中考数学分项解析2--圆(2017版)
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资料简介
专题11:圆 一、选择题 ‎1.(2017福建第8题)如图,是的直径,是上位于异侧的两点.下列四个角中,一定与互余的角是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AB是直径,∴∠ADB=90°,∴∠BAD+∠B=90°,∵∠ACD=∠B,∴∠BAD+∠ACD=90°,故选D.‎ ‎2. (2017河南第10题)如图,将半径为2,圆心角为的扇形绕点逆时针旋转,点,的对应点分别为,,连接,则图中阴影部分的面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:连接O、B,根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB为菱形,且∠OB=∠OB=60°,又因∠A =∠AB=120°,所以∠B =120°,因∠OB+∠B =120°+60°=180°,即可得O、、三点共线,又因=B,可得∠ B=∠ B ,再由∠OB=∠ B+∠ B =60°,可得∠ B=∠ B =30°,所以△OB为Rt三角形,由锐角三角函数即可求得B= ,所以,故选C.‎ 考点:扇形的面积计算.‎ ‎3. (2017广东广州第9题)如图5,在中,在中,是直径,是弦,,垂足为,连接,则下列说法中正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 考点: 垂径定理的应用 ‎4. (2017广东广州第6题)如图3,是的内切圆,则点是的( )‎ 图3‎ A. 三条边的垂直平分线的交点 B.三角形平分线的交点 ‎ C. 三条中线的交点       D.三条高的交点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:内心到三角形三边距离相等,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上,故选B。‎ 考点: 内心的定义 ‎5. (2017山东临沂第10题)如图,是的直径,是的切线,若,,则阴影部分的面积是( )‎ A.2 B. C.1 D.‎ ‎【答案】C 考点:1、圆的切线,2、圆周角定理,3、等腰直角三角形 ‎6. (2017山东青岛第6题)如图,AB 是⊙O 的直径,C,D,E 在⊙O 上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为( )‎ A、100° B、110° C、115° D、120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:如下图,连接AD,AD,根据同弧所对的圆周角相等,可知∠ABD=∠AED=20°‎ ‎,然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB=90°,从而由三角形的内角和求得∠BAD=70°,因此可求得∠BCD=110°.‎ 故选:B 考点:圆的性质与计算 ‎7. (2017四川泸州第6题)如图,是的直径,弦于点,若,则弦的长是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知AB=8,AE=1,可得OA=4,OE=3,连结OC,在Rt△OCE中,根据勾股定理可得CE= ,又因,根据垂径定理可得CD=2CE=2,故选B.‎ ‎8. (2017山东滨州第5题)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为( )‎ A. B.‎2‎ C. D.1‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】如图,由题意得,OA=2,△AOM是等腰直角三角形,根据勾股定理可得OM= ,故选A.‎ ‎9. (2017山东日照第9题)如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,连结PO并延长交⊙O于点C,连结AC,AB=10,∠P=30°,则AC的长度是(  )‎ A. B. C.5 D.‎ ‎【答案】A.‎ 试题分析:过点D作OD⊥AC于点D,‎ ‎∵AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,‎ ‎∴AB⊥AP,‎ ‎∴∠BAP=90°,‎ ‎∵∠P=30°,‎ ‎∴∠AOP=60°,‎ ‎∴∠AOC=120°,‎ ‎∵OA=OC,‎ ‎∴∠OAD=30°,‎ ‎∵AB=10,‎ ‎∴OA=5,‎ ‎∴OD= AO=2.5,‎ ‎∴AD= = ,‎ ‎∴AC=2AD=5,‎ 故选A.‎ 考点:切线的性质.‎ ‎10. (2017辽宁沈阳第10题)正方形内接与,正六边形的周长是12,则的半径是( )‎ A. B‎.2 ‎ C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知正六边形的周长是12,可得BC=2,连接OB、OC,可得∠BOC=,所以△BOC为等边三角形,所以OB=BC=2,即的半径是2,故选B.‎ 考点:正多边形和圆.‎ ‎11. (2017江苏宿迁第6题)若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:这个圆锥的底面圆半径为r,根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长,可得,解得r=‎6cm,故选D.‎ ‎12. (2017山东日照第15题)如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心,BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则扇形(图中阴影部分)的面积是   .