜y C.x≥y D.x≤y
解析 x－y＝a＋－＝a－b＋＝.由a＞b＞1得ab＞1，a－b＞0，
所以＞0，即x－y＞0，所以x＞y.
答案 A
3.(2017·聊城模拟)下列四个不等式：①logx10＋lg x≥2(x＞1)；②|a－b|＜|a|＋|b|；③≥2(ab≠0)；④|x－1|＋|x－2|≥1，其中恒成立的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 logx10＋lg x＝＋lg x≥2(x＞1)，①正确.
ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|，②不正确；
因为ab≠0，与同号，
所以＝＋≥2，③正确；
由|x－1|＋|x－2|的几何意义知，
|x－1|＋|x－2|≥1恒成立，④也正确，
综上①③④正确.
答案 C
4.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.
解析 由柯西不等式得(ma＋nb)2≤(m2＋n2)(a2＋b2)，即m2＋n2≥5，∴≥，∴所求最小值为.
答案
5.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)
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