专题06 函数的图像与性质
一、选择题
1．（2017四川省南充市）如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A．（1，1） B．（，1） C．（，） D．（1，）
【答案】D．
考点：1．等边三角形的性质；2．坐标与图形性质；3．勾股定理．
2．（2017四川省南充市）二次函数（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．4ac＜b2 B．abc＜0 C．b+c＞3a D．a＜b
【答案】D．
【解析】
试题分析：（A）由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故A正确；
∵抛物线开口向上，∴a＜0，∵抛物线与y轴的负半轴，∴c＜0，∵抛物线对称轴为x=＜0，∴b＜0，∴abc＜0，故B正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，∵4a＜0，∴a+b+c＞4a，∴b+c＞3a，故C正确；
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＞c，∴a﹣b＞0，∴a＞b，故D错误；
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
3．（2017四川省广安市）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C．
考点：一次函数图象与系数的关系．
4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：
①；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3
其中正确的有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
【解析】
试题分析：抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故①错误；
由于对称轴为x=﹣1，∴x=﹣3与x=1关于x=﹣1对称，∵x=﹣3时，y＜0，∴x=1时，y=a+b+c＜0，故②错误；
∵对称轴为x==﹣1，∴2a﹣b=0，故③正确；
∵顶点为B（﹣1，3），∴y=a﹣b+c=3，∴y=a﹣2a+c=3，即c﹣a=3，故④正确；
故选B．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数图象与系数的关系．
5．（2017四川省眉山市）若一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数（ ）
A．有最大值 B．有最大值﹣ C．有最小值 D．有最小值﹣
【答案】B．
【解析】
试题分析：∵一次函数y=（a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，∴a+1＞0且a＜0，∴﹣1＜a＜0，∴二次函数由有最小值﹣，故选D．
考点：1．二次函数的最值；2．最值问题；3．一次函数图象与系数的关系．
6．（2017四川省绵阳市）将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【答案】D．
考点：1．二次函数图象与几何变换；2．一次函数图象与系数的关系．
7．（2017四川省达州市）已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象；3．二次函数的图象．
8．（2017四川省达州市）已知函数的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB．下列结论：
①若点M1（x1，y1），M2（x2，y2）在图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2；
②当点P坐标为（0，﹣3）时，△AOB是等腰三角形；
③无论点P在什么位置，始终有S△AOB=7.5，AP=4BP；
④当点P移动到使∠AOB=90°时，点A的坐标为（，）．
其中正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C．
考点：1．反比例函数综合题；2．综合题．
9．（2017山东省枣庄市）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．﹣12 B．﹣27 C．﹣32 D．﹣36
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵A（﹣3，4），∴OA= =5，∵四边形OABC是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入得，4=，解得：k=﹣32．故选C．
考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征．
10．（2017山东省枣庄市）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）
【答案】C．
【解析】
试题分析：（方法一）作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．
令中x=0，则y=4，∴点B的坐标为（0，4）；
令中y=0，则，解得：x=﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y=kx+b，∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），∴，解得：，∴直线CD′的解析式为．
令中y=0，则0=，解得：x=，∴点P的坐标为（，0）．
故选C．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．轴对称﹣最短路线问题；3．最值问题．
11．（2017山东省枣庄市）已知函数（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．当a=1时，函数图象经过点（﹣1，1）
B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点
C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方
D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大
【答案】D．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．二次函数图象与系数的关系．
12．（2017山东省济宁市）如图，A，B是半径为1的⊙O上两点，且OA⊥OB，点P从点A出发，在⊙O上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：s），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y与x函数关系的是（ ）
