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2019届高三第二学期期初检测数学试题 2.14
一、填空题（每小题5分）
1. 若全集，集合，则集合 = ．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．
3.如果复数的实部和虚部相等，则等于 ．
4．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________．
5.如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为________．
6.函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为________．
7．甲乙丙丁4人入住宾馆中的4个房间，其中的房号101与102对门，103与104对门，若每人随机地拿了这4个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______．
8. 设正三棱锥A－BCD的底面边长和侧棱长均为4，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，BD的中点，则三棱锥E－FGH的体积为________．
9. 在平行四边形ABCD中，，则的是________ ．
10.定义在R上的函数满足且当 时 2x +,则= ________．
11.已知点A(1，1),B(1，3),圆C：上存在点P使得,则实数a的取值范围是 ________．
12.等差数列的首项，且存在唯一的k使得点在圆 上，则这样的等差数列共有 个。
13.已知函数的图像上存在点关于Y轴对称，则实数a的取值范围是 ________ ．
14.已知实数满足，则的最小值是 ________ ．
二、解答题
15．（14分）如图平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.
(1)求证： 平面；
⑵求证： 平面.
16.（14分）已知分别为的内角的对边,满足 (1)求b+c-2a的值；(2) 若函数在区间上单调递增,在区间上调递减.且,求角B的大小。
17.(14分)为了保护环境，2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算2019 年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨污水，可得到价值为100元的可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿。
(1)当x∈（200,500]时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？(2)每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
18.(16分)
(1)
(2)
19.（16分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成:
①;②存在实数,使 ( n为正整数)
(Ⅰ)在只有5项的有限数列、中,其中试判断数列、是否为集合W中的元素;
(Ⅱ)设是等差数列, 是其前n项和, ,证明数列,并写出的取值范围;
(Ⅲ)设数列,对于满足条件的M的最小值M0,都有 ().
求证:数列单调递增.
20.(16分)
理 科 附 加 题
21. B（10分）已知矩阵M
（１） 求矩阵M的逆矩阵；
（２） 求矩阵M的特征值及特征向量。
C（10分）在极坐标系中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
22. （10分）某物理老师准备从3道经典题和5道原创题中随机选择4道题组成一份物理竞赛试卷．
（1）求该试卷至少有1道经典题的概率；
（2）根据以往对试卷的评价分析，经典题评价指数一般为 （ 为常数），原创题评价指数一般为 ．试卷的评价指数为每道题的评价指数之和， 求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学期望．
23.（10分）已知抛物线的准线，直角梯形ABCD的顶点A,B在抛物线上，C,D在上， ,A在第一象限。
(Ⅰ)若，求AB中点的轨迹方程;
(Ⅱ)AB过焦点F， AB不垂直X轴，（1）CD的中点为E,问四边形AFCE是否为梯形?说明理由;（2）若AB=m，试求梯形ABCD的面积。
答 案 及 评 分 标 准
一填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1. 若全集，集合，则集合= ．
2．在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．2
3.如果复数的实部和虚部相等，则等于 4．如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据此样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6,10)内的频数为________． 64
5.如图是一个程序框图，运行这个程序，则输出的结果为
6..函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为
【答案】
7．甲乙丙丁4人入住宾馆中的4个房间，其中的房号101与102对门，103与104对门，若每人随机地拿了这4个房间中的一把钥匙，则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为_______．
8. 设正三棱锥A－BCD的底面边长和侧棱长均为4，点E，F，G，H分别为棱AB，BC，CD，BD的中点，则三棱锥E－FGH的体积为_______． ．
9. 在平行四边形ABCD中，，则的值是22
10.定义在R上的函数满足且当 时 2x +,则 2 20)= -1
11.已知点A(1，1),B(1，3),圆C: 上存在点P使得,则实数a的取值范围是 [6，10]
12.等差数列的首项，且存在唯一的k使得点在圆上，则这样的等差数列共有 个 21
13.已知函数的图像上存在点关于Y轴对称，则实数a的取值范围是 或
14.已知实数满足，则的最小值是 ________ ．
14解：由条件知x,y,z中恰有一个负数，两个正数，不妨设x0,z>0则
15．（本题满分14分）ks5u
15．如图平行四边形中，，正方形所在的平面和平面垂直，是的中点，是的交点.
（1）求证： 平面；
（2）求证： 平面.
15．证明：⑴是的交点，∴是中点，又是的中点，
∴中，， ------------------------3分
，∴，
又∵
∴平面 -----------------------7分
⑵平面平面，交线为，
∵，
∴平面， --------------------10分
∴，
又∵，
∴ ----------------------14分
16．（14分）已知为的内角的对边,满足， (Ⅰ)求b+c-2a的值
(Ⅱ) 若函数在区间上单调递增,在区间上单调递减.
