2017年中考数学试题分项版解析汇编第01期专题09三角形含解析.doc

专题09 三角形 一、选择题 ‎1.（2017重庆A卷第8题）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（　　）‎ A．3：2 B．3：‎5 ‎C．9：4 D．4：9‎ ‎【答案】A．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵△ABC～△DEF，相似比为3：2，‎ ‎∴对应高的比为：3：2．‎ 故选A．‎ 考点：相似三角形的性质.‎ ‎2. （2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=‎3米，CE=‎2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=‎10米，则此时AB的长约为（　　）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．‎ A．‎5.1米 B．‎6.3米 C．‎7.1米 D．‎‎9.2米 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图，延长DE交AB延长线于点P，作CQ⊥AP于点Q，‎ ‎∵CE∥AP，‎ ‎∴DP⊥AP，‎ ‎∴四边形CEPQ为矩形，‎ ‎∴CE=PQ=2，CQ=PE，‎ ‎∵i=，‎ ‎∴设CQ=4x、BQ=3x，‎ 由BQ2+CQ2=BC2可得（4x）2+（3x）2=102，‎ 解得：x=2或x=﹣2（舍），‎ 则CQ=PE=8，BQ=6，‎ ‎∴DP=DE+PE=11，‎ 在Rt△ADP中，∵AP=≈13.1，‎ ‎∴AB=AP﹣BQ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，‎ 故选A．‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎3.（2017甘肃庆阳第6题）将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2为（　　）‎ A．115° B．120° C．135° D．145°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图，‎ 由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+45°=135°，‎ ‎∵直尺的两边互相平行，‎ ‎∴∠2=∠3=135°．‎ 故选C．‎ 考点：平行线的性质；余角和补角．‎ ‎4. （2017甘肃庆阳第8题） 已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为（　　）‎ A．2a+2b-2c B．2a+2b C．2c D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题解析：∵a、b、c为△ABC的三条边长，‎ ‎∴a+b-c＞0，c-a-b＜0，‎ ‎∴原式=a+b-c+（c-a-b）‎ ‎=0．‎ 故选D．‎ 考点：三角形三边关系．‎ ‎5.（2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题解析：如图连接PC．‎ 在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，‎ ‎∴AB=4，‎ 根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，‎ ‎∴A′P=PB′，‎ ‎∴PC=A′B′=2，‎ ‎∵CM=BM=1，‎ 又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，‎ ‎∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．‎ 故选B．‎ 考点：旋转的性质．‎ ‎6.（2017湖北武汉第10题）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）‎ A．4 B．5 C． 6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形； ②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形； ③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形； ④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形； ⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形； ⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．‎ 故选C.‎ 考点：画等腰三角形.‎ ‎7.（2017江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（　　）‎ A．2 B． C． D． ‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．‎ 在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，‎ ‎∴BC==5，‎ ‎∵CD=DB，‎ ‎∴AD=DC=DB=，‎ ‎∵•BC•AH=•AB•AC，‎ ‎∴AH=，‎ ‎∵AE=AB，DE=DB=DC，‎ ‎∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，‎ ‎∵•AD•BO=•BD•AH，‎ ‎∴OB=，‎ ‎∴BE=2OB=，‎ 在Rt△BCE中，EC= .‎ 故选D．‎ 考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．‎ ‎8.（2017甘肃兰州第3题）如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=130m，BC=50m，‎ ‎∴AC==120m，‎ ‎∴tan∠BAC=.‎ 故选C．‎ 考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．‎ ‎9. （2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶 端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )‎ A.米 B.米 C.米 D.10米 ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，‎ ‎∴△ACG∽△FEG，‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎∴AC=8，‎ ‎∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．‎ 故选A．‎ 点：相似三角形的应用．‎ ‎10.（2017贵州黔东南州第2题）如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（　　）‎ A．