‎ ‎【答案】6π.‎ 试题分析:∵四边形AECD是平行四边形,‎ ‎∴AE=CD,‎ ‎∵AB=BE=CD=6,‎ ‎∴AB=BE=AE,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ ‎∴∠B=60°,‎ ‎∴S扇形BAE=6π,‎ 考点:扇形面积的计算;平行四边形的性质.‎ ‎13. (2017江苏苏州第9题)如图,在中,,.以为直径的交于点,是上一点,且,连接,过点作,交的延长线于点,则的度数为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:,, ‎ ‎ ‎ 故答案选C.‎ 考点:圆心角与圆周角的关系.‎ ‎14. (2017浙江金华第7题)如图,在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片,则弓形弦的长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:作OC⊥AB交点为D,交圆于点C,OB=‎13cm,CD=‎8cm,OD=‎5cm;在RT△BOD中,根据勾股定理可求得BD=‎12cm,再由垂径定理可得AB=2BD=‎24cm,故选C.‎ ‎15. (2017湖南湘潭第7题)如图,在半径为4的中,是直径,是弦,且,垂足为点,,则阴影部分的面积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:已知,所以,即可得,故选D.‎ 二、填空题 ‎1.(2017北京第14题)如图,为的直径,为上的点,.若,则 ‎ .‎ ‎【答案】25°.‎ 考点:圆周角定理 ‎2.(2017广东广州第15题)如图8,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形,若圆锥的底面圆半径是,则圆锥的母线 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析::扇形的弧长和圆锥的底面周长相等,即:,解得:=‎ 考点: 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.‎ ‎3. (2017湖南长沙第15题)如图,为⊙的直径,弦于点,已知,则⊙的半径为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设圆的半径为r,根据垂径定理可知CE=3,OE=r-1,然后勾股定理可知,解得r=5.‎ 故答案为:5.‎ 考点:1、垂径定理,2、勾股定理 ‎4. (2017山东青岛第12题)如图,直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点,且AB⊥CD,垂足为P,连接BD.若BD=4,则阴影部分的面积为___________________。‎ ‎ ‎ ‎【答案】2π-4‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如下图 连接OB,OD,根据切线的性质,由直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点,可知AB⊥OB,PC⊥OD,再结合AB⊥CD,可得到四边形BOPD是正方形,从而求得,然后可求阴影部分的面积为 考点:弓形面积 ‎5.(2017山东青岛第13题)如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,连接BE、ED、BD,若∠BAD=58°,则∠EBD的度数为__________度.‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 试题分析:如下图 由∠ABC=∠ADC=90°,E为对角线AC的中点,可知A,B,C,D四点共圆,圆心是E,直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD=58°,得到∠BED=116°,然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.‎ 故答案为:32.‎ 考点:1、圆周角性质定理,2、等腰三角形性质 ‎6.(2017江苏苏州第16题)如图,是的直径,是弦,,.若用扇形(图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析: ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 考点:圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.‎ ‎7. (2017山东菏泽第12题)一个扇形的圆心角为,面积为,则此扇形的半径长为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据扇形的面积公式可得 ,解得 .‎ ‎8. (2017浙江湖州第14题)如图,已知在中,.以为直径作半圆,交于点.若,则的度数是 度.‎ ‎【答案】140‎ 考点:圆周角定理 ‎9. (2017浙江湖州第15题)如图,已知,在射线上取点,以为圆心的圆与相切;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切;;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切.若的半径为,则的半径长是 .‎ ‎【答案】512(或29)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据切线的性质,和30°角所对直角边等于斜边的一半,可知OO1=2,然后同样可知O1O2=2=21,OO3=2×2=22,……OOn=2n-1,因此可得第10个为210-1=29=512.