专题11 圆
一、选择题
1.（2017浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A.
【解析】
试题解析：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．
故选A．
考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.
2.（2017浙江宁波第9题）如图，在中，，，以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为( )
A. B. C. D.
【答案】B.
【解析】
试题解析：如图，连接OD，OE
∵AC，AB是圆O的切线
∴OE⊥AC，OD⊥AB
∵O是BC的中点
∴点E，点D分别是AC，AB的中点
∴OE=AB，OD= AC
∵OE=OD
∴AC=AB
∵BC=2
由勾股定理得AB=2
∴OE=1
的弧长==.
故选B.
考点：1.三角形的中位线；2.弧长的计算.
3.（2017重庆A卷第9题）如图，矩形ABCD的边AB=1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B.
∴图中阴影部分的面积=S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF
=1×2﹣×1×1﹣
=．
故选B．
考点：1.矩形的性质；2.扇形的面积计算.
4.（2017广西贵港第9题）如图，是上的四个点，是 的中点，是半径上任意一点，若 ，则的度数不可能是（ ）
A． B． C. D．
【答案】D
【解析】
试题解析：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
5.（2017贵州如故经9题）如图，⊙O的直径AB=4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC=5，则AD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题解析：连接BD．
∵AB是直径，∴∠ADB=90°．
∵OC∥AD，∴∠A=∠BOC，∴cos∠A=cos∠BOC．
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∴cos∠BOC=，
∴cos∠A=cos∠BOC=．
又∵cos∠A=，AB=4，
∴AD=．
故选B．
考点：解直角三角形；平行线的性质；圆周角定理．
6.（2017湖北武汉第9题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
试题解析：如图，AB=7，BC=5，AC=8
过A作AD⊥BC于D，
设BD=x，则CD＝5-x
由勾腰定理得：72-x2=82-（5-x）2
解得：x=1
∴AD=4
设ΔABC的内切圆的半径为r，则有：
（5r+7r+8r）= ×5×4
解得：r=
故选C.
考点：三角形的内切圆.
7.（2017江苏无锡第9题）如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（ ）
A．5 B．6 C．2 D．3
【答案】C.
【解析】
试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．
∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，
∴AB•DH=32O，
∴DH=16，
在Rt△ADH中，AH==12，
∴HB=AB﹣AH=8，
在Rt△BDH中，BD=，
设⊙O与AB相切于F，连接AF．
∵AD=AB，OA平分∠DAB，
∴AE⊥BD，
∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，
∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，
∴△AOF∽△DBH，
∴，
∴，
∴OF=2．
故选C．
考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．
8.（2017甘肃兰州第4题）如图，在中，，点在上，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
考点：圆周角定理．
9.（2017甘肃兰州第2题）如图，正方形内接于半径为2的，则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D．
【解析】
试题解析：连接AO，DO，
∵ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
AD=，
圆内接正方形的边长为2，所以阴影部分的面积=[4π﹣（2）2]=（π﹣2）cm2．
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.扇形面积的计算．
10.（2017贵州黔东南州第5题）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（ ）
A．2 B．﹣1 C． D．4
【答案】A．
【解析】
试题解析：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE，∠CEO=90°，
∵∠A=15°，
∴∠COE=30°，
∵OC=2，
∴CE=OC=1，
∴CD=2OE=2，
故选A．
考点：圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
11. （2017贵州黔东南州第8题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．75° D．54°
【答案】A．
【解析】
试题解析：如图，连接DF、BF．
∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
考点：正方形的性质．
12.（2017山东烟台第9题）如图，□中，，，以为直径的⊙交于点，则弧的长为（ ）
A． B． C. D．
【答案】B．
∴的长=.
故选：B．
考点：弧长的计算；平行四边形的性质；圆周角定理．
13.（2017四川泸州第6题）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A. B.2 C．6 D．8
【答案】B．
考点：1.垂径定理；2.勾股定理．
14.（2017四川自贡第10题）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P=40°，则∠B等于（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】B.