120° B．90° C．100° D．30°‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∠A=∠ACD﹣∠B ‎=120°﹣20°‎ ‎=100°，‎ 故选：C．‎ 考点：三角形的外角性质．‎ ‎11.（2017山东烟台第12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平底面处安置侧倾器得楼房顶部点的仰角为，向前走20米到达处，测得点的仰角为.已知侧倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（ ）‎ ‎（结果精确到0.1米，）‎ A．米 B．米 C.米 D．米 ‎【答案】C．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：过B作BF⊥CD于F，‎ ‎∴AB=A′B′=CF=1.6米，‎ 在Rt△DFB′中，B′F=，‎ 在Rt△DFB中，BF=DF，‎ ‎∵BB′=AA′=20，‎ ‎∴BF﹣B′F=DF﹣=20，‎ ‎∴DF≈34.1米，‎ ‎∴CD=DF+CF=35.7米，‎ 答：楼房CD的高度约为35.7米，‎ 故选C．‎ 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．‎ ‎12.（2017四川泸州第10题）已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ 考点：二次根式的应用.‎ ‎13.（2017浙江嘉兴第2题）长度分别为，，的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由三角形三边关系定理得7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9．‎ 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．‎ ‎4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，‎ 故选C．‎ 考点：三角形的三边关系.‎ 二、填空题 ‎1.（2017浙江宁波第16题）如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从滑行至，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．(参考数据：，，)‎ ‎【答案】280.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在RtΔABC中，sin34°=‎ ‎∴AC=AB×sin34°=500×0.56=280米.‎ 考点：解直角三角形的应用.‎ ‎2.（2017甘肃庆阳第16题）如图，一张三角形纸片ABC，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．现将纸片折叠：使点A与点B重合，那么折痕长等于 cm．‎ ‎【答案】cm．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图，折痕为GH，‎ 由勾股定理得：AB==10cm，‎ 由折叠得：AG=BG=AB=×10=5cm，GH⊥AB，‎ ‎∴∠AGH=90°，‎ ‎∵∠A=∠A，∠AGH=∠C=90°，‎ ‎∴△ACB∽△AGH，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴GH=cm．‎ 考点：翻折变换 ‎3.（2017广西贵港第16题）如图，点 在等边的内部，且，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题解析：连接PP′，如图，‎ ‎∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，‎ ‎∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，‎ ‎∴△CPP′为等边三角形，‎ ‎∴PP′=PC=6，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴CB=CA，∠ACB=60°，‎ ‎∴∠PCB=∠P′CA，‎ 在△PCB和△P′CA中 ‎ ‎ ‎∴△PCB≌△P′CA，‎ ‎∴PB=P′A=10，‎ ‎∵62+82=102，‎ ‎∴PP′2+AP2=P′A2，‎ ‎∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，‎ ‎∴sin∠PAP′=．‎ 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．‎ ‎4.（2017贵州安顺第13题）三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于　 　．‎ ‎【答案】2.5‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵32+42=25=52，‎ ‎∴该三角形是直角三角形，‎ ‎∴×5=2.5．‎ 考点：勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线．‎ ‎5.（2017湖北武汉第15题）如图△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°，BD=5，CE=8，则DE的长为 ．‎ ‎【答案】7.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵AB=AC， ∴可把△AEC绕点A顺时针旋转120°得到△AE′B，如图，‎ ‎ ∴BE′=EC=8，AE′=AE，∠E′AB=∠EAC， ∵∠BAC=120°，∠DAE=60°， ∴∠BAD+∠EAC=60°， ∴∠E′AD=∠E′AB+∠BAD=60°， 在△E′AD和△EAD中 ‎ ‎∴△E′AD≌△EAD（SAS）， ∴E′D=ED， 过E′作EF⊥BD于点F， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠C=∠E′BA=30°， ∴∠E′BF=60°， ∴∠BE′F=30°， ∴BF=BE′=4，E′F=4‎ ‎， ∵BD=5， ∴FD=BD-BF=1， 在Rt△E′FD中，由勾股定理可得E′D=， ∴DE=7．‎ 考点：1.含30度角的直角三角形；2.等腰三角形的性质．‎ ‎6.（2017湖南怀化第15题）如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得.‎ ‎【答案】CE=BC．本题答案不唯一．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：添加条件是：CE=BC，‎ 在△ABC与△DEC中，，‎ ‎∴△ABC≌△DEC．‎ 故答案为：CE=BC．本题答案不唯一．‎ 点：全等三角形的判定．‎ ‎7.（2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于　 　．‎ ‎【答案】3.