2.1.3 两条直线的平行与垂直
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________．
【解析】 直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.
【答案】 6
2．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是________三角形．
【解析】 ∵kAB＝＝－，kAC＝＝，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．
【答案】 直角
3．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是________．
【解析】 ∵l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，不妨设斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1，
∴l1⊥l2.
【答案】 垂直
4．若点A(0,1)，B(，4)在直线l1上，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角为________.
【导学号：41292083】
【解析】 由题意可知kAB＝＝.
又l1⊥l2，从而l2的斜率为－.
由tan α＝－，得α＝150°.
【答案】 150°
5．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________.
【解析】 l的斜率为－1，则l1的斜率为1，
kAB＝＝1，得a＝0.由l1∥l2，
得－＝1，即b＝－2，所以a＋b＝－2.
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【答案】 －2
6．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，有下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的结论是________．
【解析】 由斜率公式知，
kPQ＝＝－，
kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
∴PQ∥SR，PS⊥PQ，PR⊥QS.
而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行．
故结论正确的为①②④.
【答案】 ①②④
7．△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－a,0)，(a,0)(a>0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于k.
①若k＝－1，则△ABC是直角三角形；
②若k＝1，则△ABC是直角三角形；
③若k＝－2，则△ABC是锐角三角形；
④若k＝2，则△ABC是锐角三角形．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
【解析】 由kAC·kBC＝k＝－1，知AC⊥BC，∠C＝，①正确，②不正确．
由kAC·kBC＝k＝－2，知∠C为锐角，kAC与kBC符号相反，③正确，④不正确．
【答案】 ①③
8．过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线一定恒过点__________.
【导学号：41292084】
【解析】 过点(m，n)且与直线nx－my＋mn＝0平行的直线方程为m(y－n)＝n(x－m)，即nx－my＝0，此直线恒过定点(0,0)．
【答案】 (0,0)
二、解答题
9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线．
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
【解】 (1)由kAB＝
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＝tan 135°＝－1，
解得m＝－或1.
(2)由kAB＝，且＝3，
故＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或－1.
10．如图2－1－9，在平行四边形OABC中，点C(1,3)，A(3,0)，
图2－1－9
(1)求AB所在直线的方程；
(2)过点C做CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．
【解】 (1)点O(0,0)，点C(1,3)，∴直线OC的斜率为kOC＝＝3.
AB∥OC，kAB＝3，AB所在直线方程为y＝3x－9.
(2)在▱OABC中，AB∥OC，
∵CD⊥AB，∴CD⊥OC.
∴CD所在直线的斜率为kCD＝－.
∴CD所在直线方程为y－3＝－(x－1)，
即x＋3y－10＝0.
[能力提升]
1．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为________．
【解析】 kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，
∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
【答案】 45°
2．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．
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【解析】 由两点的斜率公式可得：kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
【答案】 －1
3．已知直线l1过点A(1,1)，B(3，a)，直线l2过点M(2,2)，N(3＋a,4)．
(1)若l1∥l2，则a的值为________；
(2)若l1⊥l2，则a的值为________．
【解析】 设直线l1的斜率为k1，
则k1＝＝.
(1)若l1∥l2，则直线l2的斜率k2＝.
又k2＝＝，
∴＝，解得a＝±.
又当a＝±时，kAM≠kBM，
∴A，B，M三点不共线，
∴a＝±均适合题意．
(2)若l1⊥l2，
①当k1＝0，即a＝1时，k2＝1，
此时k1·k2＝0≠－1，不符合题意．
②当k1≠0时，则l2的斜率存在，
此时·＝－1，
解得a＝0，故l1⊥l2时，a＝0.
【答案】 (1)± (2)0
4．如图2－1－10所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直？
【导学号：41292085】
图2－1－10
【解】 以点B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴，y
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轴，建立如图所示的直角坐标系．由AD＝5，AB＝3可得C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
法一：直线AC的方程为＋＝1，
即3x＋5y－15＝0.
设过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线方程为5x－3y＝t，则t＝25－9＝16，即过点D(5,3)且与直线AC垂直的直线方程为5x－3y－16＝0.令y＝0，得x＝＝3.2，即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM互相垂直．
法二：设点M的坐标为(x,0)，
∵AC⊥DM，∴kAC·kDM＝－1.
∴·＝－1，
解得x＝5－＝＝3.2，
即BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM互相垂直．
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