第一章 解三角形
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
答案 B
解析 ∵最大边AC所对角为B，
又cos B＝＜0，∴B为钝角，△ABC为钝角三角形．
2．在△ABC中，sin A＝，a＝10，则边长c的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(0,10) D．(0，]
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C，∴00，
∴0°＜A＋B＜90°，∴90°＜C＜180°，C为钝角．
6．在△ABC中，已知a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A．2 B.
C．2或 D．以上都不对
答案 C
解析 ∵a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴5＝15＋c2－2×c×，
化简得c2－3c＋10＝0，即(c－2)(c－)＝0，
∴c＝2或c＝.
7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C．(－，0) D．(，＋∞)
答案 D
解析 由正弦定理，
得a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m>0)，
∵ 即
∴k>.
8．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为( )
A. B.
C. D．9
答案 B
9
解析 设另一条边为x，
则x2＝22＋32－2×2×3×，
∴x2＝9，∴x＝3.
设cos θ＝，θ为长度为2,3的两边的夹角，
则sin θ＝＝.
∴2R＝＝＝.
9．在△ABC中，sin A＝，则△ABC为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
答案 C
解析 由已知得cos B＋cos C＝，
由正弦、余弦定理，得＋＝，
即a2(b＋c)－(b＋c)(b2－bc＋c2)＝bc(b＋c)
⇒a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
10．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则( )
A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形
D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形
答案 D
解析 △A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，
则△A1B1C1是锐角三角形，
若△A2B2C2是锐角三角形，
由得
那么A2＋B2＋C2＝，矛盾，
若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2＝，
则cos A1＝sin A2＝1，A1＝0，矛盾．
9
所以△A2B2C2是钝角三角形．
11．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意知，
sin A＝－cos B·cos C＝sin(B＋C)
＝sin B·cos C＋cos B·sin C，
在等式－cos B·cos C＝sin B·cos C＋cos B·sin C两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－，
又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，
即tan＝1，又0＜A＜π，
所以角A＝.
12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设BC＝a，则BM＝MC＝.
在△ABM中，
AB2＝BM2＋AM2－2BM×AM×cos∠AMB，
即72＝a2＋42－2××4×cos∠AMB， ①
在△ACM中，
AC2＝AM2＋CM2－2AM×CM×cos∠AMC，
即62＝42＋a2＋2×4××cos∠AMB， ②
①＋②得72＋62＝42＋42＋a2，
所以a＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________.
答案
9
解析 由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，
得c2＝a2＋b2－ab.根据余弦定理，得
cos C＝＝＝，
所以cos C＝.
14．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.
答案
解析 由已知条件和正弦定理，得3a＝5b且b＋c＝2a，
则a＝，c＝2a－b＝，cos C＝＝－，
又0
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