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：平移CD到C′D′交AB于O′，如图所示，‎ 则∠BO′D′=∠BOD，‎ ‎∴tan∠BOD=tan∠BO′D′，‎ 设每个小正方形的边长为a，‎ 则O′B=，O′D′=，BD′=3a，‎ 作BE⊥O′D′于点E，‎ 则BE=，‎ ‎∴O′E=，‎ ‎∴tanBO′E=，‎ ‎∴tan∠BOD=3.‎ 考点：解直角三角形．‎ ‎8.（2017江苏盐城第12题）在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．‎ ‎【答案】120°.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°. ‎ 考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．‎ ‎9.（2017甘肃兰州第17题）如图，四边形与四边形相似，位似中心点是，，则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：如图所示：‎ ‎∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，‎ ‎∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：位似变换．‎ ‎10.（2017贵州黔东南州第12题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件　 　使得△ABC≌△DEF．‎ ‎【答案】∠A=∠D．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：添加∠A=∠D．理由如下：‎ ‎∵FB=CE，‎ ‎∴BC=EF．‎ 又∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB=∠DFE．‎ ‎∴在△ABC与△DEF中，‎ ‎ ，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS）．‎ 考点：全等三角形的判定．‎ ‎11.（2017山东烟台第14题）在中，，，，则 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵sinA=，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴sin=sin30°=．‎ 考点：特殊角的三角函数值．‎ ‎12. （2017山东烟台第16题）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.与是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点都在格点上，则点的坐标是 .‎ ‎【答案】（﹣2，）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：由题意得：△A′OB′与△AOB的相似比为2：3，‎ 又∵B（3，﹣2）‎ ‎∴B′的坐标是[3×，﹣2×]，即B′的坐标是（﹣2，）‎ 考点：位似变换；坐标与图形性质．‎ ‎13.（2017四川泸州第16题）在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为 cm．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：连接AO并延长，交BC于H，‎ 由勾股定理得，DE=，‎ ‎∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，‎ ‎∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，‎ ‎∴AH是中线，又BD⊥CE，‎ ‎∴OH=BC=2，‎ ‎∵O是△ABC的重心，‎ ‎∴AO=2OH=4.‎ 考点：1.三角形的重心；2.勾股定理．‎ ‎14.（2017四川自贡第14题）在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN的长为　　．‎ ‎【答案】1.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵MN∥BC，‎ ‎∴△AMN∽△ABC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴MN=1.‎ 考点：相似三角形的判定与性质.‎ ‎15.（2017新疆建设兵团第15题）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：‎ ‎①∠ABC=∠ADC；‎ ‎②AC与BD相互平分；‎ ‎③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；‎ ‎④四边形ABCD的面积S=AC•BD．‎ 正确的是　 　（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ 试题解析：①在△ABC和△ADC中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ABC≌△ADC（SSS），‎ ‎∴∠ABC=∠ADC，‎ 故①结论正确；‎ ‎③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，‎ 而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；‎ 故③结论不正确；‎ ‎④∵AC⊥BD，‎ ‎∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．‎ 故④结论正确；‎ 所以正确的有：①④‎ 考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．‎ ‎16.（2017江苏徐州第13题）中，点分别是的中点，，则 ．‎ ‎【答案】14.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵D，E分别是△ABC的边AC和AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∵DE=7，‎ ‎∴BC=2DE=14．‎ 考点：三角形中位线定理．‎ ‎17. （2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1，‎ ‎∴AA1=OA=1，OA1=OB=；‎ ‎∵△OA1A2为等腰直角三角形，‎ ‎∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；‎ ‎∵△OA2A3为等腰直角三角形，‎ ‎∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；‎ ‎∵△OA3A4为等腰直角三角形，‎ ‎∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．