5.2.2 平行线的判定
关键问答
①由平行线的定义来判定平行线，在什么地方不便操作？
②平行线的判定方法有哪些？
1．①图5－2－10是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图原理是( )
图5－2－10
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行
2．②用两块相同的三角尺按如图5－2－11所示的方式作平行线AB和CD，能解释其中道理的依据是( )
图5－2－11
A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一直线的两直线平行
3．如图5－2－12，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则( )
图5－2－12
A．AB∥BC B．BC∥CD C．AB∥CD D．AB与CD相交
命题点 1 同位角相等，两直线平行 [热度：94%]
4.如图5－2－13，直线a与直线b相交于点A，与直线c相交于点B，∠1＝120°，∠2＝45°.若使直线b与直线c平行，则可将直线b绕点A逆时针旋转( )
图5－2－13
A．15° B．30°C．45° D．60°
5.③已知∠1＝∠2，下列能判定AB∥CD的是( )
图5－2－14
方法点拨
③先判断∠1，∠2是由哪两条直线被哪条直线所截得到的，再确定两角位于被截直线之间还是同旁，在截线同侧还是异侧.
6．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是( )
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
7.如图5－2－15，PE⊥MN，QF⊥MN，∠1＝∠2，直线AB与CD平行吗？为什么？
图5－2－15
命题点 2 内错角相等，两直线平行 [热度：94%]
8.④如图5－2－16，已知∠1＝∠2，那么( )
图5－2－16
A．AB∥CD，根据内错角相等，两直线平行
B．AD∥BC，根据内错角相等，两直线平行
C．AB∥CD，根据同位角相等，两直线平行
D．AD∥BC，根据同位角相等，两直线平行
解题突破
④分析∠1，∠2是由哪两条直线被哪条直线所截得到的，是一对什么位置关系的角.
9.⑤如图5－2－17，点A在直线DE上，当∠BAC＝________°时，DE∥BC.
图5－2－17
方法点拨
⑤求角时，先看能否将其转化成已知角的和与差，这时的标志是其与已知角有公共顶点和公共边；再看所求角与已知角是不是同位角、内错角或同旁内角.
10．如图5－2－18，已知AB⊥BC，DC⊥BC，∠1＝∠2，直线BE，CF平行吗？为什么？
图5－2－18
11．如图5－2－19，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝100°.要使AB∥EF，∠4应为多少度？说明理由．
图5－2－19
命题点 3 同旁内角互补，两直线平行 [热度：94%]
12．⑥如图5－2－20，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，不能判定AB∥CD的条件是( )
图5－2－20
A．∠1＝∠2 B．∠1＋∠2＝90° C．∠3＋∠4＝90° D．∠2＋∠3＝90°
方法点拨
⑥对于复杂图形，可以采用去掉与条件无关的直线的方法，使图形变得简单，从而使问题难度减小．
13.⑦如图5－2－21，∠ABD＝90°，∠BDC＝90°，∠1＋∠2＝180°，CD与EF平行吗？为什么？
图5－2－21
方法点拨
⑦准确识别同位角、内错角、同旁内角是判断哪两条直线平行的关键．一般地，“F”形中有同位角，“Z”形中有内错角，“U”形中有同旁内角．每一对角的公共边所在的直线是截线，另外两边所在的直线是被截线，即需判定平行的两条直线．
命题点 4 平行线判定方法的选用 [热度：96%]
14．如图5－2－22，已知AB⊥BC，∠1＋∠2＝90°，∠2＝∠3，BE与DF平行吗？为什么？
图5－2－22
15．⑧小明到工厂进行社会实践活动时，发现工人师傅生产了一种如图5－2－23所示的零件，要求AB∥CD，∠BAE＝35°，∠AED＝90°.小明发现工人师傅只是量出∠BAE＝35°，∠AED＝90°后，又量了∠EDC＝55°，就说AB与CD肯定是平行的．你知道原因吗？
图5－2－23
方法点拨
⑧(1)判定两直线平行，通常找这两条直线被第三条直线所截得的同位角、内错角、同旁内角的数量关系；
(2)若找到的“截线”是折线，通常过折线的拐点再作一条直线，把图形转化成多个两直线被第三条直线所截的图形，再用(1)解决.
典题讲评与答案详析
1．A 2.A 3.C
4．A [解析]∵∠1＝120°，∴∠1的邻补角为60°.
当直线b与直线c平行时，
∵∠2＝45°，∴∠1的邻补角为45°，
∴可将直线b绕点A逆时针旋转15°.故选A.
5．D [解析] 在四个选项中，只有选项D满足“同位角相等，两直线平行”．
6．A [解析] 此题可看作平行线性质的实际应用，解决该题单纯从文字方面去分析，很难判断出结果，但是结合题意画出各选项的示意图后，结果也就一目了然了．各选项的示意图如下：
虽然有的图形符合了两直线平行，但行驶方向与原来的方向不相同．两次拐弯的方向与角度决定了行驶方向与原来的方向是否相同．对照上面示意图，发现A选项是正确的．
7．解：AB∥CD.理由如下：
∵PE⊥MN，QF⊥MN(已知)，
∴∠MEP＝∠MFQ＝90°(垂直的定义)．
又∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠MEP－∠1＝∠MFQ－∠2(等式的性质)，
即∠MEB＝∠MFD，
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
8．B [解析]∠1，∠2是直线AD，BC被直线AC所截得到的内错角，由内错角相等，两直线平行，可知AD∥BC.故选B.
9．57
10．解：BE∥CF.理由如下：
因为AB⊥BC，DC⊥BC，
所以∠ABC＝∠BCD＝90°.
又因为∠1＝∠2，
所以∠ABC－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠EBC＝∠BCF，
所以BE∥CF(内错角相等，两直线平行)．
11．解：∠4应为100°.理由如下：
∵∠1＝∠2，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
∵∠4＝∠3＝100°，
∴EF∥CD(内错角相等，两直线平行)，
∴AB∥EF(平行于同一直线的两条直线平行)．
12．A [解析]AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，
选项A中，由∠1＝∠2，可得∠BAC＝∠ACD，
而∠BAC，∠ACD是一对同旁内角，显然不能判定AB∥CD.
13．解：CD∥EF.理由如下：
∵∠ABD＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ABD＋∠BDC＝180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．
又∵∠1＋∠2＝180°，
∴AB∥EF(同旁内角互补，两直线平行)，
∴CD∥EF(平行于同一条直线的两直线平行)．
14．解：BE∥DF.理由如下：∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠EBC＝90°.
又∵∠1＋∠2＝90°，且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠EBC，∴BE∥DF.
15．解：以E为顶点，AE为一边，在∠AED的内部作∠AEM＝∠BAE＝35°，∴AB∥EM(内错角相等，两直线平行)．
又∵∠AED＝90°，∴∠DEM＝∠EDC＝55°，
∴CD∥EM(内错角相等，两直线平行)，
∴AB∥CD(平行于同一条直线的两直线平行)．
【关键问答】
①要确定同一平面内两直线不相交，比较困难，因此不便操作．
②方法1：同位角相等，两直线平行；方法2：内错角相等，两直线平行；方法3：同旁内角互补，两直线平行．
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