专题13 操作性问题
一、选择题
1.（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C.
考点：基本作图.
2. （2017湖北武汉第10题）如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）
A．4 B．5 C． 6 D．7
【答案】C
【解析】
试题解析：
①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④作AC的垂直平分线交AB于点H，△ACH就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形．
故选C.
考点：画等腰三角形.
3.（2017甘肃兰州第13题）如图，小明为了测量一凉亭的高度(顶端到水平地面的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶(米，三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为( )
A.米 B.米 C.米 D.10米
【答案】A.
【解析】
试题解析：由题意∠AGC=∠FGE，∵∠ACG=∠FEG=90°，
∴△ACG∽△FEG，
∴
∴
∴AC=8，
∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米．
故选A．
点：相似三角形的应用．
4.（2017浙江嘉兴第9题）一张矩形纸片，已知，，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
考点：矩形的性质.
二、填空题
1. （2017浙江衢州第14题）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．
【答案】a+6．
考点：图形的拼接.
2. （2017浙江衢州第16题）如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在轴上，B在第二象限。△ABO沿轴正方向作无滑动的翻滚，经第一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__________；翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为__________
【答案】（5，）；.
【解析】
试题解析：如图，作B3E⊥x轴于E，
易知OE=5，B3E=，
∴B3（5，），
观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为：
，
∵2017÷3=672…1，
∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为：
672•（．
考点：点的坐标.
3.（2017贵州黔东南州第16题）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO=30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2C垂直且交y轴于点B3；…按此规律继续下去，则点B2017的坐标为 ．
【答案】（0，﹣）
【解析】
试题解析：由题意可得，
OB=OA•tan60°=1×=，
OB1=OB•tan60°=，
OB2=OB1•tan60°=（）3，
…
∵2017÷4=506…1，
∴点B2017的坐标为（0，﹣），
考点：点的坐标．
4.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，
若输入后程序操作仅进行了一次就停止，则的取值范围是 .
【答案】x＜8．
【解析】
试题解析：依题意得：3x﹣6＜18，
解得x＜8．
考点：一元一次不等式的应用．
5. （2017山东烟台第18题）如图1，将一圆形纸片向右、向上两次对折后得到如图2所示的扇形.已知，取的中点，过点作交弧于点，点是弧上一点，若将扇形沿翻折，点恰好与点重合.用剪刀沿着线段依次剪下，则剪下的纸片（形状同阴影图形）面积之和为 .
【答案】36π﹣108
【解析】
试题解析：如图，∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，
则DE=OD=3，
∴S弓形BD=S扇形BOD﹣S△BOD=﹣×6×3=3π﹣9，
则剪下的纸片面积之和为12×（3π﹣9）=36π﹣108
考点：扇形面积的计算
6.（2017江苏徐州第18题）如图，已知，以为直角边作等腰直角三角形.再以为直角边作等腰直角三角形，如此下去，则线段的长度为 ．
【答案】．
【解析】
试题解析：∵△OBA1为等腰直角三角形，OB=1，
∴AA1=OA=1，OA1=OB=；
∵△OA1A2为等腰直角三角形，
∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2；
∵△OA2A3为等腰直角三角形，
∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2；
∵△OA3A4为等腰直角三角形，
∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=4．
∵△OA4A5为等腰直角三角形，
∴A4A5=OA4=4，OA5=OA4=4，
∵△OA5A6为等腰直角三角形，
∴A5A6=OA5=4，OA6=OA5=8．
∴OAn的长度为．
考点：等腰直角三角形．
7.（2017浙江嘉兴第15题）如图，把个边长为1的正方形拼接成一排，求得，，，计算 ，……按此规律，写出 （用含的代数式表示）．
【答案】，.
【解析】
试题解析：作CH⊥BA4于H，
由勾股定理得，BA4=，A4C=，
△BA4C的面积=4-2-=，
∴××CH=，
解得，CH=，
则A4H==，
∴tan∠BA4C==，
1=12-1+1，
3=22-2+1，
7=32-3+1，
∴tan∠BAnC=.
