2018版高中数学第一章立体几何初步1.3.1空间几何体的表面积学业分层测评苏教版必修2.doc

‎1.3.1‎‎ 空间几何体的表面积 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[学业达标]‎ 一、填空题 ‎1．下列有四个结论，其中正确的是________．‎ ‎(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；‎ ‎(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；‎ ‎(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；‎ ‎(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥．‎ ‎【解析】　(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件，故正确．‎ ‎【答案】　(4)‎ ‎2．一个正四棱柱的对角线的长是‎9 cm，全面积等于‎144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.‎ ‎【解析】　设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，‎ ∴∴S侧＝4×4×7＝‎112 cm2.‎ ‎【答案】　112‎ ‎3．斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面两边所成角都是60°，那么这个斜三棱柱的侧面积是________. ‎ ‎【解析】　由题意可知S侧＝2×5×4×sin 60°＋5×4＝20＋20.‎ ‎【答案】　20＋20 ‎4．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为________．‎ ‎【解析】　∵l＝，∴S侧＝π(R＋r)l＝2πl2＝32π，∴l＝4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎5．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为__________．‎ ‎【解析】　斜高h′‎ ‎＝＝，‎ S1＝×(3×2＋3×4)×＝9，S2＝×22＋×42＝5，‎ 6‎ ‎∴S1>S2.‎ ‎【答案】　S1>S2‎ ‎6．圆锥侧面展开图的扇形周长为‎2m，则全面积的最大值为________．‎ ‎【解析】　设圆锥底面半径为r，母线为l，则有2l＋2πr＝2m.‎ ‎∴S全＝πr2＋πrl＝πr2＋πr(m－πr)＝(π－π2)r2＋πmr.‎ ‎∴当r＝＝时，S全有最大值.‎ ‎【答案】　 ‎7．正六棱柱的高为5，最长的对角线为13，则它的侧面积为__________．‎ ‎【解析】　如图，连结A1D1，AD1，则易知AD1为正六边形最长的对角线，‎ 由棱柱的性质，得AA1⊥A1D1，‎ 在Rt△AA1D1中，AD1＝13，AA1＝5，A1D1＝＝12，由正六棱柱的性质A1B1＝A1D1＝6，‎ S棱柱侧面积＝6×6×5＝180.‎ ‎【答案】　180‎ ‎8．如图1－3－2，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，三棱锥D1－AB‎1C的表面积与正方体的表面积的比为________．‎ 图1－3－2‎ ‎【解析】　设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1－AB1C为四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.‎ ‎【答案】　1∶ 二、解答题 6‎ ‎9.如图1－3－3所示，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.‎ 图1－3－3‎ ‎(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；‎ ‎(2)若大棱锥PO的侧棱为‎12 cm，小棱锥底面边长为‎4 cm，求截得棱台的侧面积和全面积. ‎ ‎【解】　(1)设正六棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，则截面的边长为，‎ ‎∴S大棱锥侧＝c1h1＝×6a× ＝3a ，‎ S小棱锥侧＝c2h2＝×‎3a× ‎＝a ，‎ S棱台侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝(‎6a＋‎3a)× ＝a ，∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.‎ ‎(2)S侧＝(c1＋c2)(h1－h2)＝144(cm2)，‎ S上＝6××4×4×sin 60°＝24(cm2)，‎ S下＝6××8×8×sin 60°＝96(cm2)，‎ ‎∴S全＝S侧＋S上＋S下 ‎＝144＋120(cm2)．‎ ‎10．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积为‎392 cm2，母线与轴的夹角为45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．‎ ‎【解】　法一：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm.即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D.‎ 6‎ 在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm，又S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.‎ 综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm.‎ 法二：圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，延长AA′，BB′交OO′的延长线于点S(O′，O分别为上、下底面圆心)．‎ 在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，‎ 又SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm.‎ 又S轴截面＝×(2x＋6x)×2x＝392(cm2)，所以x＝7.‎ 综上，圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm，21 cm.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．‎ ‎【解析】　S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π或S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π.‎ ‎【答案】　3π2＋π或3π2＋π ‎2．如图1－3－4，三棱锥S－ABC中底面△ABC为正三角形，边长为a，侧面SAC也是正三角形，且侧面SAC⊥底面ABC，则三棱锥的侧面积为________. ‎ 图1－3－4‎ ‎【解析】　取AC的中点M，连结SM，MB.‎ 6‎ ‎∵△SAC，△ABC为全等正三角形，‎ ‎∴SM⊥AC，BM⊥AC，‎ 且SM＝BM＝a，△SAB≌△SCB.‎ 又∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC.‎ SM⊂平面SAC，∴SM⊥平面ABC.‎ 过M作ME⊥BC于点E，连结SE，则SE⊥BC.‎ 在Rt△BMC中，ME·BC＝MB·MC，‎ ‎∴ME＝a，可求SE＝＝a.‎ ‎∴S△SBC＝BC·SE＝a2，‎ ‎∴S侧＝S△SAC＋2S△SBC＝a2.‎ ‎【答案】　a2‎ ‎3．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等，设四棱锥，三棱锥，三棱柱的高分别为h1，h2，h，则h1∶h2∶h＝__________.‎ ‎【解析】　由题意可把三棱锥A1－ABC与四棱锥A1－BCC1B1拼成如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1.不妨设棱长均为1，则三棱锥与三棱柱的高均为.而四棱锥A1－BCC1B1的高为，则h1∶h2∶h＝∶∶＝∶2∶2.‎ ‎【答案】　∶2∶2‎ ‎4．如图1－3－5所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用‎9.6 m铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到‎0.01 m2‎)．‎ 6‎ 图1－3－5‎ ‎【解】　由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为＝1.2－2r，∴塑料片面积S＝πr2＋2πr·(1.2－2r)＝－3πr2＋2.4πr＝－3π(r2－0.8r)＝－3π(r－0.4)2＋0.48π.∴当r＝0.4时，S有最大值0.48π，约为‎1.51平方米．‎ 6‎