【解析】
试题解析：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB=90°，
∵∠P=40°，
∴∠POA=90°﹣40°=50°，
∵OC=OB，
∴∠B=∠BCO=25°，
故选B．
考点：切线的性质.
15.（2017新疆建设兵团第9题）如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（ ）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】A.
【解析】
考点：圆周角定理；垂径定理．
16.（2017江苏徐州第6题）如图，点，在⊙上，，则（ ）
A． B． C. D．
【答案】D．
【解析】
试题解析：根据圆周角定理可知，
∠AOB=2∠ACB=72°，
即∠ACB=36°，
故选D．
考点：圆周角定理．
二、填空题
1.（2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________
【答案】．
【解析】
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ=．
考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.
2.（2017山东德州第17题）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示.圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（为上切点），与左右两边相交(为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域.已知圆的半径为，根据设计要求，若 ，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面枳的比值）为 ．
【答案】
【解析】
试题解析：如图，过F作FG⊥OF，连接OG,OM,ON
△OFH是等腰直角三角形，
∴FH=OFsin45°=，AB=，BC=2OF=2
∴矩形ABCD面积=
∴S空白=2S扇形FOM+2SΔAOG
=
=
∴窗户的透光率=
考点：扇形的面积及概率
3.（2017重庆A卷第15题）如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB=64°，则∠ACB= ．
【答案】32°．
【解析】
试题解析：∵AO=OC，
∴∠ACB=∠OAC，
∵∠AOB=64°，
∴∠ACB+∠OAC=64°，
∴∠ACB=64°÷2=32°．
考点：圆周角定理.
4.（2017甘肃庆阳第14题）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
【答案】58°．
【解析】
试题解析：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OAB=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°．
考点：圆周角定理．
5. （2017甘肃庆阳第17题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于 ．（结果保留π）
【答案】.
【解析】
考点：弧长的计算；含30度角的直角三角形．
6.（2017广西贵港第17题）如图，在扇形中，是的中点， 与交于点，以为圆心，的长为半径作交于点，若，则图中阴影部分的
面积为 ．（结果保留）
【答案】．
【解析】
试题解析：连接OD、AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S扇形AOD=，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）
=
=
=．
考点：扇形面积的计算；线段垂直平分线的性质．
7.（2017湖南怀化第14题）如图，的半径为2，点，在上，，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π﹣2．
考点：扇形面积的计算．
8. （2017湖南怀化第16题）如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则，(，两点不重合)两点间的最短距离为 cm.
【答案】10﹣10（cm）.
【解析】
试题解析：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
∴∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）.
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．
9.（2017江苏无锡第17题）如图，已知矩形ABCD中，AB=3，AD=2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆O1和半圆O2，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF=2（EF与AB在圆心O1和O2的同侧），则由，EF，，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于 ．
【答案】﹣．
【解析】
试题解析：连接O1O2，O1E，O2F，则四边形O1O2FE是等腰梯形，过E作EG⊥O1O2，过F⊥O1O2，
∴四边形EGHF是矩形，
∴GH=EF=2，
∴O1G=，
∵O1E=1，
∴GE=，
∴；
∴∠O1EG=30°，
∴∠AO1E=30°，
同理∠BO2F=30°，
∴阴影部分的面积=S矩形ABO2O1﹣2S扇形AO1E﹣S梯形EFO2O1=3×1﹣2×=（2+3）×=3﹣﹣．
考点：1.扇形面积的计算；2.矩形的性质．
10.（2017江苏盐城第14题）如图，将⊙O沿弦AB折叠，点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，则∠ADB= °．
【答案】110°
【解析】
试题解析：∵点C在上，点D在上，若∠ACB=70°，
∴∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=110°
考点：圆周角定理.
11.（2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形.已知，取的中点，过点作交弧于点，点是弧上一点，若将扇形沿翻折，点恰好与点重合.用剪刀沿着线段依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .
【答案】36π﹣108
【解析】
试题解析：如图，∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，
则DE=OD=3，
∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，
则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108
考点：扇形面积的计算
12.（2017四川宜宾第15题）如图，⊙O的内接正五边形ABCDE的对角线AD与BE相交于点G，AE=2，则EG的长是 ．
【答案】﹣1
【解析】
考点：正多边形和圆．
13.（2017四川宜宾第17题）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD= ．
【答案】4.
【解析】
试题解析：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，
∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠CBD，
∴，
∴，
∴AD=CB，
∵∠BCD=90°，
∴BC=CD•tan60°=•=4，
∴AD=BC=4．
考点：1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质；3.含30°角的直角三角形.
14.（2017江苏徐州第15题）正六边形的每个内角等于 ．
【答案】120°.
【解析】
试题解析：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为：=120°.
考点：多边形的内角与外角.
15. （2017江苏徐州第16题）如图，与⊙相切于点，线段与弦垂直，垂足为，则 ．
【答案】60°．
【解析】
考点：切线的性质.
16.（2017浙江嘉兴第13题）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．
【答案】（32+48π）cm2
【解析】
试题解析：连接OA、OB，
∵=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB=×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）==48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2
考点：1.垂径定理的应用；2.扇形面积的计算．
三、解答题
1.（2017浙江衢州第19题）如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D。连结OD，作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F。已知CE=12，BE=9
（1）求证：△COD∽△CBE；
（2）求半圆O的半径的长
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：
试题解析： （1）∵CD切半圆O于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵BE⊥CD，
∴∠E=90°=∠CDO，
又∵∠C=∠C，
∴△COD∽△CBE．
（2）在Rt△BEC中，CE=12，BE=9，
∴BC==15，
∵△COD∽△CBE．
∴，即，
解得：r=．
考点：1. 切线的性质；2.相似三角形的判定与性质.
2.（2017山东德州第20题）如图，已知RtΔABC,∠C=90°，D为BC的中点.以AC为直径的圆O交AB于点E.
（1）求证：DE是圆O的切线.
(2)若AE:EB=1:2,BC=6，求AE的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】：
试题分析：利用思路：知（连）半径，证垂直，证明DE是圆O的切线；利用射影定理或相似三角形证明：BE2=BE×BA,再列方程，求AE的长.
试题解析：(1)如图所示，连接OE，CE
∵AC是圆O的直径
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D是BC的中点
∴ED＝BC＝DC
∴∠1=∠2
∵OE=OC
∴∠3=∠4
∴∠1+∠3=∠2+∠4,即∠OED=∠ACD
∵∠ACD=90°
∴∠OED=90°,即OE⊥DE
又∵E是圆O上的一点
∴DE是圆O的切线.
考点：圆切线判定定理及相似三角形
3.（2017甘肃庆阳第27题）如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；
（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可
试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB=，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
考点：切线的判定；坐标与图形性质．
4.（2017广西贵港第24题）如图，在菱形中，点在对角线上，且，是的外接圆.
（1）求证：是的切线；
（2）若求的半径.
【答案】(1)证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
试题解析：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=，
∴AF=4，tan∠DAC==，
∴DF=2，
∴AD==2，
∴AE=，
在Rt△PAE中，tan∠1==，
∴PE=，
设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA2=OE2+AE2，
∴R2=（R﹣）2+（）2，
∴R=，
即⊙O的半径为．
考点：切线的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形．
5.（2017贵州安顺第25题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BE与⊙O相切；
（2）设OE交⊙O于点F，若DF=1，BC=2 ，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析；（2）4﹣π．
【解析】
试题分析：（1）连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，则OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，利用勾股定理得到（r﹣1）2+（）2=r2
，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，则∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，
然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．
试题解析：（1）证明：连接OC，如图，
∵CE为切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∵OD⊥BC，
∴CD=BD，
即OD垂中平分BC，
∴EC=EB，
在△OCE和△OBE中
，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴OB⊥BE，
∴BE与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD=r﹣1，
在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，
∴（r﹣1）2+（）2=r2，解得r=2，
∵tan∠BOD==，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOC=2∠BOD=120°，
在Rt△OBE中，BE=OB=2，
∴阴影部分的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC
=2S△OBE﹣S扇形BOC
=2××2×2﹣
=4﹣π．
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
6.（2017湖北武汉第21题）如图，内接于，的延长线交于点．
（1）求证平分；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；.
