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第2章 对称图形——圆
[测试范围：2.4～2.5 时间：40分钟 分值：100分]
一、选择题(每题4分，共32分)
图3－G－1
1.如图3－G－1，已知点A，B，C在⊙O上．若∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为( )
A．40° B．50°
C．80° D．200°
2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是( )
A．r＜6 B．r＝6 C．r＞6 D．r≥6
3．如图3－G－2，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( )
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
图3－G－2
图3－G－3
4．如图3－G－3，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于( )
A．20° B．25° C．30° D．40°
5．如图3－G－4所示，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝140°，则∠BCD等于( )
A．140° B．110° C．70° D．20°
图3－G－4
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图3－G－5
6．如图3－G－5，正方形ABCD的四个顶点在⊙O上，P是劣弧AD上任意一点，则∠P等于( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
7．如图3－G－6，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M.若∠ABC＝55°，则∠ACD等于( )
A．20° B．35° C．40° D．55°
图3－G－6
图3－G－7
8．如图3－G－7，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD相切于点E.若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径为( )
A．1 B. C. D.
二、填空题(每题4分，共24分)
9．已知⊙O的半径为3 cm，圆心O到直线l的距离是4 cm，则直线l与⊙O的位置关系是________．
10．如图3－G－8，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠AOB的度数为________．
11．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝________°.
图3－G－8
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图3－G－9
12．如图3－G－9，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BAC＝70°，则∠OCB的度数为________．
13．如图3－G－10，P是⊙O外一点，PA，PB分别和⊙O相切于点A，B，C是上任意一点，过点C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E.若△PDE的周长为12，则PA的长为________．
图3－G－10
图3－G－11
14．如图3－G－11，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，CO交⊙O于点D.若BC＝8，CD＝4，则⊙O的半径是________．
三、解答题(共44分)
15．(10分)已知：如图3－G－12，AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.
(1)求证：AD＝CD；
(2)求∠BAC的度数．
图3－G－12
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16．(10分)如图3－G－13，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于点F，AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径R＝5，EF＝3，求DF的长．
图3－G－13
17．(12分)如图3－G－14，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE .
(1)求证：AE⊥CD；
(2)已知AE＝4 cm，CD＝6 cm，求⊙O的半径．
图3－G－14
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18．(12分)已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.
(1)如图3－G－15①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的度数；
(2)如图3－G－15②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的度数．
图3－G－15
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详解详析
1．B [解析] 在⊙O中，∠ABC＝∠AOC＝50°.故选B.
2． C
3．D 4.B
5．B [解析] ∵∠BOD＝140°，∴∠A＝∠BOD＝70°，∴∠C＝180°－∠A＝110°.故选B.
6.C [解析] 连接AC，则∠BAC＝∠P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝45°， ∴∠P ＝∠BAC＝45°.故选C.
7．A
8． D [解析] 如图，连接OE，OB，延长EO交AB于点F.
∵E是切点，
∴OE⊥CD，OE＝OB.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∴OF⊥AB.
设OB＝R，则OF＝2－R.
在Rt△OBF中，BF＝AB＝1，OB＝R，OF＝2－R，
∴R2＝(2－R)2＋12，
解得R＝.故选D.
9．相离 [解析] ∵圆心O到直线l的距离是4 cm，大于⊙O的半径3 cm，∴直线l与⊙O相离．
10．60° [解析] ∠AOB＝2∠C＝60°.
11．180
12. 20° [解析] ∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝70°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×70°＝140°.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝(180°－∠BOC)＝20°.
13. 6 [解析] 根据切线长定理，得AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝2PA＝12，∴PA＝6.
14． 6 [解析] ∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.
设⊙O的半径是R，则OC＝R＋4，OB＝R.
在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2＋BC2＝OC2，
即R2＋82＝(R＋4)2，解得R＝6.
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15．解：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∵∠ADB＝∠CDB，BD＝BD，∠ABD＝∠CBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD＝CD.
(2)∵△ABD≌△CBD，
∴AB＝CB.
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠C＝45°.
16．解：(1)证明：连接OA，OD，如图．
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠D＋∠DFO＝90°.
∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA.
∵∠CFA＝∠DFO，
∴∠CAF＝∠DFO.
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠D，
∴∠OAD＋∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．
(2)∵⊙O的半径R＝5，EF＝3，
∴OF＝2.
在Rt△ODF中，∵OD＝5，OF＝2，
∴DF＝＝.
17．解：(1)证明：如图，连接OA.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA＝∠EDA.
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD＝∠EDA，
∴OA∥CE.
又∵AE是⊙O的切线，
∴OA⊥AE.
又∵OA∥CD，
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∴AE⊥CD.
(2)如图，过点O作OF⊥CD，垂足为F.
∵∠OAE＝∠AED＝∠OFD＝90°，
∴四边形AOFE是矩形，
∴OF＝AE＝4 cm.
又∵OF⊥CD，
∴DF＝CD＝3 cm.
在Rt△ODF中，OD＝＝5 cm，
即⊙O的半径为5 cm.
18．解：(1)如图①，连接OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥l.
∵AD⊥l，∴OC∥AD，
∴∠OCA＝∠DAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
(2)如图②，连接BF.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.
∵四边形ABFE是⊙O的内接四边形，
∴∠AEF＋∠B＝180°.
又∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°，
∴∠B＝180°－108°＝72°，
∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.
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