且,求角B的大小
16解：(Ⅰ)由正弦定理得：
……5分
即
所以b+c-2a=0 ……7分
(Ⅱ)由题f(x)的单调性知:,解得:,
因为, ,所以 ……9分
由余弦定理知:
所以 因为,所以,
即:所以 ……12分
又,所以B= ……14分
17.(14分)为了保护环境，2018年起国家加大了对工厂废气污水的检查力度，并已经对废气污水处理的企业给予适当补偿，某医药企业引进污水处理设备，经测算2019 年月处理污水成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨污水，可得到价值为100元的可利用资源，若污水处理不获利，国家将给予补偿．
(1)当x∈（200,500]时，企业是否需要国家补贴，什么情况下企业需要申请国家补贴？
(2)每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
17.解：当时，设该污水处理项目获利为s
当时
……5分
时企业需要申请国家补贴 ……6分
(2)由题意，可知污水的每吨处理成本为：
＝
当x∈[120,200]时，＝x2－80x＋5 040＝(x－120)2＋240，
所以当x＝120时，取得最小值240. ……9分
当x∈（200,500]时，
当且仅当
，取得最小值……12分
因为，所以当每月的处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．……14分
18.(本小题满分16分)
(1)
(2)
18.
……2分
……10分
(方法二)
,……6分
……10分
……12分
……16分
……12分
……16分
19.（16分）设集合W由满足下列两个条件的数列构成:
①;②存在实数,使.( n为正整数)
(Ⅰ)在只有5项的有限数列、中,其中,试判断数列、是否为集合W中的元素;
(Ⅱ)设是等差数列, 是其前n项和, ,证明数列,并写出的取值范围;
(Ⅲ)设数列,对于满足条件的M的最小值M0,都有 ().
求证:数列单调递增
19.解:(Ⅰ)对于数列{},当n=1时, =,显然不满足集合W的条件①,故不是集合W中的元素 ……2分
对于数列{},当nÎ{1,2,3,4,5}时,不仅有 ,,,而且有,显然满足集合W的条件①②,故是集合W中的元素 ……4分
(Ⅱ)∵是等差数列,是其前n项和,,设其公差为d,
∴,∴d=-2 ∴,
∵,∴; ……7分
∵, ∴的最大值是,即.
∴,且M的取值范围是[20,+∞) …10分
(Ⅲ)证明:(反证)若数列非单调递增,则一定存在正整数k,使,易证对于任意的n³k,都有dn³dn+1,证明如下:
假设n=m(m³k)时,dm³dm+1
当n=m+1时,由得,
而
所以, 所以,对于任意的n³k,都有dn³dn+1.
显然在这项中一定存在一个最大值,不妨记为,
所以,从而.这与题设矛盾.
所以假设不成立,故命题得证 …16分
20．(16分)
20解：
……4分
……6分
……8分
……10分
……14分
……16分
理科附加题
21. B（10分）已知矩阵M
（１） 求矩阵M的逆矩阵；
（２） 求矩阵M的特征值及特征向量；
解：⑴det(A)=5
．……………………………………………………………………4分
⑵ 矩阵A的特征多项式为，
令，得矩阵的特征值为或，…………………………………………6分
当时 由二元一次方程得，令，则，
所以特征值对应的特征向量为．……………………………………8分
当时 由二元一次方程得，令，则，
所以特征值对应的特征向量为．……………………………………10分
C．（10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．
解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，
∴在中令，得。
∴圆的圆心坐标为（1，0）……3分
∵圆经过点，半径……7分
∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为……10分
22. （10分）某物理老师准备从 道经典题和 道原创题中随机选择 道题组成一份物理竞赛试卷．
（1）求该试卷至少有 道经典题的概率；
（2）根据以往对试卷的评价分析，经典题评价指数一般为 （ 为常数），原创题评价指数一般为 ．试卷的评价指数为每道题的评价指数之和， 求这份物理竞赛试卷评价指数的概率分布及数学期望．
解：（1） 设“至少 道经典题”为事件 ，……1分
则事件 的对立事件 为：“没有 道经典题”．
所以 ．……2分
答：该试卷至少 道经典题的概率为 ．……3分
（2） 设随机变量 表示选用经典题的条数，则 的所有可能值为 ，，，．为试卷的评价指数，依题意，，故 的所有可能值依次为 ，，，．……4分
则 ，
，
，
．……8分（每算对一个得1分）
从而 的概率分布为：
所以 的数学期望 ．……10分
23.（10分）已知抛物线的准线，直角梯形ABCD的顶点A.B在抛物线上，C.D在上， ,A在第一象限。
(Ⅰ)若，求AB中点的轨迹方程。
(Ⅱ)AB过焦点F， AB不垂直X轴，（1）CD的中点为E,问四边形AFCE是否为梯形？说明理由。（2）若AB=m，试求梯形ABCD的面积。
解 (Ⅰ)
AB中点的轨迹方程是……3分
(Ⅱ)（1）四边形AFCE是梯形，证明如下：
设AB
AB过F 可以证明得ab=-p2
……6分
（2）设
梯形ABCD面积为 ：
又
……10分
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