A．① B．③ C．②或④ D．①或③
【答案】D．
【解析】
试题分析：当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，故答案为：①③
．故选D．
考点：动点问题的函数图象．
13．（2017广东省）如图，在同一平面直角坐标系中，直线（≠0）与双曲线（≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）
【答案】A．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
14．（2017广西四市）如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线：（x≥0）和抛物线：（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C，D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E，F，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为，点B的纵坐标为，∵BE∥x轴，∴点F纵坐标为，∵点F是抛物线上的点，∴点F横坐标为x==，∵CD∥x轴，∴点D纵坐标为，∵点D是抛物线上的点，∴点D横坐标为x==2a，∴AD=a，BF=，CE=，OE=，∴则= ==，故选D．
考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．综合题．
15．（2017江苏省盐城市）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
考点：二次函数图象与几何变换．
16．（2017江苏省连云港市）已知抛物线（a＞0）过A（﹣2，、B（1，）两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
17．（2017河北省）如图，若抛物线与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数（x＞0）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D．
考点：1．反比例函数的图象；2．抛物线与x轴的交点．
18．（2017浙江省丽水市）将函数的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A（1，4）的方法是（ ）
A．向左平移1个单位 B．向右平移3个单位
C．向上平移3个单位 D．向下平移1个单位
【答案】D．
【解析】
试题分析：A．平移后，得y=（x+1）2，图象经过A点，故A不符合题意；
B．平移后，得y=（x﹣3）2，图象经过A点，故B不符合题意；
C．平移后，得y=x2+3，图象经过A点，故C不符合题意；
D．平移后，得y=x2﹣1图象不经过A点，故D符合题意；
故选D．
考点：二次函数图象与几何变换．
19．（2017浙江省丽水市）在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（ ）
A．乙先出发的时间为0.5小时
B．甲的速度是80千米/小时
C．甲出发0.5小时后两车相遇
D．甲到B地比乙到A地早小时
【答案】D．
考点：函数的图象．
20．（2017浙江省台州市）已知电流I（安培）、电压U（伏特）、电阻R（欧姆）之间的关系为，当电压为定值时，I关于R的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
考点：反比例函数的应用．
21．（2017浙江省绍兴市）均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
试题分析：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D．故选D．
考点：函数的图象．
22．（2017浙江省绍兴市）矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为（2，1）．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数表达式为，再次平移透明纸，使这个点与点C重合，则该抛物线的函数表达式变为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
【解析】
试题分析：如图，A（2，1），则可得C（-2，-1）．
由A（2，1）到C（-2，-1），需要向左平移4个单位，向下平移2个单位，则抛物线的函数表达式为y=x2 ， 经过平移与为y=（x+4）2-2= x2+8x+14，故选A．
考点：二次函数图象与几何变换．
23．（2017湖北省襄阳市）将抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A．
考点：二次函数图象与几何变换．
二、填空题
24．（2017四川省南充市）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为 km．
【答案】0.3．
【解析】
试题分析：方法一：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是：55﹣（10+30）=15分钟，则小明回家的速度为：0.9÷15=0.06km/min，故他离家50分钟时离家的距离为：0.9﹣0.06×[50﹣（10+30）]=0.3km，故答案为：0.3；
方法二：设小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=kx+b，则该函数过点（40，0.9），（55，0），∴，解得：，即小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=﹣0.06x+3.3，当x=50时，y=﹣0.06×50+3.3=0.3，故答案为：0.3．
考点：一次函数的应用．
25．（2017四川省广安市）已知点P（1，2）关于x轴的对称点为P′，且P′在直线y=kx+3上，把直线y=kx+3的图象向上平移2个单位，所得的直线解析式为 ．
【答案】y=﹣5x+5．
考点：一次函数图象与几何变换．
26．（2017四川省广安市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则An的坐标是 ．
【答案】（，）．
【解析】
试题分析：∵直线y=x+1和y轴交于A1，∴A1的坐标（0，1），即OA1=1，∵四边形C1OA1B1是正方形，∴OC1=OA1=1，把x=1代入y=x+1得：y=2，∴A2的坐标为（1，2），同理A3的坐标为（3，4），…
An的坐标为（，），故答案为：（，）．
