(一) 立体几何初步
(时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)
1．给出下列命题：
(1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；
(2)若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；
(3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；
(4)若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．
其中真命题的序号为__________．
【解析】 (1)因为两个平面平行，所以两个平面没有公共点，即其中一个平面内的直线与另一个平面也没有公共点，由直线与平面平行的判定定理可得直线与该平面平行，所以(1)正确．
(2)因为该直线与其中一个平面垂直，那么该直线必与其中两条相交直线垂直，又两个平面平行，故另一个平面也必定存在两条相交直线与该直线垂直，所以该直线与另一个平面也垂直，故(2)正确．
(3)错，反例：该直线可以在另一个平面内．
(4)错，反例：其中一个平面内也存在直线与另一个平面平行．
综上：(1)(2)为真命题．
【答案】 (1)(2)
2．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形)．
【解析】 若有AC⊥BD，则A1C1⊥B1D1.
又∵CC1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，
∴B1D1⊥平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C，故条件可填AC⊥BD.
【答案】 AC⊥BD(答案不唯一)
3．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各个面引垂线，垂线段分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为________．
【解析】 设四面体的高为h，
则h＝＝，
Sh＝S(d1＋d2＋d3＋d4)，
11
∴d1＋d2＋d3＋d4＝h＝.
【答案】
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为__________．
【解析】 设圆锥的体积为x，则＝3，解得x＝54.
【答案】 54
5．已知正四棱锥O－ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为________.
【解析】 V四棱锥O－ABCD＝××h＝，得h＝，
∴OA2＝h2＋2＝＋＝6.
∴S球＝4πOA2＝24π.
【答案】 24π
6．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的________条件．
【解析】 ∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.
但l⊥mD⇒/l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．
故“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．
【答案】 必要不充分
7．如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
图1
【解析】 ∵B1C1⊥平面A1ABB1，
MN⊂平面A1ABB1，
∴B1C1⊥MN，又∠B1MN为直角．
∴B1M⊥MN，而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1.又MC1⊂平面MB1C1，
11
∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°.
【答案】 90°
8．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．
①若l∥α，l∥β，则α∥β；②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；③若l⊥α，l∥β，则α∥β；④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.
【解析】 对于①，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；
对于②，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；
对于③，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；
对于④，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误．故选②.
【答案】 ②
9．如图2，在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是CB，CD上的点，且＝＝，若BD＝6 cm，梯形EFGH的面积为28 cm2，则平行线EH，FG间的距离为__________cm.
图2
【解析】 由题知，EH＝BD＝3 cm，FG＝BD＝4 cm.
设平行线EH，FG之间距离为d，则×(3＋4)×d＝28，
解得d＝8 cm.
【答案】 8
10．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的位置关系为________．
【解析】 易知CD⊥AE，AE⊥PD，则AE⊥平面PCD，所以AE⊥PC.
【答案】 垂直
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是________．
①点H是△A1BD的垂心；
②AH⊥平面CB1D1；
③AH的延长线经过点C1；
11
④直线AH和BB1所成的角为45°.
【解析】 因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，
所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.
所以BD⊥平面AA1H.
又A1H⊂平面AA1H.
所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，
所以点H是△A1BD的垂心，①正确．
因为平面A1BD∥平面CB1D1，
所以AH⊥平面CB1D1，②正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故③正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角．
因为∠A1AH≠45°，故④错误．
【答案】 ④
12．如图3所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：
图3
①BC⊥PC；
②OM∥平面APC；
③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．
其中正确的序号是________．
【解析】 对于①，∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，故①正确；
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA.
11
∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC，故②正确；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故③正确．
【答案】 ①②③
13．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③二面角A－BC－D的度数为60°；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________．
【解析】 如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO，OC，易知AO⊥BD且CO⊥BD，AO∩OC＝O，故BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，故①正确．
设正方形ABCD的边长为1，易知AO＝OC＝.又由题意可知∠AOC＝90°，故AC＝1.
所以AC＝AD＝DC，所以△ACD是等边三角形，故②正确．
取BC的中点E，连结OE，AE，则∠AEO即为二面角A－BC－D的平面角，
∴tan∠AEO＝＝，
(3)
故③不正确．
对于④，如图(3)所示，
取AC的中点F，连结OF，EF，OE，则OE∥CD，EF∥AB，则∠FEO即为异面直线AB与CD
11
所成的角．又在△AOC中，OF＝，故EF＝OE＝OF，∴AB与CD所成的角为60°，故④正确．
综上可知①②④正确．
【答案】 ①②④
14．如图4所示，三棱锥A－BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB＝BC＝BD＝2，E是棱CD上的任意一点，F，G分别是AC，BC的中点，则在下面命题中：
①平面ABE⊥平面BCD；
②平面EFG∥平面ABD；
③四面体FECG体积的最大值是.