‎ 故答案为:512.‎ 考点:1、圆的切线,2、30°角的直角三角形 ‎10. (2017湖南湘潭第13题)如图,在中,已知,则 .‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据圆周角定理,同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半,即可得60°.‎ ‎11. (2017浙江台州第13题)如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条的夹角为长为30厘米,则的长为 厘米.(结果保留)‎ ‎【答案】20π ‎【解析】‎ 试题分析:根据弧长公式可得:弧BC的长===20π. 故答案为:20π.‎ 考点:弧长的计算 ‎12. (2017浙江台州第16题)如图,有一个边长不定的正方形,它的两个相对的顶点分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点在正六边形内部(包括边界),则正方形边长的取值范围是 .‎ ‎【答案】( )‎ ‎【解析】‎ 试题分析:因为AC为对角线,故当AC最小时,正方形边长此时最小. ①当 A、C都在对边中点时(如下图所示位置时),显然AC取得最小值,‎ ‎∵正六边形的边长为1, ∴AC=, ∴a2+a2=AC2=. ‎ ‎∴a==. ②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时,a最大(如下图所示). 设A′(t,)时,正方形边长最大. ∵OB′⊥OA′. ∴B′(-,t) 设直线MN解析式为:y=kx+b,M(-1,0),N(-, -)(如下图) ∴. ∴. ∴直线MN的解析式为:y=(x+1), 将B′(-, t)代入得:t=-. 此时正方形边长为A′B′取最大. ∴a==3-. 故答案为:. ‎ 考点:1、勾股定理,2、正多边形和圆,3、计算器—三角函数,4、解直角三角形 ‎13. (2017浙江舟山第13题)如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径的⊙,,弓形(阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为 .‎ ‎【答案】(32+48π)cm²‎ ‎【解析】‎ 试题分析:连接OA,OB,因为弧AB的度数是90°,所以圆心角∠AOB=90°,则S空白=S扇形AOB-S△AOB= (cm2),S阴影=S圆-S空白=64π-(16π-32)=32+48π(cm2).‎ 考点:扇形面积的计算.‎ 三、解答题 ‎1. (2017北京第24题)如图,是的一条弦,是的中点,过点作于点,过点作的切线交的延长线于点.‎ ‎(1)求证:; ‎ ‎(2)若,求的半径.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5,再利用等角对等边可得出结论;(2)由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值,利用对应角的三角函数值相等推出结论.‎ 本题解析:(1)证明:∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线,∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2,∵∠3=∠4,∴∠4=∠5,在△DEB中, ∠4=∠5,∴DE=DB.‎ ‎(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=BE=3,在 RT△DEF中,EF=3,DE=BD=5,EF=3 , ∴DF=∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中,sin∠AOE= , ‎ ‎∵AE=6, ∴AO=.‎ 考点:圆的性质,切线定理,三角形相似,三角函数 ‎ ‎2. (2017天津第21题)已知是⊙的直径,是⊙的切线,,交⊙于点,是上一点,延长交⊙于点.‎ ‎(1)如图①,求和的大小;‎ ‎(2)如图②,当时,求的大小.‎ ‎【答案】(1) ∠T=40°,∠CDB=40°;(2)∠CDO =15°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)如图,连接AC,根据切线的性质定理可得∠TAB=90°,即可求得∠T的度数;根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°,即可求得∠CDO的度数. (2)如图,连接AD,在△BCE中,求得∠BCE=∠BEC=65°,根据圆周角定理的推论可得∠BAD=∠BCD=65°,因OA=OD,根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD=65°,即可得∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°. ‎ 试题解析:(1)如图,连接AC,‎ ‎∵是⊙的直径,是⊙的切线,‎ ‎∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.‎ ‎∵,‎ ‎∴∠T=90°-∠ABT=40°‎ 由是⊙的直径,得∠ACB=90°,‎ ‎∴∠CAB=90°-∠ABC=40°‎ ‎∴∠CDB=∠CAB=40°;‎ ‎(2)如图,连接AD,‎ 在△BCE中,BE=BC,∠EBC=50°,‎ ‎∴∠BCE=∠BEC=65°,‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=65°‎ ‎∵OA=OD ‎∴∠ODA=∠OAD=65°‎ ‎∵∠ADC=∠ABC=50°‎ ‎∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.