2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第2课时直线与平面垂直学业分层测评苏教版必修2.doc

‎1.2.3‎‎ 第2课时 直线与平面垂直 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、填空题 ‎1．下列语句中正确的是________．(填序号)‎ ‎①l⊥α⇒l与α相交；‎ ‎②m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α；‎ ‎③l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α.‎ ‎【解析】　①正确，由线面垂直的定义可知；②不正确，没有明确直线m，n的情况；③正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n，又l⊥α，∴n⊥α.‎ ‎【答案】　①③‎ ‎2．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．‎ ‎【解析】　如图，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.‎ ‎∵PC⊥BD，且PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∴AC⊥BD.‎ ‎【答案】　菱形 ‎3．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则AC与BD的位置关系是________．‎ ‎【解析】　∵DA⊥α，∴DA⊥AC.‎ 又AC⊥AB，AB∩DA＝A，‎ ‎∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥BD.‎ ‎【答案】　垂直 ‎4．如图1－2－66，在正三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC‎1A1所成的角的大小是________．‎ 图1－2－66‎ ‎【解析】　取AC的中点D，连结DB，C1D，则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1‎ 7‎ 所成的角，在△ABC中，易得BD＝.‎ 在△DCC1中，易得DC1＝，‎ 在Rt△BC1D中，tan∠BC1D＝＝，‎ 即∠BC1D＝30°.‎ ‎【答案】　30°‎ ‎5．对于四面体A－BCD，给出下列四个命题：‎ ‎①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；‎ ‎②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；‎ ‎③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；‎ ‎④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.‎ 其中真命题的序号是________. ‎ ‎【导学号：41292033】‎ ‎【解析】　对于命题①，取BC的中点E，连结AE，DE，‎ 则BC⊥AE，BC⊥DE，且AE∩DE＝E，‎ ‎∴BC⊥平面ADE.∵AD⊂平面ADE，‎ ‎∴BC⊥AD.‎ 对于④，过A向平面BCD作垂线AO，如图所示．‎ 连结BO与CD交于E，则CD⊥BE，同理CF⊥BD，∴O为△BCD的垂心，连结DO，则BC⊥DO，BC⊥AO，且AO∩DO＝O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.‎ ‎【答案】　①④‎ ‎6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是__________．‎ 7‎ ‎【解析】　如图所示，作PD⊥BC于D，连结AD.‎ ‎∵PA⊥△ABC，∴PA⊥BC，且PA∩PD＝P，‎ ‎∴BC⊥平面PAD，∴AD⊥BC.‎ 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4，‎ 在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.‎ ‎【答案】　4 ‎7．如图1－2－67，直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠ABC＝90°，M为线段BB1上的一动点，则直线AM与直线BC的位置关系为__________．‎ 图1－2－67‎ ‎【解析】　∵AA1⊥平面ABC，∴BC⊥AA1，‎ ‎∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AB，又AB∩AA1＝A，‎ ‎∴BC⊥平面AA1B1B，又AM⊂平面AA1B1B，‎ ‎∴AM⊥BC.‎ ‎【答案】　垂直 ‎8．如图1－2－68所示，已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．‎ 图1－2－68‎ ‎【解析】　∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥QD.‎ 又∵PQ⊥QD，且PA∩PQ＝P，∴QD⊥平面PAQ，‎ ‎∴AQ⊥QD，即Q在以AD为直径的圆上，当圆与BC相切时，点Q只有一个，故BC＝2AB＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 二、解答题 7‎ ‎9.如图1－2－69，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.‎ 图1－2－69‎ ‎(1)证明：PA∥平面BDE；‎ ‎(2)证明：AC⊥平面PBD. ‎ ‎【导学号：41292034】‎ ‎【证明】　(1)设AC∩BD＝H，连结EH，‎ 在△ADC中，‎ 因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，‎ 所以H为AC的中点，‎ 又由题设，E为PC的中点，‎ 故EH∥PA，又EH⊂平面BDE，‎ 且PA⊄平面BDE，‎ 所以PA∥平面BDE.‎ ‎(2)因为PD⊥平面ABCD，‎ AC⊂平面ABCD，‎ 所以PD⊥AC.‎ 由(1)可得，DB⊥AC，又PD∩DB＝D，‎ 故AC⊥平面PBD.‎ ‎10．如图1－2－70，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于点E，EF⊥SC于点F.‎ 图1－2－70‎ ‎(1)求证：AF⊥SC；‎ ‎(2)若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD.‎ 7‎ ‎【证明】　(1)∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC.‎ 又AB∩SA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，‎ 又SB⊥AE，SB∩BC＝B，‎ ‎∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.‎ 又EF⊥SC，EF∩AE＝E，‎ ‎∴SC⊥平面AEF.‎ 又AF⊂平面AEF，∴AF⊥SC.‎ ‎(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC.‎ 又AD⊥DC，SA∩AD＝A，‎ ‎∴DC⊥平面SAD，∴DC⊥AG.‎ 又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF，‎ ‎∴SC⊥AG，‎ 又SC∩DC＝C，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．如图1－2－71所示，PA⊥平面ABC，M，N分别为PC，AB的中点，使得MN⊥AC的一个条件为__________．‎ 图1－2－71‎ ‎【解析】　取AC中点Q，连结MQ，NQ，‎ 则MQ∥AP，NQ∥BC，‎ 由已知条件易得MQ⊥AC，若AC⊥BC，‎ 则NQ⊥AC，所以AC⊥平面MNQ，‎ 所以AC⊥MN.‎ ‎【答案】　AC⊥BC ‎2．如图1－2－72，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且∠ABC＝45°，PA＝AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为________．‎ 7‎ 图1－2－72‎ ‎【解析】　作AE⊥BC于点E，则BC⊥平面PAE，可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的角．AE＝ABsin 45°＝，∴tan ∠APE＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎3．已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α于A，EB⊥β于B，a⊂α，a⊥AB，则直线a与l的位置关系是________. ‎ ‎【导学号：41292035】‎ ‎【解析】　由EA⊥α，‎ EB⊥β知l⊥EA，l⊥EB，‎ 从而l⊥平面EAB，‎ 而a⊥AB，a⊥EA，‎ ‎∴a⊥平面EAB，∴l∥a.‎ ‎【答案】　平行 ‎4．如图1－2－73，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．‎ 图1－2－73‎ ‎(1)证明：CD⊥AE；‎ ‎(2)证明：PD⊥平面ABE.‎ 7‎ ‎【证明】　(1)在四棱锥P－ABCD中，‎ 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD.‎ 又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.‎ 而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.‎ ‎(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.‎ 又∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.‎ 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，‎ ‎∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.‎ ‎∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.‎ 又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.‎ 又∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD. ‎ 又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.‎ 7‎