博爱一中2015级高三年级收心考试
理科数学试卷
一、选择题（本大题包括12个小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）．
（1）已知集合，则集合中元素的个数为
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数的实部和虚部相等，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知是上的奇函数，则“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（4）在等比数列中，已知，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
（5）若,则直线必不经过（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（6）《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题，执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（7）一个空间几何体的三视图如图所示，则几何体的体积为（ ）
(A)2 (B) (C)3 (D)
（8）在区间[0，]上随机地取一个数x，则事件“sinx≤”发生的概率为( )
(A) (B) (C) (D)
（9）设是平面上的两个单位向量，.若则的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10）已知实数满足不等式组若直线把不等式组表示的平面区域分成上、下两部分的面积比为，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
（11）已知双曲线的左、右焦点分别为，且焦点与椭圆的焦点相同，离心率为，若双曲线的左支上有一点到右焦点的距离为为的中点，为坐标原点，则等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题（本大题包括4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）．
13．在的展开式中，的系数为____________.(用数字作答)。
14．如图，在△ABC中，，AB=2，点D在线段AC上，且
AD=2DC，BD=，则________.
15．已知四面体的每个顶点都在球的表面上，，，底面ABC，为△的重心，且直线与底面所成角的正切值为，则球的表面积为__________．
16．如图，在直角梯形ABCD中，，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆内运动，设，则的取值范围是________．
三、解答题（本大题包括6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
（17）（本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，，求．
A
B
C
D
E
F
（18）（本小题满分12分）如图多面体ABCD中,面ABCD为正方形,棱长AB=2,AE=3,,二面角E—AD—C的余弦值为，且EF//BD。
（Ⅰ）证明：面ABCD面EDC；
（Ⅱ）若直线AF与平面ABCD所成角的正弦值为，
求二面角AF—E—DC的余弦值。
（19）（本小题满分12分）
习大大构建的“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与。博爱县顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场。为了了解游客的情况，以便制定相应的策略。在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：
甲
乙
9
3
78
6
8
2
x
6
5
10
11
12
13
14
9
y
4
3
1
5
5
5
8
6
（Ⅰ）若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124，求x,y的值；
（Ⅱ）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据。今从这段时期中任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ,求概率P（ξ≤2）；
（Ⅲ）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望。
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，定点，点在线段的中垂线上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于两点，直线的倾斜角分别为且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．
（21）（本小题满分12分）
已知函数，.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(Ⅱ)设有两个极值点，且，求证：.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的参数方程；
（Ⅱ）若曲线与x轴的正半轴及y轴的正半轴分别交于点A,B,在曲线C上任取一点P，且点P在第一象限,求四边形OAPB面积的最大值．
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数．（Ⅰ）若,求实数a的取值范围；
（Ⅱ）对任意,恒成立,求实数的值．
博爱一中2015级高三年级收心考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
B
B
C
B
D
D
A
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13． 240
14.【解析】由条件得cos∠ABC=，sin∠ABC=.
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则9b2=a2+4-a. ①
因为∠ADB与∠CDB互补，所以cos∠ADB=-cos∠CDB，所以=-，
所以3b2-a2=-6， ②
联合①②解得a=3，b=1，所以AC=3，BC=3.
在△ABC中，cosC===.
15．【解析】试题分析：在等腰中，，，取的中点，连接，重心为的三等分点，，，由于底面，直线与底面所成角的正切值为，所以，，在等腰中，，，所以的外接圆直径，，设的外接圆圆心为，四面体的球心为
，在中，，球的表面积为，故答案为.
16．解析：以A为坐标原点，以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则＝(x，y)＝α(0,1)＋β(3,0)＝(3β，α)，故有3β＝x，y＝α，因此z＝β＋α＝＋y，又由题意圆C的圆心坐标为(1,1)，且直线BD的方程为x＋3y－3＝0，则圆心到直线的距离即为半径R＝，因此圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝，当直线z＝＋y与圆相切时，可得z＝1或z＝，又因点P在圆的内部，故z＝β＋α＝＋y的取值范围是.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得，于是或（舍去）.
因为， 所以. ……6分
（Ⅱ）由题意及余弦定理可知，①由得，即②， ……8分
联立①②解得.所以. ……12分
（18）证明解：（1）∵AB=2,AE=3, ∴
又ABCD为正方形，，
从而AD⊥平面EDC，
于是面ABCD面EDC。………4分
（2）由（1）知AD⊥DE，AD⊥DC，
∴∠ EDC是二面角E—AD—C的平面角。
作EO⊥DC交DC于O，则，
且EO⊥面ABCD。取AB中点M，则OM⊥DC。………6分
以O为坐标原点，方向为轴正方向建立直角坐标系O—。
于是，E（0，0，2），D（0，—1，0），B（2，1，0），A（2，—1，0）；
得，，；
，又面ABCD的一个法向量为，设直线AF与平面ABCD所成角为，则
得（舍去）或，………9分
，
设面AEF的法向量为，则
取；又面EDC的一个法向量为
………11分
又二面角AF—E—DC为锐角,所以其余弦值为………12分
（19）解析：（1）X=3, y=4 ;
（2）由题意知：因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为，
任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生，
故随机变量ξ服从二项分布，则P（ξ≤2）=
（3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天。所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为。
由题意知：η的所有可能的取值为0,1,2。
则P（η=0）= P（η=1）=
P（η=2）=所以得分布列为：
η
0
1
2
P
Е（η）=0
20、解：⑴由椭圆C的离心率得，其中，
椭圆C的左、右焦点分别为又点在线段的中垂线上
∴，∴解得c＝1，a2＝2，b2＝1，
∴椭圆的方程为 ．
⑵由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y＝kx＋m
由消去y，得（）＋4kmx＋＝0．
设M（），N（），则，
且，
由已知α＋β＝π，得，即
化简，得
∴。整理得m＝－2k．
∴直线MN的方程为y＝k（x－2）因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）
21、解：（1）
由题意，解得
············4分
（2）由题意，为的两根，，···6分
又
·········8分
设
则
，故在递增，又
时，，
，当时，递减，当时，递增
综上， ·········12分
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解析：（Ⅰ）得，由，可得，即. …… 5分
（Ⅱ）由已知可得，设.
则，所以四边形 …… 10分
.当时，四边形的面积取最大值.
（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解析：（Ⅰ）当时，可转化为，该不等式恒成立；
当时，可转化为.
综上可得，实数的取值范围是 …… 5分
（Ⅱ）对任意恒成立，可得，即，①
又，即，② 由①②可知.验证时恒成立.
…… 10分
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