考点：1.解直角三角形；2.勾股定理；3.正方形的性质．
三、解答题
1.（2017浙江衢州第23题）问题背景
如图1，在正方形ABCD的内部，作∠DAE=∠ABF=∠BCG=∠CDH，根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形EFGH是正方形。
类比研究
如图2，在正△ABC的内部，作∠BAD=∠CBE=∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）。
（1）△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；
（2）△DEF是否为正三角形？请说明理由；
（3）进一步探究发现，△ABD的三边存在一定的等量关系，设，，，请探索，，满足的等量关系。
【答案】（1）全等；证明见解析；（2）是，理由见解析；（3）c2=a2+ab+b2．
【解析】
试题分析：（1）由正三角形的性质得∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°,AB=BC，证出∠ABD=∠BCE，由ASA证明△ABD≌△BCE即可；、
（2）由全等三角形的性质得出∠ADB=∠BEC=∠CFA,证出∠FDE=∠DEF=∠EFD,即可得出结论；
（3）作AG⊥BD于G，由正三角形的性质得出∠ADG＝60°，在RtΔADG中，DG=b,AG=b, 在RtΔABG中，由勾股定理即可得出结论.
试题解析： （1）△ABD≌△BCE≌△CAF；理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB=∠ABC=∠BCA=60°，AB=BC，
∵∠ABD=∠ABC﹣∠2，∠BCE=∠ACB﹣∠3，∠2=∠3，
∴∠ABD=∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA）；
（2）△DEF是正三角形；理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB=∠BEC=∠CFA，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD，
∴△DEF是正三角形；
（3）作AG⊥BD于G，如图所示：
∵△DEF是正三角形，
∴∠ADG=60°，
在Rt△ADG中，DG=b，AG=b，
在Rt△ABG中，c2=（a+b）2+（b）2，
∴c2=a2+ab+b2．
考点：1.全等三角形的判定与性质；2.勾股定理.
2.（2017浙江宁波第20题）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形(画出一个即可)；
(2)将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形即可.
试题解析：（1）如图所示：
或
（2）如图所示：
考点：1.轴对称图形；2.旋转.
3.（2017甘肃庆阳第21题）如图，已知△ABC，请用圆规和直尺作出△ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】作图见解析
考点：作图—复杂作图；三角形中位线定理．
4.（2017广西贵港第20题）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段和，点 在上（如图所示）.
（1）在边上作点，使 ；
（2）作的平分线；
（3）过点作的垂线.
【答案】作图见解析.
试题解析：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；
考点：作图—复杂作图．
5.（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
试题解析：（1）如图所示：点O即为所求．
（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
考点：1.作图—复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心．
6. （2017江苏无锡第25题）操作：“如图1，P是平面直角坐标系中一点（x轴上的点除外），过点P作PC⊥x轴于点C，点C绕点P逆时针旋转60°得到点Q．”我们将此由点P得到点Q的操作称为点的T变换．
（1）点P（a，b）经过T变换后得到的点Q的坐标为 ；若点M经过T变换后得到点N（6，﹣），则点M的坐标为 ．
（2）A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，经过T变换后得到点B．
①求经过点O，点B的直线的函数表达式；
②如图2，直线AB交y轴于点D，求△OAB的面积与△OAD的面积之比．
【答案】（1）Q（a+b，b）；M（9，﹣2）；(2)①y=x；②
【解析】
试题解析：（1）如图1，连接CQ，过Q作QD⊥PC于点D，
由旋转的性质可得PC=PQ，且∠CPQ=60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∵P（a，b），
∴OC=a，PC=b，
∴CD=PC=b，DQ=PQ=b，
∴Q（a+b，b）；
设M（x，y），则N点坐标为（x+y，y），
∵N（6，﹣），
∴，解得，
∴M（9，﹣2）；
（2）①∵A是函数y=x图象上异于原点O的任意一点，
∴可取A（2，），
∴2+×=，×=，
∴B（，），
设直线OB的函数表达式为y=kx，则k=，解得k=，
∴直线OB的函数表达式为y=x；
②设直线AB解析式为y=k′x+b，
把A、B坐标代入可得，解得，
∴直线AB解析式为y=﹣x+，
∴D（0，），且A（2，），B（，），
∴AB=，AD=，
∴．
考点：一次函数综合题．
7.（2017江苏盐城第24题）如图，△ABC是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部．
（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）
（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长．
【答案】（1）作图见解析；（2）15+．
【解析】
试题分析：（1）作∠ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；
（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，先求出△ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出∠OO1O2=60°=∠ABC、∠O1OO2=90°，从而知△OO1O2∽△CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案．
试题解析：（1）如图①所示，射线OC即为所求；
（2）如图，圆心O的运动路径长为C△OO1O2，
过点O1作O1D⊥BC、O1F⊥AC、O1G⊥AB，垂足分别为点D、F、G，
过点O作OE⊥BC，垂足为点E，连接O2B，
过点O2作O2H⊥AB，O2I⊥AC，垂足分别为点H、I，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°、∠A=30°，
∴AC=，AB=2BC=18，∠ABC=60°，
∴C△ABC=9+9+18=27+9，
∵O1D⊥BC、O1G⊥AB，
∴D、G为切点，
∴BD=BG，
在Rt△O1BD和Rt△O1BG中，
∵，
∴△O1BD≌△O1BG（HL），
∴∠O1BG=∠O1BD=30°，
在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，
∴BD=，
∴OO1=9-2-2=7-2，
∵O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，
∴O1D∥OE，且O1D=OE，
∴四边形OEDO1为平行四边形，
∵∠OED=90°，
∴四边形OEDO1为矩形，
同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，
又OE=OF，
∴四边形OECF为正方形，
∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，
∴∠GO1D=120°，
又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，
∴∠OO1O2=360°-90°-90°=60°=∠ABC，
同理，∠O1OO2=90°，
∴△OO1O2∽△CBA，
∴，即，
∴C△OO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+．
考点：切线的性质；作图—复杂作图．
8.（2017江苏盐城第26题）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【答案】【探索发现】;【拓展应用】;【灵活应用】720; 【实际应用】1944cm2．
【解析】
试题分析：【探索发现】：由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用】：由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现】结论解答即可；
【实际应用】：延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用】结论解答可得．
试题解析：【探索发现】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则
【拓展应用】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN最大值为，
【灵活应用】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵tanB=，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
考点：四边形综合题．
9.（2017甘肃兰州第22题）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：
已知：直线和外一点
求作：直线的垂线，使它经过点.
做法：如图：(1)在直线上任取两点、；
(2)分别以点、为圆心，，长为半径画弧，两弧相交于点；
(3)作直线.
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
(1)以上材料作图的依据是 .
(3)已知：直线和外一点，
求作：，使它与直线相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)
【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．
试题解析：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
（2）如图．
考点：作图—复杂作图；切线的判定．
10.（2017山东烟台第23题）【操作发现】
（1）如图1，为等边三角形，先将三角板中的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板斜边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.
①求的度数；
②与相等吗？请说明理由；
【类比探究】
（2）如图2，为等腰直角三角形，，先将三角板的角与重合，再将三角板绕点按顺时针方向旋转（旋转角大于且小于）.旋转后三角板的一直角边与交于点.在三角板另一直角边上取一点，使，线段上取点，使，连接，.请直接写出探究结果：
①的度数；
②线段之间的数量关系.
【答案】(1)①120°；②DE=EF；理由见解析；（2）①90°；②AE2+DB2=DE2．理由见解析.
【解析】
试题解析：（1）①∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°，
∵∠DCF=60°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°；
②DE=EF；理由如下：
∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，
∴∠FCE=60°﹣30°=30°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF；
（2）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°，
∵∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠BCD，
在△ACF和△BCD中，
，
∴△ACF≌△BCD（SAS），
∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；
②AE2+DB2=DE2，理由如下：
∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，
∴∠FCE=90°﹣45°=45°，
∴∠DCE=∠FCE，
在△DCE和△FCE中，
，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
又∵AF=DB，
∴AE2+DB2=DE2．
考点：几何变换综合题．
11.（2017四川自贡第18题）如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为1）中，用直尺作出这个大正方形．
【答案】作图见解析.
【解析】
试题解析：如图所示：所画正方形即为所求．
考点：作图—应用与设计.
12. （2017四川自贡第22题）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）
【答案】作图见解析．
【解析】
试题分析：根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在∠DCE的角平分线上，所以第一步作：∠ECD的平分线CF；
根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点.
试题解析：作法：①作∠ECD的平分线CF，
②作线段AB的中垂线MN，
③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．
考点：作图设计．
13.（2017江苏徐州第27题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.
（1）探求与的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若分别为上的动点.
①当的长度取得最小值时，求的长度；
②如图③，若点在线段上，，则的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）①；②.
【解析】
试题解析：（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=BD=，
∵∠PBN=30°，
∴，
∴PB=；
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt△D′BQ′中，
D′Q′=．
∴QN+NP+PD的最小值=
14.（2017浙江嘉兴同学19题）如图，已知，．
（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；
（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．
【解析】
试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；
（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．
试题解析：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，
∴∠DOE=140°，
∴∠EFD=70°．
考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
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