考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型：点的坐标；3．综合题．
27．（2017四川省眉山市）设点（﹣1，m）和点（，n）是直线（0＜k＜1）上的两个点，则m、n的大小关系为 ．
【答案】m＞n．
【解析】
试题分析：∵0＜k＜1，∴直线中，＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜，∴m＞n．故答案为：m＞n．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
28．（2017四川省眉山市）已知反比例函数，当x＜﹣1时，y的取值范围为 ．
【答案】﹣2＜y＜0．
考点：反比例函数的性质．
29．（2017四川省绵阳市）如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），则点B的坐标是 ．
【答案】（7，4）．
【解析】
试题分析：∵四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是（6，0），点C的坐标是（1，4），∴BC=OA=6，6+1=7，∴点B的坐标是（7，4）；故答案为：（7，4）．
考点：1．平行四边形的性质；2．坐标与图形性质．
30．（2017四川省达州市）从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是 ．
【答案】．
【解析】
试题分析：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为：．
考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．列表法与树状图法．
31．（2017四川省达州市）甲、乙两动点分别从线段AB的两端点同时出发，甲从点A出发，向终点B运动，乙从点B出发，向终点A运动．已知线段AB长为90cm，甲的速度为2.5cm/s．设运动时间为x（s），甲、乙两点之间的距离为y（cm），y与x的函数图象如图所示，则图中线段DE所表示的函数关系式为 ．（并写出自变量取值范围）
【答案】y=4.5x﹣90（20≤x≤36）．
考点：1．一次函数的应用；2．动点型；3．分段函数．
32．（2017山东省枣庄市）如图，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为 ．
【答案】4．
【解析】
试题分析：
设D（x，y），∵反比例函数的图象经过点D，∴xy=2，∵D为AB的中点，∴B（x，2y），∴OA=x，OC=2y，∴S矩形OABC=OA•OC=x•2y=2xy=2×2=4，故答案为：4．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
33．（2017山东省济宁市）请写出一个过点（1，1），且与x轴无交点的函数解析式： ．
【答案】（答案不唯一）．
考点：1．反比例函数的性质；2．一次函数的性质；3．正比例函数的性质；4．二次函数的性质；5．开放型．
34．（2017山东省济宁市）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P（a，b），则a与b的数量关系是 ．
【答案】a+b=0．
【解析】
试题分析：根据作图方法可得，点P在第二象限角平分线上，∴点P到x轴、y轴的距离相等，即|b|=|a|，又∵点P（a，b）第二象限内，∴b=﹣a，即a+b=0，故答案为：a+b=0．
考点：1．作图—基本作图；2．坐标与图形性质；3．点到直线的距离．
35．（2017广西四市）对于函数，当函数值y＜﹣1时，自变量x的取值范围是 ．
【答案】﹣2＜x＜0．
【解析】
试题分析：∵当y=﹣1时，x=﹣2，∴当函数值y＜﹣1时，﹣2＜x＜0．故答案为：﹣2＜x＜0．
考点：反比例函数的性质．
36．（2017广西四市）如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为 ．
【答案】（1517，1）．
考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．规律型：点的坐标．
37．（2017江苏省盐城市）如图，曲线l是由函数在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45°得到的，过点A（，），B（，）的直线与曲线l相交于点M、N，则△OMN的面积为 ．
【答案】8．
【解析】
试题分析：∵A（，），B（，），∴OA⊥OB，建立如图新的坐标系（OB为x′轴，OA为y′轴．
在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），∴直线AB解析式为y′=﹣2x′+8，由，解得或，∴M（1.6），N（3，2），∴S△OMN=S△OBM﹣S△OBN=×46﹣×42=8，故答案为：8．
考点：1．坐标与图形变化﹣旋转；2．反比例函数系数k的几何意义．
38．（2017江苏省连云港市）设函数与y=﹣2x﹣6的图象的交点坐标为（a，b），则的值是 ．
【答案】﹣2．
【解析】
试题分析：∵函数与y=﹣2x-6的图象的交点坐标是（a，b），∴将x=a，y=b代入反比例解析式得：b=，即ab=3，代入一次函数解析式得：b=﹣2a﹣6，即2a+b=﹣6，则= = =﹣2
，故答案为：﹣2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
39．（2017江苏省连云港市）如图，已知等边三角形OAB与反比例函数（k＞0，x＞0）的图象交于A、B两点，将△OAB沿直线OB翻折，得到△OCB，点A的对应点为点C，线段CB交x轴于点D，则的值为 ．（已知sin15°=）
【答案】．
考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．等边三角形的性质；3．翻折变换（折叠问题）；4．解直角三角形．
40．（2017浙江省丽水市）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）．
（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是 ；
（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是 ．
【答案】（1） ；（2）12．
【解析】
试题分析：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=﹣2+m=0，即m=2，所以直线AB的解析式为y=﹣x+2，则B（0，2），∴OB=OA=2，AB=．
设点O到直线AB的距离为d，由S△OAB=OA2=AB•d，得：4=d，则d=．故答案为：．
（2）作OD=OC=2，连接CD．则∠PDC=45°，如图，由y=﹣x+m可得A（m，0），B（0，m）．
