2.3.1 空间直角坐标系
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c=________.
【解析】 点P在平面xOy与平面yOz的交线Oy上,由其上点的特征知a=0,c=0,b∈R.
【答案】 0
2.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),关于下列叙述:
①点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x,-y,z);
②点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x,-y,-z);
③点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x,-y,z);
④点P关于原点对称的点的坐标是P4(-x,-y,-z).
其中叙述正确的序号是________.
【解析】 由图形几何性质知①②③错,④正确.
【答案】 ④
3.如图2-3-3所示,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,按图建立空间直角坐标系,则G的坐标为________.
图2-3-3
【解析】 ∵长方体的对面互相平行,且被截面AEFG所截,
∴交线AG∥EF.又∵BE=3,CF=4,
∴DG=1,故G的坐标为(0,0,1).
【答案】 (0,0,1)
4.如图2-3-4,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知点B1的坐标为(a,a,a),则点D1的坐标为________.
图2-3-4
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【解析】 由点B1的坐标为(a,a,a)知点D1的坐标为(0,0,a).
【答案】 (0,0,a)
5.已知点M到三个坐标平面的距离都是1,且点M的三个坐标同号,则点M的坐标为________.
【解析】 根据点M到三个坐标平面的距离均为1,结合点的对称性,知M(1,1,1)或(-1,-1,-1).
【答案】 (1,1,1)或(-1,-1,-1)
6.已知点P′在x轴正半轴上,OP′=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x轴,PP′=1,则点P′和P的坐标分别为________,________.
【导学号:41292118】
【解析】 由于P′在x轴的正半轴上,故点P′的坐标为(2,0,0),又PP′在xOz平面上,且垂直于x轴,故P点坐标为(2,0,±1).
【答案】 (2,0,0) (2,0,±1)
7.正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,且|BP|=|BD′|,建立如图2-3-5所示的空间直角坐标系,则P点的坐标为________.
图2-3-5
【解析】 如图所示,过P分别作平面xOy和z轴的垂线,垂足分别为E,H,过E分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为F,G,由于|BP|=|BD′|,所以|DH|=|DD′|=,|DF|=|DA|
=,|DG|=|DC|=,所以P点的坐标为.
【答案】
8.如图2-3-6, M-OAB是棱长为a的正四面体,顶点M在底面OAB上的射影为H,则M的坐标是________.
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图2-3-6
【解析】 由M-OAB是棱长为a的正四面体知B,A(0,a,0),O(0,0,0).
又点H为△OAB的中心知H,
从而得M的坐标是.
【答案】
二、解答题
9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的坐标系,并写出各点的坐标.
【导学号:41292119】
【解】 如图所示,取AC的中点O和A1C1的中点O1,
连结BO,OO1,可得BO⊥AC,BO⊥OO1,分别以OB,OC,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
∵各棱长均为1,
∴OA=OC=O1C1=O1A1=,OB=.
∵A,B,C均在坐标轴上,
∴A,B,C.
∵点A1,C1均在yOz平面内,
∴A1,C1.
∵点B1在xOy面内的射影为点B,且BB1=1,
∴B1.
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10.如图2-3-7,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,AB=2,AA1=1,直线BD与平面AA1B1B所成的角为30°,AE垂直BD于点E,F为A1B1的中点,请建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.
图2-3-7
【解】 ∵ABCD-A1B1C1D1为长方体,∴可以以顶点A为原点,以棱AB,AD,AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵AD⊥平面AA1B1B,∴∠ABD就是直线BD与平面AA1B1B所成的角,∠ABD=30°,
∴Rt△BAD中,由AB=2,AE⊥BD,∠ABD=30°可解得AD=AB·tan 30°=2×=,BD=2AD=,AE=1.
过点E在平面ABCD内作AB的垂线EM,垂足为点M,∴Rt△AEM中,EM=AE·sin 60°=,
AM=AE·cos 60°=.
又长方体ABCD-A1B1C1D1中,
AA1=1,F为A1B1的中点,
∴A(0,0,0),B(2,0,0),A1(0,0,1),
B1(2,0,1),C,D,
E,F(1,0,1).
[能力提升]
1.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是________.
【解析】 由A,B两点的坐标可知关于y轴对称.
【答案】 关于y轴对称
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2.在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为________.
【解析】 点M关于y轴的对称点是M′(-4,7,-6),点M′在坐标平面xOz上的射影是(-4,0,-6).
【答案】 (-4,0,-6)
3.如图2-3-8所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,写出A,B,C,D,P,E的坐标.
图2-3-8
A________,B________,C________,
D________,P________,E________.
【解析】 如图所示,以A为原点,以AB所在直线为x轴,AP所在直线为z轴,与过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴,建立空间直角坐标系.
则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C,D,P(0,0,2),E.
【答案】 (0,0,0) (1,0,0) (0,0,2) (答案不唯一)
4.如图2-3-9所示,AF,DE分别是圆O,圆O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8,BC是圆O的直径,AB=AC=6,OE∥AD,试建立适当的空间直角坐标系,求出点A,B,C,D,E,F的坐标.
【导学号:41292120】
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图2-3-9
【解】 因为AD与两圆所在的平面均垂直,OE∥AD,
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以OE⊥AF,OE⊥BC,
又BC是圆O的直径,
所以OB=OC,
又AB=AC=6,
所以OA⊥BC,BC=6.
所以OA=OB=OC=OF=3.
如图所示,以O为原点,以OB,OF,OE所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
所以A(0,-3,0),B(3,0,0),C(-3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0).
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