高考导航 对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，难度不大.考查内容主要集中在两个方面：一是以选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.
热点一 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
【例1】 已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，
所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为an＝×
＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1Tn＋1，且T1＝132 500，即2n－1>32，得n>6，∴该企业从2017年开始年底分红后的资金超过32 500万元.
(建议用时：70分钟)
1.(2015·重庆卷)已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设{an}的公差为d，则由已知条件得
a1＋2d＝2，3a1＋d＝，
化简得a1＋2d＝2，a1＋d＝，
解得a1＝1，d＝，
故{an}的通项公式an＝1＋，
即an＝.
(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.
设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，
从而q＝2，
故{bn}的前n项和
Tn＝＝＝2n－1.
2.(2017·东北三省四校模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)依题意得
解得∴an＝2n＋1.
(2)∵＝3n－1，∴bn＝an·3n－1＝(2n＋1)·3n－1，
∴Tn＝3＋5×3＋7×32＋…＋(2n＋1)×3n－1，
3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)×3n－1＋(2n＋1)×3n，
两式相减得，
－2Tn＝3＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n
＝3＋2×－(2n＋1)×3n＝－2n×3n，
∴Tn＝n×3n.
3.已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2，数列{an}
的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，试求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)设二次函数f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b.
由于f′(x)＝6x－2，得a＝3，b＝－2，
所以f(x)＝3x2－2x.
又因为点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上，
所以Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，
所以an＝6n－5(n∈N*).
(2)由(1)得bn＝＝
＝·，
故Tn＝＝
＝.
4.在数列{an}中，log2an＝2n＋1，令bn＝(－1)n－1·，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 由题意得bn＝(－1)n－1
＝(－1)n－1.
当n为偶数时，Tn＝－＋
－…－＝－；
当n为奇数时，Tn＝－＋
－…＋＝＋，
故Tn＝
5.(2017·兰州模拟)正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，又a1＝2＝2×1.
综上，数列{an}的通项an＝2n.
(2)证明 由于an＝2n，bn＝，
则bn＝＝.
Tn＝
＝
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