所以OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°．
当m＜0时，∠APC＞∠OBA=45°，所以，此时∠CPA＞45°，故不合题意．
所以m＞0．
因为∠CPA=∠ABO=45°，所以∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD∽△APB，所以
，即，解得m=12．故答案为：12．
考点：1．一次函数综合题；2．分类讨论；3．综合题．
41．（2017浙江省绍兴市）如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为 ．
【答案】（4，1）．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
42．（2017重庆市B卷）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B．
【答案】18．
考点：函数的图象．
三、解答题
43．（2017四川省南充市）如图，直线y=kx（k为常数，k≠0）与双曲线（m为常数，m＞0）的交点为A、B，AC⊥x轴于点C，∠AOC=30°，OA=2．
（1）求m的值；
（2）点P在y轴上，如果，求P点的坐标．
【答案】（1）；（2）P（0，1）或（0，﹣1）．
【解析】
试题分析：（1）求出点A坐标利用待定系数法即可解决问题；
（2）设P（0，n），由A（，1），B（﹣，﹣1），可得•|n|•+•|n|•=3×，解方程即可；
试题解析：（1）在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，∠AOC=30°，OA=2，∴AC=1，OC=，∴A（，1），∵反比例函数经过点A（，1），∴m=，∵y=kx经过点A（，1），∴k=．
（2）设P（0，n），∵A（，1），B（﹣，﹣1），∴•|n|•+•|n|•=3×，∴n=±1，∴P（0，1）或（0，﹣1）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
44．（2017四川省南充市）如图1，已知二次函数（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为，直线l的解析式为y=x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l
′的解析式；
（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）；（2）y=x﹣3；（3）P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．
【解析】
试题分析：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，把（0，0）代入得到a=，即可解决问题；
（3）分两种情形求解即可①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），列出方程解方程即可；
试题解析：（1）由题意抛物线的顶点坐标为（2，），设抛物线的解析式为，把（0，0）代入得到a=，∴抛物线的解析式为，即．
（2）如图1中，设E（m，0），则C（m，），B（，0），
∵E′在抛物线上，∴E、B关于对称轴对称，∴ =2，解得m=1或6（舍弃），∴B（3，0），C（1，﹣2），∴直线l′的解析式为y=x﹣3．
（3）如图2中，①当P1与N重合时，△P1B′N′是等腰三角形，此时P1（0，﹣3）．
②当N′=N′B′时，设P（m，m﹣3），则有，解得m=或，∴P2（，），P3（，）．
综上所述，满足条件的点P坐标为（0，﹣3）或（，）或（，）．
考点：1．二次函数综合题；2．几何变换综合题；3．分类讨论；4．压轴题．
45．（2017四川省广安市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6．
（1）求函数和y=kx+b的解析式．
（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数的图象上一点P，使得．
【答案】（1），y=2x﹣6；（2）P（，6）．
【解析】
试题分析：（1）把点A（4，2）代入反比例函数，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得一次函数解析式；
（2）在y=2x﹣6中，令y=0，则x=3，即C（3，0），∴CO=3，设P（a，），则
由S△POC=9，可得×3×=9，解得a=，∴P（，6）．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
46．（2017四川省广安市）某班级45名同学自发筹集到1700元资金，用于初中毕业时各项活动的经费．通过商议，决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照，其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品．已知每件文化衫28元，每本相册20元．
（1）适用于购买文化衫和相册的总费用为W元，求总费用W（元）与购买的文化衫件数t（件）的函数关系式．
（2）购买文化衫和相册有哪几种方案？为了使拍照的资金更充足，应选择哪种方案，并说明理由．
【答案】（1）W=8t+900；（2）有三种购买方案．为了使拍照的资金更充足，应选择方案：购买30件文化衫、15本相册．
【解析】
试题分析：（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据总价=单价×数量，即可得出W关于t的函数关系式；
（2）由购买纪念品的总价范围，即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t值，从而得出各购买方案，再根据一次函数的性质即可得出W的最小值，选取该方案即可．
试题解析：（1）设购买的文化衫t件，则购买相册（45﹣t）件，根据题意得：W=28t+20×（45﹣t）=8t+900．
考点：1．一次函数的应用；2．一元一次不等式组的应用；3．最值问题；4．方案型．
47．（2017四川省广安市）如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【解析】
试题分析：（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，∴﹣ =1，解得b=2，∵抛物线过A（0，3），∴c=3，∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，∵P在抛物线上，∴P（2t，），∵四边形OMPN为矩形，∴ON=PM，∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，∴当t＞0时，OQ≠OB，∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ= =，BQ==|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；