‎ ‎∵△OA4A5为等腰直角三角形，‎ ‎∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，‎ ‎∵△OA5A6为等腰直角三角形，‎ ‎∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．‎ ‎∴OAn的长度为．‎ 考点：等腰直角三角形．‎ ‎18.（2017浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，‎ ‎，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）．‎ ‎【答案】，.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：作CH⊥BA4于H，‎ 由勾股定理得，BA4=，A4C=，‎ ‎△BA4C的面积=4-2-=，‎ ‎∴××CH=，‎ 解得，CH=，‎ 则A4H==，‎ ‎∴tan∠BA4C==，‎ ‎1=12-1+1，‎ ‎3=22-2+1，‎ ‎7=32-3+1，‎ ‎∴tan∠BAnC=.‎ 考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．‎ 三、解答题 ‎1.（2017浙江衢州第23题）问题背景 如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。‎ 类比研究 如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。‎ ‎（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；‎ ‎（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；‎ ‎（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系。‎ ‎【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．‎ 试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：‎ ‎∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，‎ ‎∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，‎ ‎∴∠ABD=∠BCE，‎ 在△ABD和△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABD≌△BCE（ASA）；‎ ‎（2）△DEF是正三角形；理由如下：‎ ‎∵△ABD≌△BCE≌△CAF，‎ ‎∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，‎ ‎∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，‎ ‎∴△DEF是正三角形；‎ ‎（3）作AG⊥BD于G，如图所示：‎ ‎∵△DEF是正三角形，‎ ‎∴∠ADG=60°，‎ 在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，‎ 在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，‎ ‎∴c2=a2+ab+b2．‎ ‎ ‎ 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.‎ ‎2.（2017山东德州第21题）‎ 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9秒.已知∠B=30°，∠C=45°‎ ‎（1）求B，C之间的距离；（保留根号）‎ ‎（2）如果此地限速为80km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由.（参考数据：,）‎ ‎【答案】（1）(10+10)m；（2）超速.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用∠B=30°，∠C=45°，AD=10，求出BD=10,DC=10,从而得出BC=10+10‎ ‎(2)利用,，求出BC27,再求出v=108千米/小时>80千米/小时，故超速。‎ 试题解析：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=10m ‎∵在RtΔACD中，∠C=45°‎ ‎∴RtΔACD是等腰直角三角形 ‎∴CD=AD=10m 在RtΔABD中，tanB=‎ ‎∵∠B=30°‎ ‎∴ ‎ ‎∴BD=10m ‎∴BC=BD+DC=(10+10)m ‎ ‎(2)这辆汽车超速.理由如下.‎ 由（1）知BC=（10+10）m，又 ‎ ‎∴BC=27m ‎∴汽车速度v==30（m/s）‎ 又30 m/s=108km/h，此地限速为80 km/h ‎∵108>80‎ ‎∴这辆汽车超速.‎ 考点：三角函数的应用 ‎3.（2017重庆A卷24题）在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．‎ ‎（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；‎ ‎（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．‎ ‎【答案】(1)；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM＝２，再由勾股定理可求出AC的长；‎ ‎（２）延长EF到点G，使得FG=EF，证ΔBMD≌ΔANC得AC=BD，再证ΔBFG≌ΔCFE得BG=CE，∠G=∠E,从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E.‎ 试题解析：（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，‎ ‎∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，‎ 则CM=BC﹣BM=5﹣2=2，‎ ‎∴AC=；‎ ‎（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．‎ 由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，‎ ‎∴△BMD≌△AMC（SAS），‎ ‎∴AC=BD，‎ 又CE=AC，‎ 因此BD=CE，‎ 由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，‎ ‎∴△BFG≌△CFE，‎ 故BG=CE，∠G=∠E，‎ 所以BD=BG=CE，‎ 因此∠BDG=∠G=∠E．‎ 考点:1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.‎ ‎4. （2017甘肃庆阳第21题）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．‎ ‎【答案】作图见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．