专题六
第1讲 选修4-4坐标系与参数方程
选修部分
考向预测
高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
知识与技巧的梳理
1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．
几个特殊位置的直线的极坐标方程：
(1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；
(3)直线过M且平行于极轴：ρsinθ＝b．
3．圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程：
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；
(2)当圆心位于M(r，0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；
(3)当圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsinθ．
4．直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．
5．圆、椭圆的参数方程
(1)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(2)椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
热点题型
热点一 曲线的极坐标方程
【例1】(2019·呼和浩特期中)在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求与的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与的交于点，与交于、两点，求的面积．
解（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，
∴根据题意，曲线的普通方程为
∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，即，
（Ⅱ）∵曲线的极坐标方程为，
∴曲线的普通方程为，
联立与:，得，解得，
∴点的坐标，点到的距离.
设，将代入，得，
则，，
,
∴．
探究提高 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧．
【训练1】(2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ．
(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；
(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两点间的距离．
解 (1)由C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，
∴x－y－1＝0，表示一条直线．由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ．
∴x2＋y2＝2x，则(x－1)2＋y2＝1，
∴C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆．
(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－y－1＝0上，因此直线C1过圆C2的圆心．
∴两交点A，B的连线段是圆C2的直径，
因此两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2．
热点二 参数方程及其应用
【例2】(2019·湖北联考)在直角坐标系中，曲线（为参数），直线（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线与直线l的极坐标方程（极径用表示，极角用表示）；
（2）若直线与曲线相交，交点为、，直线与轴也相交，交点为，求的取值范围.
解（1）曲线，即，即，即或，
由于曲线过极点，∴曲线的极坐标方程为
直线，即，
即，即，
直线的极坐标方程为；
（2）由题得，
设为线段的中点，圆心到直线的距离为，
则它在时是减函数，
∴的取值范围．
探究提高 1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．
2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．
【训练2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值．
解 (1)直线l的参数方程为(t为参数)，
消去参数t，得x＋y－1＝0．
曲线C的参数方程为(θ为参数)，
利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．
令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ．
(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．
把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，
∴t1＋t2＝3，t1t2＝1．
由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．
限时训练
（45分钟）
经典常规题
1．(2018·全国I卷) 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
2．(2018·全国II卷) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
高频易错题
1．(2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2．
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
2．(2017·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4．
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积．
精准预测题
1．(2017·新乡三模)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0)．
(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；
(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．
2．(2019·厦门期末)在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线变为曲线.
以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求和的直角坐标方程；
（2）过点作的垂线交于两点，点在轴上方，求．
参考答案
经典常规题
1．【解题思路】(1)就根据，以及，将方程中的相关的量代换，求得直角坐标方程；
(2)结合方程的形式，可以断定曲线是圆心为，半径为的圆，是过点且关于轴对称的两条射线，通过分析图形的特征，得到什么情况下会出现三个公共点，结合直线与圆的位置关系，得到所满足的关系式，从而求得结果.
【答案】（1）由可得：，化为．
（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆，
由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．
记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．
当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．
经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点．
综上，所求的方程为．
2．【解题思路】(1)根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分与两种情况.(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
高频易错题
1．【解题思路】 (1)曲线C1利用消参，曲线C2利用化为直角坐标方程．(2)利用点到直线距离公式，曲线C1直接用参数方程，用三角函数求其最值．
【答案】解 (1)C1的普通方程为＋y2＝1，曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0．
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值．
又d(α)＝＝，当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时点P的直角坐标为．
2．【解题思路】 (1)曲线C1利用消参，曲线C2利用化为直角坐标方程．(2)分别联立求出A，B，P的坐标．
【答案】解 (1)由(θ为参数)，消去θ．
普通方程为(x－2)2＋y2＝4．
从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0．
(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，，
联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，得P点极坐标为，
∴|AB|＝2，∴S△PAB＝×2×2sin＝2．
精准预测题
1．【解题思路】 (1)；(2)联立曲线M的参数方程和曲线C的直角坐标方程，韦达定理．
【答案】解 (1)由得
故曲线M的参数方程为．
(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x．
将代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，
∴k1＋k2＝4．故直线OA与直线OB的斜率之和为4．
2．【解题思路】(1)将代入得，即可得到曲线的方程；由，代入即可得到直线的直角坐标方程；
（2）由题意，得过点的垂线的参数方程为（为参数），代入曲线的方程，根据参数的几何意义，即可求解.
【答案】(1)将代入得，曲线的方程为，
由得，
因为，代入上式得直线l的直角坐标方程为；
（2）因为直线的倾斜角为，所以其垂线的倾斜角为，
过点的垂线的参数方程为，即（为参数）
代入曲线的方程整理得，
设两点对应的参数为（由题意知，）
则，且，
所以.
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