当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；
综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．压轴题．
48．（2017四川省眉山市）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，）是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
【答案】（1） ；（2）P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据题意列方程组即可得到结论；
（3）过H作HG⊥OA于G，设HN交Y轴于M，根据平行线分线段成比例定理得到OM=，求得抛物线的对称轴为直线x= =，得到OG=，求得GN=t﹣，根据相似三角形的性质得到HG=，于是得到结论．
试题解析：（1）把A（3，0），且M（1，）代入得：，解得：
；
（2）在中，当x=0时．y=﹣2，∴C（0，﹣2），∴OC=2，如图，设P（0，m），则PC=m+2，OA=3，AC==，分三种情况：
①当PA=CA时，则OP1=OC=2，∴P1（0，2）；
②当PC=CA=时，即m+2=，∴m=﹣2，∴P2（0，﹣2）；
③当PC=PA时，点P在AC的垂直平分线上，则△AOC∽△P3EC，∴，∴P3C=，∴m=，∴P3（0，），④当PC=CA=时，m=﹣2﹣，∴P4（0，﹣2﹣），综上所述，P点的坐标1（0，2）或（0，）或（0，）或（0，）；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）由题意得：，解得：，b=-2，∴．
由（1）得抛物线对应的函数表达式为=，设AC与抛物线y=的对称轴x=1交于点F，直线x=1与x轴交于E点，则F（1，），E（1，0）．
①当0＜t＜1时，EN=1-t，由得，，∴EH= ，∴=ON•EH=，即；
②当1≤t≤3时，EN=t-1，由得，，∴EH= ，∴=ON•EH=，即；
∴ ．
考点：二次函数综合题．
49．（2017四川省绵阳市）如图，设反比例函数的解析式为（k＞0）．
（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2，求k的值；
（2）若该反比例函数与过点M（﹣2，0）的直线l：y=kx+b的图象交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积为时，求直线l的解析式．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；
（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到 ，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；
试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
50．（2017四川省绵阳市）如图，已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），并且经过点（4，2），直线与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C与直线m交于对称轴右侧的点M（t，1），直线m上每一点的纵坐标都等于1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：圆C与x轴相切；
（3）过点B作BE⊥m，垂足为E，再过点D作DF⊥m，垂足为F，求MF的值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） ．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的顶点式，再结合抛物线过点（4，2），可求得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标，则可求得C点坐标和线段BD的长，可求得圆的半径，可证得结论；
（3）过点C作CH⊥m于点H，连接CM，可求得MH，利用（2）中所求B、D的坐标可求得FH，则可求得MF和BE的长，可求得其比值．
试题解析：
（1）∵已知抛物线（a≠0）的图象的顶点坐标是（2，1），∴可设抛物线解析式为 ，∵抛物线经过点（4，2），∴，解得a=，∴抛物线解析式为，即；
（3）如图，过点C作CH⊥m，垂足为H，连接CM，由（2）可知CM=，CH=﹣1=，在Rt△CMH中，由勾股定理可求得MH=2，∵HF= =，∴MF=HF﹣MH=，∵BE=﹣1=，∴= =．
考点：1．二次函数综合题；2．压轴题．
51．（2017四川省达州市）宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系： ．
（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件？
（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）工人甲第12天生产的产品数量为70件；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元．
【解析】
试题分析：（1）根据y=70求得x即可；
（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．
试题解析：（1）根据题意，得：
∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意；
∴5x+10=70，解得：x=12．
答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；
答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．
考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数．
52．（2017四川省达州市）探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：，．
（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；
运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为 ；
②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标： ；
拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．