‎ 试题解析：如图，△ABC的一条中位线EF如图所示，‎ 方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F．线段EF即为所求．‎ 考点：作图—复杂作图；三角形中位线定理．‎ ‎5. （2017甘肃庆阳第22题）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）‎ ‎【答案】观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．‎ 试题解析：过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，‎ 在Rt△DEB中，tan∠DBE=，‎ ‎∵∠DBC=65°，‎ ‎∴DE=xtan65°． ‎ 又∵∠DAC=45°，‎ ‎∴AE=DE．‎ ‎∴132+x=xtan65°，‎ ‎∴解得x≈115.8，‎ ‎∴DE≈248（米）． ‎ ‎∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．‎ 考点：解直角三角形的应用 ‎6.（2017湖北武汉第18题）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析：‎ ‎【解析】‎ 试题分析：通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论 试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB 证明：∵CE=BF，∴CF=BE 在ΔCDF和ΔBAE中 ‎ ‎ ‎∴ΔCDF≌ΔBAE ‎∴CD=BA，∠C=∠B ‎∴CD∥BA 考点：全等三角形的判定与性质.‎ ‎7. （2017湖南怀化第6题）如图，点在一条直线上，，．写出与之间的关系，并证明你的结论．‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析：‎ ‎【解析】‎ 试题分析：通过证明ΔCDF≌ΔABE，即可得出结论 试题解析：CD与AB之间的关系是：CD=AB，且CD∥AB 证明：∵CE=BF，∴CF=BE 在ΔCDF和ΔBAE中 ‎ ‎ ‎∴ΔCDF≌ΔBAE ‎∴CD=BA，∠C=∠B ‎∴CD∥BA 考点：全等三角形的判定与性质.‎ ‎8.（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：‎ ‎（1）作△ABC的外心O；‎ ‎（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．‎ ‎【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；‎ ‎（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．‎ 试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．‎ ‎（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．‎ 考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．‎ ‎9.（2017贵州黔东南州第22题）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）‎ ‎（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24）‎ ‎【答案】学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．‎ 试题解析：假设点D移到D′的位置时，恰好∠α=39°，过点D作DE⊥AC于点E，作D′E′⊥AC于点E′，‎ ‎∵CD=12米，∠DCE=60°，‎ ‎∴DE=CD•sin60°=12×=6米，CE=CD•cos60°=12×=6米．‎ ‎∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，‎ ‎∴四边形DEE′D′是矩形，‎ ‎∴DE=D′E′=6米．‎ ‎∵∠D′CE′=39°，‎ ‎∴CE′=≈12.8，‎ ‎∴EE′=CE′﹣CE=12.8﹣6=6.8（米）．‎ 答：学校至少要把坡顶D向后水平移动6.8米才能保证教学楼的安全．‎ 考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．‎ ‎10.（2017山东烟台第23题）【操作发现】‎ ‎（1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.‎ ‎①求的度数；‎ ‎②与相等吗？请说明理由；‎ ‎【类比探究】‎ ‎（2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：‎ ‎①的度数；‎ ‎②线段之间的数量关系.‎ ‎【答案】(1)①120°；②DE=EF；理由见解析；（2）①90°；②AE2+DB2=DE2．理由见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；‎ ‎②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；‎ ‎（2）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；‎ ‎②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论．‎ 试题解析：（1）①∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，‎ ‎∵∠DCF=60°，‎ ‎∴∠ACF=∠BCD，‎ 在△ACF和△BCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACF≌△BCD（SAS），‎ ‎∴∠CAF=∠B=60°，‎ ‎∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；‎ ‎②DE=EF；理由如下：‎ ‎∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，‎ ‎∴∠FCE=60°﹣30°=30°，‎ ‎∴∠DCE=∠FCE，‎ 在△DCE和△FCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCE≌△FCE（SAS），‎ ‎∴DE=EF；‎ ‎（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，‎ ‎∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，‎ ‎∵∠DCF=90°，‎ ‎∴∠ACF=∠BCD，‎ 在△ACF和△BCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACF≌△BCD（SAS），‎ ‎∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，‎ ‎∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；‎ ‎②AE2+DB2=DE2，理由如下：‎ ‎∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，‎ ‎∴∠FCE=90°﹣45°=45°，‎ ‎∴∠DCE=∠FCE，‎ 在△DCE和△FCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△DCE≌△FCE（SAS），‎ ‎∴DE=EF，‎ 在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，‎ 又∵AF=DB，‎ ‎∴AE2+DB2=DE2．