【解析】
试题分析：（1）连接OB，证明ΔAOB≌ΔAOC即可得出结论；
（2）过点C作CE⊥AB于E，由sin∠BAC=，设AC=5m，CE=3则可表示出AE=4m，BE=m，在RtΔ
CBE中，由勾股定理可求出m的值，即可得出AC的值；延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，过点O作OF⊥AH，可求OF的值，由OF∥BC可得结论.
（2）过点C作CE⊥AB于E
∵sin∠BAC=,设AC=5m，则CE=3m
∴AE=4m，BE=m
在RtΔCBE中，m2+(3m)2=36
∴m=，
∴AC=
延长AO交BC于点H，则AH⊥BC，且BH=CH=3，
过点O作OF⊥AH交AB于点F，
∵∠HOC=∠BAC
∴OH=4，OC=5
∴AH=9
∴tan∠BAH=
∴OF=AO=
∵OF∥BC
∴，即
∴DC=.
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.解直角三角形；3.平行线分线段成比例.
7.（2017湖南怀化第23题）如图，已知是的直径，点为延长线上的一点，点为圆上一点，且，.
(1)求证：；
(2)求证：是的切线.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
试题解析：（1）∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD；
（2）连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
考点：相似三角形的判定与性质；切线的判定．
8.（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；
（2）过D点作DI∥BC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EF∥AC交BC于F，过H点作HG∥AB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形．
试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
9.（2017江苏无锡第27题）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A，B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与⊙O分别交于C，D两点（点C在点D的上方），直线AC，DB交于点E．若AC：CE=1：2．
（1）求点P的坐标；
（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式．
【答案】(1) P（1，0）．(2) y=x2﹣x﹣．
【解析】
试题分析：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．首先证明△ACP∽△ECH，推出，推出CH=2n，EH=2m=6，再证明△DPB∽△
DHE，推出，可得，求出m即可解决问题；
（2）由题意设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），求出E点坐标代入即可解决问题.
试题解析：（1）如图，作EF⊥y轴于F，DC的延长线交EF于H．设H（m，n），则P（m，0），PA=m+3，PB=3﹣m．
∵EH∥AP，
∴△ACP∽△ECH，
∴，
∴CH=2n，EH=2m=6，
∵CD⊥AB，
∴PC=PD=n，
∵PB∥HE，
∴△DPB∽△DHE，
∴，
∴，
∴m=1，
∴P（1，0）．
（2）由（1）可知，PA=4，HE=8，EF=9，
连接OP，在Rt△OCP中，PC=，
∴CH=2PC=4，PH=6，
∴E（9，6），
∵抛物线的对称轴为CD，
∴（﹣3，0）和（5，0）在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣5），把E（9，6）代入得到a=，
∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x﹣5），即y=x2﹣x﹣．
考点：圆的综合题．
10.（2017江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）15+．
【解析】
试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG（HL），
∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD=，
∴OO1=9-2-2=7-2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1D=OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O1OO2=90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴，即，
∴C△OO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
考点：切线的性质；作图—复杂作图．
11.（2017江苏盐城第25题）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D，AE平分∠BAC交边BC于点E，经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相交于另一点G．
（1）求证：BC是⊙F的切线；
（2）若点A、D的坐标分别为A（0，-1），D（2，0），求⊙F的半径；
（3）试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙F的半径为；（3）AG=AD+2CD．证明见解析.