其中为真命题的是__________．(填序号)
【导学号：41292059】
图4
【解析】 ①正确，因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABE，由面面垂直的判定定理可知平面ABE⊥平面BCD；②错，若两平面平行，则必有AD∥EF，而点E是棱CD上任意一点，故该命题为假命题；③正确，由已知易得GF⊥平面GCE，且GF＝AB＝1，而S△GCE＝GC·CE·sin 45°＝CE≤1，故VF－GCE＝S△GCE·FG≤.故正确的命题为①③.
【答案】 ①③
二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
图5
15．(本小题满分14分)如图5，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥．求：
(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥A′－BC′D的体积．
11
【解】 (1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，
∴六个面是互相全等的正方形，
∴A′C′＝A′B＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝a，
∴S三棱锥＝4××(a)2＝2a2，S正方体＝6a2，
∴＝.
(2)显然，三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的，
∴V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD
＝a3－4××a2×a＝a3.
16．(本小题满分14分)如图6所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，A1D1的中点，判断MN与平面A1BC1的位置关系，并说明理由．
图6
【解】 直线MN∥平面A1BC1.
证明如下：
∵M∉平面A1BC1，N∉平面A1BC1.
∴MN⊄平面A1BC1.
如图，取A1C1的中点O1，
连结NO1，BO1.
∵NO1綊D1C1，MB綊D1C1，∴NO1綊MB，
∴四边形NO1BM为平行四边形，
∴MN∥BO1.又∵BO1⊂平面A1BC1，
∴MN∥平面A1BC1.
17．(本小题满分14分)如图7，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点．
11
图7
(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC⊥平面SBQ；
(2)若∠AOQ＝120°，QB＝，求圆锥的表面积．
【解】 (1)∵SQ＝SB，OQ＝OB，C为QB的中点，
∴QB⊥SC，QB⊥OC.
∵SC∩OC＝C，
∴QB⊥平面SOC.
又∵QB⊂平面SBQ，
∴平面SOC⊥平面SBQ.
(2)∵∠AOQ＝120°，QB＝，
∴∠BOQ＝60°，即△OBQ为等边三角形，
∴OB＝.
∵△SAB为等腰直角三角形，∴SB＝，
∴S侧＝·π＝3π，
∴S表＝S侧＋S底＝3π＋3π＝(3＋3)π.
图8
18．(本小题满分16分)如图8所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥平面BDE；
(2)求证：平面PAC⊥平面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
【解】 (1)证明：连结OE，如图所示．
11
∵O，E分别为AC，PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，∴PA∥平面BDE.
(2)证明：∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC.
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥平面PAC.
又∵BD⊂平面BDE，∴平面PAC⊥平面BDE.
(3)取OC中点F，连结EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，
∴EF⊥BD，
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFO，
∴OE⊥BD，
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan 30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
19．(本小题满分16分)如图9，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F为线段AC上一点.
(1)求证：BD⊥EF；
(2)若EF∥平面PBD，求的值．
图9
【解】 (1)因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.
又四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
11
又EF⊂平面PAC，所以BD⊥EF.
(2)设AC与BD交于点O，连结PO.
因为EF∥平面PBD，平面PAC∩平面PBD＝PO，且EF⊂平面PAC，所以EF∥PO.又E是PC的中点，
所以OF＝FC，所以AF＝3FC，即＝3.
20．(本小题满分16分)如图10(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图10(2)．
(1) (2)
图10
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.说明理由．
【解】 (1)证明：∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴DE∥BC.
又∵DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，
∴DE∥平面A1CB.
(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，
∴DE⊥A1D，DE⊥CD，A1D∩CD＝D，
∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1F.
又∵A1F⊥CD，DE∩CD＝D，
∴A1F⊥平面BCDE，BE⊂平面BCDE，∴A1F⊥BE.
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
11
又∵DE∥BC，∴DE∥PQ，
∴平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，A1C⊂平面A1DC，
∴DE⊥A1C.
又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
∴A1C⊥DP.又DE∩DP＝D，∴A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q(中点)，使得A1C⊥平面DEQ.
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