专题12 探索性问题
一、选择题
1.（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C.
考点：基本作图.
2. （2017浙江衢州第10题）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8。则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题解析：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．
∵CG是圆的直径，
∴∠CDG=90°，则DG==8，
又∵EF=8，
∴DG=EF，
∴，
∴S扇形ODG=S扇形OEF，
∵AB∥CD∥EF，
∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，
∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．
故选A．
考点：1.圆周角定理；2.扇形面积的计算.
3.（2017山东德州第9题）公式表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度. 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（ ）
A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P
【答案】A
【解析】
试题分析：A和B中，L0=10，表示弹簧短；A和C中，K=0.5，表示弹簧硬；
故选A
考点:一次函数的应用
4. （2017山东德州第12题）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形（如题1）；对剩下的三角形再分别重复以上做法，……，将这种做法继续下去（如图2，图3……），则图6中挖去三角形的个数为（ ）
A．121 B．362 C．364 D．729
【答案】C
考点:探索规律
5.（2017浙江宁波第12题）一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据题意可知，最少知道3个小矩形的周长即可求得大矩形的面积.
考点：矩形的性质.
6.（2017重庆A卷第10题）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中菱形的个数为（ ）
A．73 B．81 C．91 D．109
【答案】C．
【解析】
试题解析：第①个图形中一共有3个菱形，3=12+2；
第②个图形中共有7个菱形，7=22+3；
第③个图形中共有13个菱形，13=32+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+1；
第⑨个图形中菱形的个数92+9+1=91．
故选C．
考点：图形的变化规律.
7.（2017广西贵港第11题）如图，在中， ，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
试题解析：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
考点：旋转的性质．
8.（2017湖北武汉第10题）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
【答案】C
【解析】
试题解析：①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
考点：画等腰三角形.
9.（2017贵州黔东南州第10题）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．
根据“杨辉三角”请计算（a+b）20的展开式中第三项的系数为（ ）
A．2017 B．2016 C．191 D．190
【答案】D．
【解析】
试题解析：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）20第三项系数为1+2+3+…+20=190，
故选 D．
考点：完全平方公式．
10.（2017四川泸州第12题）已知抛物线y=x2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（，3），P是抛物线y=x2+1上一个动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
【解析】
试题解析：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，
∵F（0，2）、M（ ，3），
∴ME=3，FM==2，
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．
故选C．
考点：1.二次函数的性质；2.三角形三边关系．
11.（2017四川自贡第11题）填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为（ ）
A．180 B．182 C．184 D．186
【答案】C.
【解析】
试题解析：由前面数字关系：1，3，5；3，5，7；5，7，9，
可得最后一个三个数分别为：11，13，15，
∵3×5﹣1=14，；
5×7﹣3=32；
7×9﹣5=58；
∴m=13×15﹣11=184．
故选C．
考点：数字规律.
二、填空题
1. （2017浙江衢州第14题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
【答案】a+6．
考点：图形的拼接.
2. （2017浙江衢州第15题）如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（-1，0），半径为1，点P为直线上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是__________
【答案】．
【解析】
试题解析：连接AP，PQ，
当AP最小时，PQ最小，
∴当AP⊥直线y=﹣x+3时，PQ最小，
∵A的坐标为（﹣1，0），y=﹣x+3可化为3x+4y﹣12=0，
∴AP==3，
∴PQ=．
考点：1.切线的性质；2.一次函数的性质.
3．（2017浙江衢州第16题）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________
【答案】（5，）；.
【解析】
试题解析：如图，作B3E⊥x轴于E，
易知OE=5，B3E=，
∴B3（5，），
观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：
，
∵2017÷3=672…1，
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为：
672•（．
考点：点的坐标.
4.（2017浙江宁波第15题）如图，用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
则第⑦个图案有 个黑色棋子．
【答案】19.
【解析】
试题分析：第一个图需棋子1个，1=1+3×0
第二个图需棋子4个，4=1+3×1
第三个图需棋子7个，7=1+3×2
第四个图需棋子10个，10=1+3×3
⋯
第七个图需棋子19个，19=1+3×6
考点：数与形结合的规律.
5. （2017浙江宁波第17题）已知的三个顶点为，，，将向右平移个单位后，某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则的值为 .
【答案】m=4或m=0.5．
【解析】
考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.坐标与图形变化-平移．
6.（2017甘肃庆阳第18题）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为 ，第2017个图形的周长为 ．
【答案】6053.
【解析】
试题解析：∵第1个图形的周长为2+3=5，
第2个图形的周长为2+3×2=8，
第3个图形的周长为2+3×3=11，
…
∴第2017个图形的周长为2+3×2017=6053
考点：图形的变化规律.