试题解析：（1）连接EF，
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE，
∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
∴∠FEA=∠EAC，
∴FE∥AC，
∴∠FEB=∠C=90°，即BC是⊙F的切线；
（2）连接FD，
设⊙F的半径为r，
则r2=（r-1）2+22，
解得，r=，即⊙F的半径为；
（3）AG=AD+2CD．
证明：作FR⊥AD于R，
则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，
∴四边形RCEF是矩形，
∴EF=RC=RD+CD，
∵FR⊥AD，
∴AR=RD，
∴EF=RD+CD=AD+CD，
∴AG=2FE=AD+2CD．
考点：圆的综合题．
12.（2017甘肃兰州第22题）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点
求作：直线的垂线，使它经过点.
做法：如图：(1)在直线上任取两点、；
(2)分别以点、为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
(3)作直线.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)已知：直线和外一点，
求作：，使它与直线相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．
试题解析：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
（2）如图．
考点：作图—复杂作图；切线的判定．
13.（2017甘肃兰州第27题）如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接，，使得，.
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2) ．
【解析】
试题分析: （1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
（2）连接BF，
∴∠FAC=∠AOD，
∴△ACE∽△DCA，
∴，
∴，
∴AC=AE=，
∵∠CAE=∠CBF，
∴△ACE∽△BFE，
∴，
∴，
∴EF=．
考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
14.（2017贵州黔东南州第21题）如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA•PB；
（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析。（2）.
【解析】
试题分析：（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得，由此即可解决问题；
（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；
试题解析：（1）证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴，
∴PT2=PA•PB．
（2）∵TP=TB=，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB=
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT=.
考点：相似三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算．
15.（2017贵州黔东南州第24题）如图，菱形中，对角线相交于点，，动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，同时动点从点出发，沿线段以的速度向点运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止.设运动时间为，以点为圆心，为半径的⊙与射线，线段分别交于点，连接.
（1）求的长（用含有的代数式表示），并求出的取值范围；
（2）当为何值时，线段与⊙相切？
（3）若⊙与线段只有一个公共点，求的取值范围.
【答案】（1）BF=t（0＜t≤8）．（2）t=s时，线段EN与⊙M相切．（3）当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
【解析】
试题分析：（1）连接MF．只要证明MF∥AD，可得，即，解方程即可；
（2）当线段EN与⊙M相切时，易知△BEN∽△BOA，可得，即，解方程即可；
（3）①由题意可知：当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．②当F与N重合时，则有
t+2t=16，解得t=，观察图象即可解决问题
试题解析：（1）连接MF．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8，
在Rt△AOB中，AB==10，
∵MB=MF，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=∠MFB，
∴MF∥AD，
∴，
∴，
∴BF=t（0＜t≤8）．
（3）①由题意可知：当0＜t≤时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
②当F与N重合时，则有t+2t=16，解得t=，
关系图象可知，＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
综上所述，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙M与线段EN只有一个公共点．
考点：圆的综合题．
16.（2017四川泸州第24题）如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）2.
【解析】
试题分析：（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）过点作EM⊥OC于M，易知，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
试题解析：（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC==8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD2=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=CF=3，
∴OA==3，
∵OC2=OE•OA，
∴OE=，
∵EM∥AC，
∴，
∴OM=，EM=，FM=OF+OM=，
∴，
∴CG=EM=2．
考点：切线的性质．
17.（2017四川宜宾第23题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3，求弦AD的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）AD=．
【解析】
试题解析：（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴，
∴CD2=CB•CA，
∴（3）2=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA﹣BC=3，,设BD=K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k2+4k2=5，
∴k=，
∴AD=．
考点：切线的判定与性质．
18.（2017新疆建设兵团第22题）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．
试题解析：（1）如图所示，连接BO，
∵∠ACB=30°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵DE⊥AC，CB=BD，
∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，
∴∠BEC=∠BCE=30°，
∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，
∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，
∴BE是⊙O的切线；
（2）当BE=3时，BC=3，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
又∵∠ACB=30°，
∴AB=tan30°×BC=，
∴AC=2AB=2，AO=，
∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=．
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
19.（2017浙江嘉兴第19题）如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
试题解析：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
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