‎ ‎3. (2017福建第21题)如图,四边形内接于,是的直径,点在的延长线上,.‎ ‎(Ⅰ)若,求弧的长;‎ ‎(Ⅱ)若弧弧,,求证:是的切线.‎ ‎【答案】(Ⅰ)的长 =π;(Ⅱ)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)连接OC,OD,由圆周角定理可得∠COD=90°,然后利用弧长公式即可得;‎ ‎(Ⅱ)由=,可得∠BOC=∠AOD,从而可得∠AOD=45°,再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°,由AD=AP可得∠ADP=∠APD,由∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°,继而可得∠ODP=90°,从而得 PD是⊙O的切线.‎ 试题解析:(Ⅰ)连接OC,OD,∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°,∵AB=4,∴OC= AB=2,∴的长= =π;‎ ‎(Ⅱ)∵=,∴∠BOC=∠AOD,∵∠COD=90°,∴∠AOD= =45°,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA==67.5°,∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD,∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP= ∠CAD=22.5°,∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°,又∵OD是半径,∴PD是⊙O的切线.‎ ‎4. (2017河南第18题)如图,在中, ,以为直径的⊙交边于点,过点作,与过点的切线交于点,连接.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据已知条件已知CB平分∠DCF,再证得、,根据角平分线的性质定理即可证得结论;(2)已知=10,,可求得AD =6,在Rt△ABD中,根据勾股定理求得的值,在Rt△BDC中,根据勾股定理即可求得BC 的长.‎ 试题解析:‎ ‎(1)∵‎ ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∵‎ ‎∴∠ABC=∠FCB ‎∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF ‎∵为⊙直径 ‎∴∠ADB=90°,即 ‎∵BF为⊙的切线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴BD=BF 考点:圆的综合题.‎ ‎5. (2017广东广州第25题)如图14,是的直径,,连接.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若直线为的切线,是切点,在直线上取一点,使所在的直线与所在的直线相交于点,连接.‎ ‎①试探究与之间的数量关系,并证明你的结论;‎ ‎②是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)① ②‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)直径所对的圆周角是圆心角的一半,等弧所对的圆周角是圆心角的一半;(2)①等角对等边;②‎ 试题解析:(1)证明:如图,连接BC.‎ ‎ 是 的直径, ‎ ‎ ‎ ‎(2)①如图所示,作 于F 由(1)可得, 为等腰直角三角形.‎ ‎ 是 的中点. 为等腰直角三角形.‎ 又 是 的切线, ‎ ‎ 四边形 为矩形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当 为钝角时,如图所示,同样, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)当D在C左侧时,由(2)知 ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 在 中, ‎ ‎ ‎ 当D在C右侧时,过E作 于 ‎ 由(2)得, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在 中, ‎ ‎ ‎ 考点:圆的相关知识的综合运用 ‎6. (2017湖南长沙第23题)如图,与⊙相切于,分别交⊙于点,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)已知,,求阴影部分的面积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2) ‎ 试题解析:(1)连接OC,则OC⊥AB ‎∵‎ ‎∴∠AOC=∠BOC 在△AOC和△BOC中,‎ ‎ ‎ ‎∴△AOC≌△BOC(ASA)‎ ‎∴AO=BO ‎(2)由(1)可得AC=BC=AB=‎ ‎∴在Rt△AOC中,OC=2‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=60°‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 考点:1、切线的性质,2、三角形的面积,3、扇形的面积 ‎7. (2017山东临沂第23题)如图,的平分线交的外接圆于点,的平分线交于点.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求外接圆的半径.