7.（2017贵州安顺第18题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 ．
【答案】2n+1﹣2．
考点：点的坐标．
8. （2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
【答案】6.
【解析】
试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=6．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6．
故所求最小值为6．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质
9.（2017湖南怀化第16题）如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则，(，两点不重合)两点间的最短距离为 cm.
【答案】10﹣10（cm）.
【解析】
试题解析：连接BD，在菱形ABCD中，
∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，
∴∠A=∠C=60°，
∴△ABD，△BCD都是等边三角形，
①
若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；
②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP最小，最小值为10﹣10；
③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为10﹣10（cm）.
考点：菱形的性质；等腰三角形的性质．
10.（2017甘肃兰州第20题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别是，，动点在直线上运动，以点为圆心，长为半径的随点运动，当与四边形的边相切时，点的坐标为 .
【答案】（0，0）或（，1）或（3﹣，）．
【解析】
试题解析：①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，
∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，
∴P（0，0）．
②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥
y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．
③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离线段，可得，
解得x=3+或3﹣，
∵x=3+＞OA，
∴P不会与OA相切，
∴x=3+不合题意，
∴p（3﹣，）．
④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，
∵OP⊥AB，
∴∠BGP=∠PBG=90°不成立，
∴此种情形，不存在P．
综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3﹣，）．
考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
11.（2017贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为 ．
【答案】（0，﹣）
【解析】
试题解析：由题意可得，
OB=OA•tan60°=1×=，
OB1=OB•tan60°=，
OB2=OB1•tan60°=（）3，
…
∵2017÷4=506…1，
∴点B2017的坐标为（0，﹣），
考点：点的坐标．
12.（2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．
【答案】．
【解析】
试题解析：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1，
∴AA1=OA=1，OA1=OB=；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．
∴OAn的长度为．
考点：等腰直角三角形．
13.（2017浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）．
【答案】，.
【解析】
试题解析：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=.
考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．
14.（2017浙江嘉兴第16题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是 ．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为 ．（结果保留根号）
【答案】12-12．12-18．
【解析】
试题解析：如图1中，作HM⊥BC于M，HN⊥AC于N，则四边形HMCN是正方形，设边长为a．
在Rt△ABC中，∵∠ABC=30°，BC=12，
∴AB=，
在Rt△BHM中，BH=2HM=2a，
在Rt△AHN中，AH=，
∴2a+，
∴a=6-6，
∴BH=2a=12-12．
如图2中，当DG∥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1=BK+KH1=3+3，
∴HH1=BH-BH1=9-15，
当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2=6，
观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长=2HH1+HH2=18-30+[6-（12-12）]=12-18．
考点：旋转的性质.
三、解答题
1. （2017浙江衢州第23题） 问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系。
【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理
2.（2017山东德州第24题）有这样一个问题：探究同一坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数与的图象性质.小明根据学习函数的经验，对函数与，当k>0时
的图象性质进行了探究，下面是小明的探究过程：
（1）如图所示，设函数与图像的交点为A,B.已知A的坐标为(-k，-1)，则B点的坐标为 .
(2)若P点为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点.
①设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N.求证：PM=PN.
证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则 解得
所以,直线PA的解析式为 ．
请把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明.
②当P点坐标为(1,k)(k≠1)时，判断ΔPAB的形状，并用k表示出ΔPAB的面积.
【答案】（1）（k，1）；（2）①证明见解析；②ΔPAB为直角三角形.或.
【解析】
试题分析：（1）利用反比例函数的对称性指：A点和B点关于原点对称，从而求出B(k，1)
(2)①解方程组，直线PA的解析式为
，求出M（m-k,0）;同理求出：N（m+k,0）,作PH⊥x轴，得H（m,0），∴MK=NK=k，最后利用线段垂直平分线线定理知PM=PN.
②分两种情况讨论：第一：当k＞1时，；
第二：当0＜k＜1时，.
试题解析：（1）B点的坐标为（k，1）
（2）①证明过程如下：设P(m，)，直线PA的解析式为y=ax+b(a≠0).
则 解得
所以,直线PA的解析式为．
令y=0，得x=m-k
∴M点的坐标为（m-k，0）
过点P作PH⊥x轴于H
∴点H的坐标为（m，0）
∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.
同理可得：HN=k
∴PM=PN
②由①知，在ΔPMN中，PM=PN
∴ΔPMN为等腰三角形，且MH=HN=k
当P点坐标为（1，k）时，PH=k
∴MH=HN=PH
∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°
∴∠MPN=90°，即∠APB=90°
∴ΔPAB为直角三角形.
当k>1时，如图1，
=
=
当0
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