《解直角三角形》训练.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎《应用举例（2）》基础训练 知识点1方位角问题 ‎1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )‎ A.60海里 B.45海里 C.20海里 D.30海里 ‎2.[2017广西百色中考]如图，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是( )‎ A.20(＋1)米/秒 B.20(－1)米/秒 C.200米/秒 D.300米/秒 ‎3.[2018安徽淮安中考]如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市的北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 知识点2坡度、坡角问题 ‎4.[2018浙江宁波中考]如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至已知B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了____米.(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)‎ ‎5.如图，斜坡AB的坡度为1：2，AC=3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为( )‎ A.5米 B.6米 C.8米 D.(3＋)米 ‎6.[2017湖北仙桃中考]为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固.如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD=12米，∠B=60°.加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE=，则CE的长为____米.‎ ‎7.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角∠FDC为30°，若兰兰的眼睛与地面的距离DG是1.5米，BG=1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i=4：3，坡高8米，求小船C到岸边的距离CA.(参考数据： ≈1.73，结果保留一位小数)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案 ‎1.D【解析】由题意，知∠APB=90°，∠A=60°，PA=30海里，∴PB=PA·tanA=30×tan60°=30(海里).故选D.‎ ‎2.A【解析】如图，过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△ABD中，因为∠ABD=60°，BD=200米，所以AD=BDtan∠ABD=200米，在Rt△CDB中，BD=200米，∠CBD=45°，所以CD=BD=200米，则AC=AD＋CD=(200＋200)米，则平均速度是=(20＋1)米/秒.故选A.‎ ‎3.【解析】如图，过点M作MN⊥AC于点N，此时MN最短.‎ 由题意知∠EAC=60°，∠EAM=30°，∴∠CAM=30°，易知∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠EAC=60°，∴∠CAD=30°，∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB＋∠BCA=60°，∴∠AMC=90°.在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，∴MC=AC=1000米.‎ 在Rt△CMN中，∠MCN=60°，∴∠CMN=30°，∴NC=MC=500米.‎ ‎∴AN=AC－NC=2000－500=1500(米).‎ 因此，AN的长为1500米.‎ 名师点睛：解决实际问题的关键在于明确题意，善于把实际问题转化为数学问题，要抓住问题的实质，不要被表面现象所迷惑.对于本题，正确作出高，证明△AMC是直角三角形是解题的关欲 ‎4.280【解析】在Rt△ABC中，AC=ABsin34°=500×0.56≈280(米)，所以这名滑雪运动员的高度下降了280米.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎5.A【解析】因为斜坡AC的坡度为1：2，所以可设CD=x米，AD=2x米，在Rt△ACD中，由勾股定理得x2＋(2x)2=(3)2，所以x=3，所以CD=3米，AD=6米.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD= =8米，所以BC=BD－CD=8－3=5(米).故选A.‎ ‎6.8【解析】如图，分别过点A，D作AF⊥BC，DG⊥BC，垂足分别为F，G.‎ 在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，sinB=，所以AF=米，所以DG=米，在Rt△DGC中，因为CD=12米，DG=米，所以GC= =18米.‎ 在Rt△DEG中，因为tanE=，所以，所以GE =26米，所以CE=GE－CG=26－18=8(米)，即CE的长为8米.‎ ‎7.【解析】如图，过点B作BE⊥CA交CA的延长线于点E，延长DG交CA的延长线于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG.‎ ‎∵i==，BE=8米，∴AE=6米.‎ ‎∵DG=1.5米，BG=l米，∴DH=DG＋GH=1.5＋8=9.5(米)，AH=AE＋EH=6＋l=7(米).‎ 在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=9.5米，tanC=，∴CH=米.‎ 又CH=CA＋7，即=CA＋7，∴CA≈9.4米.‎ 因此，小船C到岸边的距离CA约是9.4米.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎《应用举例（2）》提升训练 ‎1.[2017山东济南中考]如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度)，把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为( )‎ A. B.3 C. D.4‎ ‎2.[2018河北石家庄二十七中课时作业]某数学兴趣小组同学进行测量大树CD(垂直于水平面AE)高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，再沿水平方向行走6米至大树底端点D处，斜坡AB的坡度(或坡比)i=1：2：4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )‎ A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米 ‎3.