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由角平分线得出∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,得出,由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD,证出∠DBC=∠BAE,再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB,即可得出DE=DB;‎ ‎(2)由(1)得:,得出CD=BD=4,由圆周角定理得出BC是直径,∠BDC=90°,由勾股定理求出BC==4,即可得出△ABC外接圆的半径.‎ 试题解析:(1)平分,平分,,又 ‎,,,..‎ ‎ (2)解:连接,,是圆的直径.,.,,,是等腰直角三角形.,.的外接圆的半径为.‎ 考点:1、三角形的外接圆的性质,2、圆周角定理,3、三角形的外角性质,4、勾股定理 ‎8. (2017四川泸州第24题)如图,⊙O与的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点,连接并延长交边于点.‎ ‎(1)求证://‎ ‎(2)若求的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由弦切角定理和切线长定理证得CD垂直于AO,再证得∠DAO=∠BDF,即可证得结论;(2)过点作与,根据勾股定理求得BC=8,再求得BD=4,由切割线定理可求得 再由勾股定理求得BC=4,利用射影定理求得OE= ,利用相似三角形的性质即可求得的长.‎ 试题解析:‎ ‎(1)证明:与⊙O相切与点 ‎ (弦切角定理)‎ 又与⊙O相切与点 由切线长定理得:‎ 即:DF//AO (2) ‎:过点作与 ‎ ‎ 由切割线定理得:,解得:‎ 由射影定理得:‎ ‎9. (2017山东滨州第23题)(本小题满分10分)‎ 如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线交BC于点F,交△ABC的外接圆⊙O于点D;连接BD,过点D 作直线DM,使∠BDM=∠DAC.‎ ‎(1)求证:直线DM是⊙O的切线;‎ ‎(2)求证:DE2=DF·DA.‎ ‎【答案】详见解析.‎ 试题解析:‎ 证明:(1)如图1,连接DO,并延长交⊙O于点G,连接BG;‎ ‎∵点E是△ABC的内心,∴AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.‎ ‎∵∠G=∠BAD,∴∠MDB=∠G,‎ ‎∵DG为⊙O的直径,∴∠GBD=90°,∴∠G+∠BDG=90°.‎ ‎∴∠MDB+∠BDG=90°.∴直线DM是⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,连接BE.‎ ‎ ∵点E是△ABC的内心,‎ ‎∴∠ABE=∠CBE,∠BAD=∠CAD.‎ ‎∵∠EBD=∠CBE+∠CBD,∠BED=∠ABE+∠BAD,∠CBD=∠CAD.‎ ‎∴∠EBD=∠BED,‎ ‎∴DB=DE.‎ ‎∵∠CBD=∠BAD,∠ADB=∠ADB,‎ ‎∴△DBF∽△DAB,‎ ‎∴BD2=DF·DA.‎ ‎∴DE2=DF·DA.‎ ‎10. (2017辽宁沈阳第22题)如图,在中,以为直径的交于点,过点做于点,延长交的延长线于点,且.‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)若,的半径是3,求的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2).‎ 试题解析:‎ ‎(1)连接OE,‎ 则,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵OE是的半径 ‎∴是的切线;‎ ‎(2)∵,∵‎ ‎∴‎ ‎∴BA=BC 又的半径为3,‎ ‎∴OE=OB=OC ‎∴BA=BC=2×3=6‎ 在Rt△OEG中,sin∠EGC=,即 ‎ ‎∴OG=5‎ 在Rt△FGB中,sin∠EGC=,即 ‎ ‎∴BF= ‎ ‎∴AF=AB-BF=6-=.‎ 考点:圆的综合题.‎ ‎11. (2017江苏宿迁第22题)(本题满分6分)‎ 如图,与相切于点,为的弦,,与相交于点;‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,求线段的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)BP=.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据已知条件易得∠ABP+∠OBC=90°,∠C+∠CPO=90°,因为∠APB=∠CPO, 即可得∠C+∠APB=90°,再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB;(2)过点A作ADBP,垂足为D,所以∠ADP=90°,PD=BP,由勾股定理求得OA的长,再由勾股定理求得CP的长,由∠ADP=∠CPO,∠ADP=∠COP,证得△ADP∽△COP,根据相似三角形的性质求得PD的长,即可得BP的长.‎ ‎ ‎ ‎(2) 过点A作ADBP,垂足为D,所以∠ADP=90°,PD=BP 因为∠ABO=90°,,,所以,故OA=5‎ 因为AP=AB=3,所以OP=OA-AP=2‎ 因为∠COP=90°,所以,‎ 因为∠ADP=∠CPO,∠ADP=∠COP,所以△ADP∽△COP.‎ 所以,即PD= ,所以BP=.‎ ‎12. (2017江苏苏州第27题)(本题满分10分)如图,已知内接于,是直径,点在上,,过点作,垂足为,连接交边于点.‎ ‎(1)求证:∽;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)连接,设的面积为,四边形的面积为,若,求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用两角对应相等,两三角形相似证明;(2)相似三角形对应角相等,同弧所对的圆周角相等;(3)转化角度,放在直角三角形求正弦值 .