【答案】（1）答案见解析；（2）①；②（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）用P1、P2的坐标分别表示出OQ和PQ的长即可证得结论；
（2）①直接利用两点间距离公式可求得MN的长；②分AB、AC、BC为对角线，可求得其中心的坐标，再利用中点坐标公式可求得D点坐标；
（3）设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，则可知OR=OS=2，利用两点间距离公式可求得R的坐标，再由PR=PS=n，可求得n的值，可求得P点坐标，利用中点坐标公式可求得M点坐标，由对称性可求得N点坐标，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点S，此时EP=EM，FP=FN，此时满足△PEF的周长最小，利用两点间距离公式可求得其周长的最小值．
试题解析：
（1）∵P1（x1，y1），P2（x2，y2），∴Q1Q2=OQ2﹣OQ1=x2﹣x1，∴Q1Q=，∴OQ=OQ1+Q1Q=x1+= ，∵PQ为梯形P1Q1Q2P2的中位线，∴PQ= =，即线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式为x=，y=；
（2）①∵M（2，﹣1），N（﹣3，5），∴MN==，故答案为：；
②∵A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），∴当AB为平行四边形的对角线时，其对称中心坐标为（0，1），设D（x，y），则x+3=0，y+（﹣1）=2，解得x=﹣3，y=3，∴此时D点坐标为（﹣3，3），当AC为对角线时，同理可求得D点坐标为（7，1），当BC为对角线时，同理可求得D点坐标为（﹣1，﹣3），综上可知D点坐标为（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣3，3）或（7，1）或（﹣1，﹣3）；
（3）如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，又对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，∴=2，解得x=﹣（舍去）或x=，∴R（，），∴，解得n=1，∴P（2，1），∴N（2，﹣1），设M（x，y），则=， =，解得x=，y=，∴M（，），∴MN= =，即△PEF的周长的最小值为．
考点：1．一次函数综合题；2．阅读型；3．分类讨论；4．最值问题；5．探究型；6．压轴题．
53．（2017四川省达州市）如图1，点A坐标为（2，0），以OA为边在第一象限内作等边△OAB，点C为x轴上一动点，且在点A右侧，连接BC，以BC为边在第一象限内作等边△BCD，连接AD交BC于E．
（1）①直接回答：△OBC与△ABD全等吗？
②试说明：无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）当点C运动到使AC2=AE•AD时，如图2，经过O、B、C三点的抛物线为y1．试问：y1上是否存在动点P，使△BEP为直角三角形且BE为直角边？若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）在（2）的条件下，将y1沿x轴翻折得y2，设y1与y2组成的图形为M，函数的图象l与M有公共点．试写出：l与M的公共点为3个时，m的取值．
【答案】（1）①△OBC与△ABD全等；②证明见解析；（2）P（3，）或（﹣2，）；（3）﹣≤m＜0．
【解析】
试题分析：（1）①利用等边三角形的性质证明△OBC≌△ABD；
②证明∠OBA=∠BAD=60°，可得OB∥AD；
（2）首先证明DE⊥BC，再求直线AE与抛物线的交点就是点P，所以分别求直线AE和抛物线y1的解析式组成方程组，求解即可；
（3）先画出如图3，根据图形画出直线与图形M有个公共点时，两个边界的直线，上方到，将
向下平移即可满足l与图形M有3个公共点，一直到直线l与y2相切为止，主要计算相切时，列方程组，确定△≥0时，m的值即可．
试题解析：（1）①△OBC与△ABD全等，理由是：如图1，∵△OAB和△BCD是等边三角形，∴∠OBA=∠CBD=60°，OB=AB，BC=BD，∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，即∠OBC=∠ABD，∴△OBC≌△ABD（SAS）；
②∵△OBC≌△ABD，∴∠BAD=∠BOC=60°，∴∠OBA=∠BAD，∴OB∥AD，∴无论点C如何移动，AD始终与OB平行；
（2）如图2，∵AC2=AE•AD，∴，∵∠EAC=∠DAC，∴△AEC∽△ACD，∴∠ECA=∠ADC，∵∠BAD=∠BAO=60°，∴∠DAC=60°，∵∠BED=∠AEC，∴∠ACB=∠ADB，∴∠ADB=∠ADC，∵BD=CD，∴DE⊥BC，Rt△ABE中，∠BAE=60°，∴∠ABE=30°，∴AE=AB=×2=1，Rt△AEC中，∠EAC=60°，∴∠ECA=30°，∴AC=2AE=2，∴C（4，0），等边△OAB中，过B作BH⊥x轴于H，∴BH= =，∴B（1，），设y1的解析式为：y=ax（x﹣4），把B（1，）代入得： =a（1﹣4），a=﹣，∴设y1的解析式为：y1=﹣x（x﹣4）=，过E作EG⊥x轴于G，Rt△AGE中，AE=1，∴AG=AE=，EG==，∴E（，），设直线AE的解析式为：y=kx+b，把A（2，0）和E（，）代入得：，解得：，∴直线AE的解析式为：，则，解得：，，∴P（3，）或（﹣2，）；
（3）如图3，y1==，顶点（2，），∴抛物线y2的顶点为（2，﹣），∴y2=，当m=0时，与图形M两公共点，当y2与l相切时，即有一个公共点，l与图形M有3个公共点，则：，，
x2﹣7x﹣3m=0，△=（﹣7）2﹣4×1×（﹣3m）≥0，m≥﹣，∴当l与M的公共点为3个时，m的取值是：﹣≤m＜0．
考点：1．二次函数综合题；2．翻折变换（折叠问题）；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．
54．（2017山东省枣庄市）如图，抛物线 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．
【答案】（1），D（2，8）；（2）（﹣1，）或（﹣3，﹣）；（3）（2，）或（2，）．
【解析】
试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；
（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；
（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
试题解析：
