2018-2019学年度第二学期高三
文科数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合，，则等于
A. B. R C. D.
2. 设复数z满足，则
A. B. C. D. 2
3. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x 取值范围是
A. B. C. D.
4. 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是
A. B.
B. C. D.
5. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图执行该程序框图，若输入的，，依次输入的a为2，2，5，则输出的s= )
A. 7
B. 12
C. 17
D. 34
6. 已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是
A. B.
C. D.
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 12 B. 18
C. 24 D. 30
1. 已知等差数列的前n项和为，且，，则使取最小值时的n为
A. 1 B. 6 C. 7 D. 6或7
2. 已知，x，y满足约束条件，的最小值为，则
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C右支上一点，且若直线与圆相切，则双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D. 3
4. 已知，将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象若对任意实数x，都有成立，则
A. B. 1 C. D. 0
12. 已知函数的定义域为R，且，若f(0)=1，则函数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知函数，是偶函数，则______．
14. 已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，，则此三棱锥外接球的表面积为__________．
15. 锐角三角形ABC中，角A,B,C的 对边分别为a,b,c，若b2=a(a+c), 则的取值范围为 .
16. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_________．
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17.(本题满分12分) 已知各项均为正实数的数列的前n项和为，对于一切成立．Ⅰ求；Ⅱ求数列的通项公式；Ⅲ设为数列的前n项和，求证．
18. (本题满分12分)某校高三举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为作为样本样本容量为进行统计，按照，， ，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．
求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
估计本次竞赛学生成绩的中位数；
在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上含80分的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．
19. (本题满分12分)如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面C.
证明：；
若，，，求三棱柱的高．
20. (本题满分12分)设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．
求椭圆的方程和抛物线的方程；
设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．
21. (本题满分12分)已知函数，其中e是自然对数的底数．
若，求函数在上的最大值；
若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围；
若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围．
请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号
22.(本题满分10分) 已知曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ设 ，，若、与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求的面积．
23. (本题满分10分)已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
高三数学（文）答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
A
C
B
C
B
B
B
B
D
二、填空题：
13.4 14. 8 15.(1, 2) 16.
三、解答题（本大题共7小题，共70分）
17.已知各项均为正实数的数列的前n项和为，对于一切成立．Ⅰ求；Ⅱ求数列的通项公式；Ⅲ设为数列的前n项和，求证．
【答案】解：Ⅰ当时，，，得，
或，由条件，所以．Ⅱ当时，，；
则，
所以，，
，
由条件，所以，
故正实数列是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 Ⅲ由Ⅰ，，
，
将上式两边同乘以，得
，得
，
即．
，
．
18.某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为作为样本样本容量为进行统计，按照，，，，的分组作出频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为8，2．
求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
估计本次竞赛学生成绩的中位数；
在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上含80分的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．
【答案】本小题满分12分
解：由题意可知，样本容量
，
．
设本次竞赛学生成绩的中位数为m，
则，
解得，
本次竞赛学生成绩的中位数为71．
由题意可知，分数在内的学生有5人，
记这5人分别为，，，，，
分数在内的学生有2人，记这2人分别为，．
抽取的2名学生的所有情况有21种，分别为：
，，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，
其中2名同学的分数都不在内的情况有10种，分别为：
，，，，，
，，，，
所抽取的2名学生中至少有一人得分在内的概率．
19.如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为O，且平面C.
证明：；
若，，，求三棱柱的高．
【答案】证明：连接，则O为与的交点，
侧面为菱形，
，
平面，
，
，
平面ABO，
平面ABO，
；
解：作，垂足为D，连接AD，作，垂足为H，
，，，
平面AOD，
，
，，
平面ABC，
，
为等边三角形，
，，
，，
由，可得，，
为的中点，根据相似性
到平面ABC的距离为，
三棱柱的高．
20.设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．
求椭圆的方程和抛物线的方程；
设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异于，直线BQ与x轴相交于点若的面积为，求直线AP的方程．
【答案】Ⅰ解：设F的坐标为．
依题意可得，
解得，，，于是．
所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为Ⅱ解：直线l的方程为，设直线AP的方程为，
联立方程组，解得点，故
联立方程组，消去x，整理得，解得，或．
直线BQ的方程为，
令，解得，故D．
．
又的面积为，，
整理得，解得，．
直线AP的方程为，或．
21.已知函数，其中e是自然对数的底数．
若，求函数在上的最大值；
若，关于x的方程有且仅有一个根，求实数k的取值范围；
若对任意的、，，不等式都成立，求实数a的取值范围．
【答案】解：若，则，
，
时，，时， 0'/>，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
又，
故函数的最大值为．
由题意得：有且只有一个根，
令，则
故在上单调递减，上单调递增，上单调递减，
所以，
因为在单调递减，且函数值恒为正，又当时，，
所以当时，有且只有一个根．
设，因为在单调递增，
故原不等式等价于在、，且恒成立，
所以在、，且恒成立，
即，在、，且恒成立，
则函数和都在单调递增，
则有，在恒成立，
当恒成立时，因为在单调递减，
所以的最大值为，所以；
当恒成立时，因为在单调递减，在单调递增，
所以的最小值为，所以，
综上：．
22.已知曲线C的参数方程为为参数，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求曲线C的极坐标方程；Ⅱ设 ：，若、与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求的面积．
【答案】解：Ⅰ曲线C的普通方程为，
将代入得：Ⅱ由，解得
，解得
23已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．
【答案】解：Ⅰ不等式，即，
可化为或或，分
解得，解得，解得，
综合得：，即原不等式的解集为分Ⅱ因为，
当且仅当时，等号成立，即，分
又不等式有解，则，解得：或分
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