‎ 试题解析:(1)是⊙的直径,.‎ ‎~ .‎ ‎(2)~ 和是 所对的圆周角,.‎ ‎(3) ,即 ,,‎ ‎ ,即 . , , ,即 考点:圆、三角函数、相似三角形的综合运用.‎ ‎13. (2017山东菏泽第22题)如图,是⊙的直径,与⊙相切于点,连接交⊙于点.连接.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)当时,求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等,即可证得;(2)先证△PB∽C△ABP,根据相似三角形的性质即可得结论; (3)利用,得,从而求=‎ 试题解析:‎ ‎【解】‎ ‎(1)∵是⊙的直径 ‎∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°‎ ‎∵与⊙相切于点 ‎∴∠CBP+∠ABC=90°‎ ‎∴‎ (2) ‎∵,∠P=∠P ‎∴△PB∽C△ABP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎(3)∵‎ ‎∴AP=9‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎14. (2017浙江金华第22题)如图,已知:是的直径,点在上,是的切线,于点是延长线上的一点,交于点,连接.‎ ‎(1)求证:平分.‎ ‎(2)若,.‎ ‎①求的度数.‎ ‎②若的半径为,求线段的长.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2)①∠OCE=45°;②2-2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)利用了切线的性质,平行线的判定和性质,等边对等角,角平分线的判定即可得证;(2)①根据(1)得出的AD//OC,从而得出同位角相等,再利用三角形的内角和定理即可求出答案;②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE,从而求出EF=GE-FG.‎ 试题解析:(1)解:∵直线与⊙O相切, ∴OC⊥CD; 又∵AD⊥CD, ‎ ‎∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC平分∠DAO. (2)解:①∵AD//OC,∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°. ②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=2,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2; ∵在RT△OGE中,∠E=30°, ∴GE=2, ∴EF=GE-FG=2-2.‎ ‎15. (2017浙江湖州第21题)(本小题8分)‎ 如图,为的直角边上一点,以为半径的与斜边相切于点,交于点.已知,.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)在Rt△ABC中,利用勾股定理求出AB的长,然后根据切线的判定证出BC为切线,然后可根据切线长定理可求解;‎ ‎(2)在Rt△ABC中,根据∠A的正弦求出∠A的度数,然后根据切线的性质求出OD的长,和扇形圆心角的度数,再根据扇形的面积公式可求解.‎ 试题解析:(1)在Rt△ABC中,AB===2 ‎ ‎∵BC⊥OC ‎∴BC是⊙O的切线 ‎∵AB是⊙O的切线 ‎∴BD=BC=‎ ‎∴AD=AB-BD=‎ ‎(2)在Rt△ABC中,sinA= ‎ ‎∴∠A=30°‎ ‎∵AB切⊙O于点D ‎∴OD⊥AB ‎∴∠AOD=90°-∠A=60°‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴OD=1‎ ‎∴ ‎ 考点:1、切线的性质,2、勾股定理,3、解直角三角形,4、扇形的面积 ‎16. (2017浙江台州第22题) 如图,已知等腰直角三角形,点是斜边上一点(不与重合),是的外接圆⊙的直径.‎ ‎(1)求证:是等腰直角三角形;‎ ‎(2)若⊙的直径为2,求的值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)4‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°,再由PE是⊙O的直径,得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. (2)根据题意可知,AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.‎ 试题解析:(1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径, ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. (2)∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AC=AB, 同理AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ‎ ‎∴CP=BE, 在Rt△BPE中,∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP2+PB2=PE2=4. 考点:1、全等三角形的判定与性质,2、等腰三角形的判定与性质,3、勾股定理,4、圆心角、弧、弦的关系,5、等腰直角三角形

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