2.1.2 第2课时 直线的两点式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．直线l过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l的方程为________________．
【解析】 由直线的两点式方程得＝，整理得x－y＋3＝0.
【答案】 x－y＋3＝0
2．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程________．
①可以写成两点式或截距式；
②可以写成两点式或斜截式或点斜式；
③可以写成点斜式或截距式；
④可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式．
【解析】 由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式．
【答案】 ②
3．直线＋＝1过第一、二、三象限，则a________0，b________0.
【解析】 因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a0.
【答案】
4．若直线l过定点(－1，－1)和(2,5)，且点(2 017，a)在l上，则a的值为________．
【解析】 ∵(－1，－1)，(2,5)，(2 017，a)三点共线，
∴＝，∴a＝4 035.
【答案】 4 035
5．经过点A(2,1)，在x轴上的截距为－2的直线方程是________.
【导学号：41292074】
【解析】 由题意知直线过两点(2,1)，(－2,0)，由两点式方程可得所求直线的方程为＝，即x－4y＋2＝0.
【答案】 x－4y＋2＝0
6．两条直线l1：－＝1和l2：－
4
＝1在同一直角坐标系中的图象可以是________．
图2－1－5
【解析】 化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置．
【答案】 ①
7．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________．
【解析】 AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
【答案】 12
8．直线mx＋ny＋p＝0(mn≠0)在两坐标轴上的截距相等，则m，n，p满足的条件是________．
【解析】 当p＝0时，直线在两坐标轴上的截距相等，
当p≠0时，因mn≠0，∴－＝－，
即m＝n.
【答案】 p＝0或p≠0且m＝n
二、解答题
9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
(1)过定点A(－3,4)；
(2)斜率为.
【解】 (1)设直线l的方程是y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3,3k＋4，
由已知，得(3k＋4)＝±6，
4
解得k1＝－或k2＝－.
故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.
(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是
y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，
由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1.
∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
10．已知直线l过点P(－5，－4)且与两坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程．
【解】 设直线l的方程为＋＝1，
则有解得或
故直线l的方程为－＝1或－＋＝1.
即2x－5y－10＝0或8x－5y＋20＝0.
[能力提升]
1．过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b，则直线的方程为__________．
【解析】 当b＝0时，设直线方程为y＝kx，
则2k＝－1，
所以k＝－，所以直线方程为y＝－x，即x＋2y＝0.
当b≠0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝－.
所以直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.
【答案】 x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0
2．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则的取值范围是________．
【解析】 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)．由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，所以∈.
4
【答案】
3．已知两点A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy的最大值为________.
【导学号：41292075】
【解析】 由A，B，P三点共线，得＝，
即y＝－(x－3)，x∈[0,3]．
∴xy＝x·＝－(x2－3x)
＝－＋3.
当x＝时，xy取得最大值3，此时x＝，y＝2，即点P.
【答案】 3
4．直线l与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差的绝对值为3，求直线l的方程．
【解】 由题意可知，设直线l与两坐标轴的交点分别为(a,0)，(0，b)，且有a＞0，b＞0，根据题中两个条件，
可得解得或
所以直线l的方程为＋y＝1或x＋＝1.
4
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