（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，设F（x，），则FG=||，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴，当点F在x轴上方时，有，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；
当点F在x轴下方时，有，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；
综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；
（3）如图2，设对称轴MN、PQ交于点O′，∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），∵点M在抛物线的图象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=或n=
，∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，）或（2，）．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．
55．（2017山东省济宁市）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．
设这种双肩包每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣x2+90x﹣1800；（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．
56．（2017山东省济宁市）已知函数的图象与x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围，并写出当m取范围内最大整数时函数的解析式；
（2）题（1）中求得的函数记为C1．
①当n≤x≤﹣1时，y的取值范围是1≤y≤﹣3n，求n的值；
②函数的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上，设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式．
【答案】（1）m＜且m≠0，；（2）①﹣2；②．
【解析】
试题分析：（1）函数图形与x轴有两个公共点，则该函数为二次函数且△＞0，故此可得到关于m的不等式组，从而可求得m的取值范围；
（3）先求得点M的坐标，然后再求得当MP经过圆心时，PM有最大值，故此可求得点P的坐标，从而可得到函数C2的解析式．
试题解析：（1）∵函数图象与x轴有两个交点，∴m≠0且[﹣（2m﹣5）]2﹣4m（m﹣2）＞0，解得：m＜且m≠0．
∵m为符合条件的最大整数，∴m=2，∴函数的解析式为．
（2）抛物线的对称轴为x= =．
∵n≤x≤﹣1＜，a=2＞0，∴当n≤x≤﹣1时，y随x的增大而减小，∴当x=n时，y=﹣3n，∴2n2+n=﹣3n，解得n=﹣2或n=0（舍去），∴n的值为﹣2．
（3）∵=，∴M（，）．
如图所示：
当点P在OM与⊙O的交点处时，PM有最大值．
设直线OM的解析式为y=kx，将点M的坐标代入得：，解得：k=，∴OM的解析式为y=x．
设点P的坐标为（x，x）．
由两点间的距离公式可知：OP==5，解得：x=2或x=﹣2（舍去），∴点P的坐标为（2，1），∴当点P与点M距离最大时函数C2的解析式为 ．
考点：1．二次函数综合题；2．最值问题．
57．（2017山东省济宁市）定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P是△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线（x＞0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1）如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点；当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0）时，求点P的坐标；
（2）如图3，当点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0）时，求△MON的自相似点的坐标；
（3）是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）P（，）；（2）（1，）或（2，）；（3）存在, M（，3），N（，0）．
【解析】
试题分析：（1）由∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，得出△NOP∽△MON，证出点P是△MON的自相似点；过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，求出∠AON=60°，由点M和N的坐标得出∠MNO=90°，由相似三角形的性质得出∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，由三角函数求出OP=，OD=，PD=，即可得出答案；
（3）证出OM=2=ON，∠MON=60°，得出△MON是等边三角形，由点P在△ABC的内部，得出∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，即可得出结论．
试题解析：（1）∵∠ONP=∠M，∠NOP=∠MON，∴△NOP∽△MON，∴点P是△MON的自相似点；
过P作PD⊥x轴于D，则tan∠POD= =，∴∠AON=60°，∵当点M的坐标是（，3），点N的坐标是（，0），∴∠MNO=90°，∵△NOP∽△MON，∴∠NPO=∠MNO=90°，在Rt△OPN中，OP=ONcos60°=，∴OD=OPcos60°=×=，PD=OP•sin60°=×=，∴P（，）；
（2）作ME⊥x轴于H，如图3所示：
∵点M的坐标是（3，），点N的坐标是（2，0），∴OM= =，直线OM的解析式为y=x，ON=2，∠MOH=30°，分两种情况：
①如图3所示：∵P是△MON的相似点，∴△PON∽△NOM，作PQ⊥x轴于Q，∴PO=PN，OQ=ON=1，∵P的横坐标为1，∴y=×1=，∴P（1，）；
②如图4所示：
由勾股定理得：MN==2，∵P是△MON的相似点，∴△PNM∽△NOM，∴，即，解得：PN=，即P的纵坐标为，代入y=x得： =x ，解得：x=2，∴P（2，）；
综上所述：△MON的自相似点的坐标为（1，）或（2，）；
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，M（，3），N（，0）；理由如下：
∵M（，3），N（，0），∴OM==ON，∠MON=60°，∴△MON是等边三角形，∵点P在△ABC的内部，∴∠PBC≠∠A，∠PCB≠∠ABC，∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