‎ 考点：几何变换综合题．‎ ‎11.（2017四川泸州第18题）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ ‎12. （2017四川泸州第22题）如图，海中一渔船在A处且与小岛C相距70nmile，若该渔船由西向东航行30nmile到达B处，此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C之间的距离．‎ ‎【答案】渔船此时与C岛之间的距离为50海里．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x，解直角三角形即可得到结论．‎ 试题解析：过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：‎ ‎∠BCD=30°，设BC=x，则：‎ 在Rt△BCD中，BD=BC•sin30°=x，CD=BC•cos30°=x；‎ ‎∴AD=30+x，‎ ‎∵AD2+CD2=AC2，即：（30+x）2+（x）2=702，‎ 解之得：x=50（负值舍去），‎ 答：渔船此时与C岛之间的距离为50海里．‎ 考点：1.解直角三角形的应用-方向角问题；2.勾股定理的应用．‎ ‎13.(2017四川宜宾第18题) 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．‎ 试题解析：∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB=∠F，‎ 在△ABC和△DEF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（AAS）；‎ ‎∴BC=EF，‎ ‎∴BC﹣CE=EF﹣CE，‎ 即BE=CF．‎ 考点：全等三角形的判定与性质．‎ ‎14. (2017四川宜宾第21题)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边去两点B、C测得∠α=30°，∠β=45°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．‎ ‎【答案】河的宽度为50（+1）m．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：直接过点A作AD⊥BC于点D，利用tan30°=，进而得出答案．‎ 试题解析：过点A作AD⊥BC于点D，‎ ‎∵∠β=45°，∠ADC=90°，‎ ‎∴AD=DC，‎ 设AD=DC=xm，‎ 则tan30°=，‎ 解得：x=50（+1），‎ 答：河的宽度为50（+1）m．‎ 考点：解直角三角形的应用．‎ ‎15.（2017新疆建设兵团第19题）如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰角∠CBD为60°，求这两座建筑物的高度（结果保留根号）‎ ‎【答案】乙建筑物的高度为30m；甲建筑物的高度为（30﹣30）m．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：在Rt△BCD中可求得CD的长，即求得乙的高度，过A作F⊥CD于点F，在Rt△ADF中可求得DF，则可求得CF的长，即可求得甲的高度．‎ 试题解析：如图，过A作AF⊥CD于点F，‎ 在Rt△BCD中，∠DBC=60°，BC=30m，‎ ‎∵=tan∠DBC，‎ ‎∴CD=BC•tan60°=30m，‎ ‎∴乙建筑物的高度为30m；‎ 在Rt△AFD中，∠DAF=45°，‎ ‎∴DF=AF=BC=30m，‎ ‎∴AB=CF=CD﹣DF=（30﹣30）m，‎ ‎∴甲建筑物的高度为（30﹣30）m．‎ 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．‎ ‎16.（2017江苏徐州第25题）如图，已知，垂足为，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接.‎ ‎（1）线段 ；‎ ‎（2）求线段的长度.‎ ‎【答案】（1）4；（2）. ‎ ‎【解析】‎ ‎（2）作DE⊥BC于点E．‎ ‎∵△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠ACD=60°，‎ 又∵AC⊥BC，‎ ‎∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°，‎ ‎∴Rt△CDE中，DE=DC=2，‎ CE=DC•cos30°=4×，‎ ‎∴BE=BC-CE=3-2=．‎ ‎∴Rt△BDE中，BD=．‎ 考点：旋转的性质.‎ ‎17.（2017浙江嘉兴第22题）如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形）靠墙摆放，高，宽，小强身高，下半身，洗漱时下半身与地面成（），身体前倾成（），脚与洗漱台距离（点，，，在同一直线上）．‎ ‎（1）此时小强头部点与地面相距多少？‎ ‎（2）小强希望他的头部恰好在洗漱盆的中点的正上方，他应向前或后退多少？‎ ‎（，，，结果精确到）‎ ‎【答案】(1) 小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．(2) 他应向前10.5cm．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．求出MF、FN的值即可解决问题；‎ ‎（2）求出OH、PH的值即可判断；‎ 试题解析：（1）过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M．‎ ‎∵EF+FG=166，FG=100，‎ ‎∴EF=66，‎ ‎∵∠FK=80°，‎ ‎∴FN=100•sin80°≈98， ‎ ‎∵∠EFG=125°，‎ ‎∴∠EFM=180°-125°-10°=45°，‎ ‎∴FM=66•cos45°=33≈46.53，‎ ‎∴MN=FN+FM≈114.5，‎ ‎∴此时小强头部E点与地面DK相距约为144.5cm．‎ ‎（2）过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H．‎ ‎∵AB=48，O为AB中点，‎ ‎∴AO=BO=24，‎ ‎∵EM=66•sin45°≈46.53，‎ ‎∴PH≈46.53，‎ ‎∵GN=100•cos80°≈18，CG=15，‎ ‎∴OH=24+15+18=57，OP=OH-PH=57-46.53=10.47≈10.5，‎ ‎∴他应向前10.5cm．‎ 考点：解直角三角形的应用．‎