[2018山西运城垣曲期末]小明坐在堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长为米，钓竿0A的倾斜角是60°，其长为3米.若0A与钓鱼线0B的夹角为60°，则浮漂B与河堤下端C之间的距离是____米.‎ ‎4.[2018四川成都石室中学课时作业]如图，在—条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N20km.一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线l?‎ ‎(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.(参考数据： ≈1.4，≈1.7)‎ ‎5.[2017贵州黔东南州中考]如图，某校教学楼后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角a为60°.根据有关部门的规定，∠a≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41， ≈1.73，≈2.24)‎ ‎6.[2018江西南昌铁一中课时作业]一艘轮船向正东方向航行，在A处测得灯塔P在A的北偏东60°方向，航行40海里到达B处，此时测得灯塔P在B的北偏东15°方向.‎ ‎(1)求灯塔P到轮船航线的距离PD；(结果保留根号)‎ ‎(2)当轮船从B处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P处同时前往D处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D处，求轮船每小时航行多少海里.(结果精确到1海里，参考数据≈1.7)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 参考答案 ‎1.B【解析】如图，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于点M，在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE= ==0.8.易知△ADE∽△ACM，所以，即，解得AM=4，CM=3，所以BM=AM－AB=4－3=1，所以石坝的坡度为=3.故选B.‎ ‎2.A【解析】如图，过点B作BF⊥AE于点F.设BF=x米，易知四边形BDEF是矩形，则DE=BF=x米，DE=BF=x米.∵斜坡AB的坡度i=l：2.4，∴BF：AF=l：2.4，则AF=2.4x米.‎ 在Rt△ABF中，AB=13米，BF2＋AF2=AB2，∴x2＋(2.4x)2=132，∴x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米，∴AE=AF＋EF=18米.‎ 在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=AE·tan∠CAE=18×tan36°≈13.14(米)，∴CD=CE－DE≈8.1米.故选A.‎ 归纳总结：此类题考查解直角三角形的应用，首先要明确仰角及坡度的意义，并能寻找直角三角形或添加辅助线构造直角三角形，把已知条件和待求线段放在直角三角形中，利用直角三角形的边角关系求解，找准对应关系是关键.此外，在求解过程中常通过设未知数，建立方程求解.‎ ‎3.1.5【解析】如图，延长0A交BC的延长线于点D，则∠CAD=180°－∠ACD=90°.‎ 在Rt△ACD中，AD=AC.tan∠ACD=AC=1.5米，CD=2AD=3米. ∵∠DOB=∠ODB=60‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎°，∴∠B0D是等边三角形，所以BD=OD=0A＋AD=4.5米，所以BC=BD－CD=4.5－3=1.5(米).即浮漂B与河堤下端C之间的距离是1.5米.‎ ‎4.【解析】(1)如图，延长AB交直线l于点F.‎ 由题意知∠CBE=60°，∠DAC=30°，∴∠BCE=30°，∠DCA=60°，∴∠ACB=90°.‎ 在Rt△ABC中，BC=12km，AB=36×=24(km)，∴∠BAC=30°，AC==12(km).‎ 在Rt△ACD中，AD=AC×cos30°=12×=18(km).‎ 在Rt△ADF中，∵∠DAF=60°，∴∠F=30°，AF=2AD=36km，36÷36=l(h)，‎ ‎∴轮船在11：00到达海岸线l.‎ ‎(2)该轮船能停靠在码头.理由如下：‎ 在Rt△ADF中，DF=AF×sin60°=36×=18(km).‎ 在Rt△ADC中，DC=AC=6km，∴CF=12km.‎ ‎∵CN=20km，CM=2l.5km，12≈20.4，20＜20.4＜21.5.‎ ‎∴该轮船能停靠在码头. ‎ ‎5.【解析】如图，假设点D移到D'的位置时，恰好∠a=39°，过点D作DE⊥AC于点E，过点D'作D'E'⊥AC于点E'，∵CD=12米，∠DCE=60°，∴DE=CD·sin60°=12×=6(米)，CE=CD·cos60°=12×=6(米).∵DE⊥AC，D'E'⊥AC ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎，DD'∥CE’，‎ ‎∴四边形DEE'D'是矩形，D'E'=DE=6米.‎ ‎∵∠D'CE'=39°，∴CE'=≈≈l3(米)，∴EE'=CE'－CE≈7米.‎ 因此，学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.‎ ‎6【解析】(1)过点B作BC⊥AP于点C.‎ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴BC=AB=20海里，AC=AB·cos30°=20海里.‎ ‎∵∠PBD=90°－15°=75°，∠ABC=90°－30°=60°，∴∠CBP=180°－75°－60°=45°，∴PC=BC=20海里，∴AP=PC＋AC=(20＋20)海里.‎ ‎∵PD⊥AD，∠PAD=30°，∴PD=AP=(10＋10)海里.‎ 因此，灯塔P到轮船航线的距离PD是(10＋10)海里.‎ ‎(2)设轮船每小时航行x海里，‎ 在Rt△ADP中，AD=AP·cos30°=× (20＋20)=(30＋10)(海里)，∴BD=AD－AB=30＋10—40=(10－10)(海里)，由题意，得＋=，‎ 解得x=60－20，经检验x=60－20是原方程的解，∴x=60－20≈26.‎ 因此，轮船每小时约航行26海里.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费