考点：1．反比例函数综合题；2．阅读型；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．
58．（2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．
【答案】（1）；（2）P的坐标为（，）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）将点A、B代入抛物线，解得a，b可得解析式；
（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；
（3）由PM∥OC，得到∠OCB=∠MPB，PM，MB的长，从而得出PB发的长，由sin∠MPB=，即可得出结论．
试题解析：（1）将点A、B代入抛物线可得，，解得，a=4，b=﹣3，∴抛物线的解析式为：；
（3）∵PM∥OC，∴∠OCB=∠MPB，PM=，MB=，∴PB=，∴sin∠MPB=，∴sin∠OCB=．
考点：1．抛物线与x轴的交点；2．待定系数法求二次函数解析式；3．解直角三角形．
59．（2017广东省）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．
（1）填空：点B的坐标为 ；
（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；
（3）①求证：=；
②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．
【答案】（1）（，2）；（2）AD的值为2或；（3）①证明见解析；②，当x=3时，y有最小值．
【解析】
试题分析：（1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；
试题解析：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（，2）．
故答案为：（，2）．
（2）存在．理由如下：
连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．
∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°
①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2，∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．
②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=．
综上所述，满足条件的AD的值为2或．
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．
②如图2中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==，∴BH=，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y=
=，即，∴，∵＞0，∴当x=3时，y有最小值．
考点：1．相似形综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．动点型；5．存在型；6．分类讨论；7．压轴题．
60．（2017广西四市）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．
（1）把△ABC向上平移3个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）已知点A与点A2（2，1）关于直线l成轴对称，请画出直线l及△ABC关于直线l对称的△A2B2C2，并直接写出直线l的函数解析式．
【答案】（1）作图见解析；（2）y=﹣x．
考点：1．作图﹣轴对称变换；2．待定系数法求一次函数解析式；3．作图﹣平移变换．
61．（2017广西四市）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．
【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN
的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．
令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．
将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．
∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．
考点：1．二次函数综合题；2．旋转的性质；3．定值问题；4．动点型；5．分类讨论；6．压轴题．
62．（2017江苏省盐城市）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为，△BCE的面积为，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②﹣2或．
【解析】
试题分析：（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入，于是得到结论；
（2）①如图，令y=0，解方程得到x1=﹣4，x2=1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA=PC=PB=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，情况二，∠FDC=2∠BAC，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：（1）根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），∵抛物线经过A、C两点，∴，∴，∴；
（2）①如图，令y=0，∴，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴ ==，设D（a， ），∴M（a，），∵B（1.0），∴N（1，），∴===；∴当a=-2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G．分两种情况：
情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，），∴DR=﹣a，RC=，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，∴xD=﹣2．
情况二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，设FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=k，∴
∴RC=k，RG=k，DR=k﹣k=k，∴，∴a1=0（舍去），a2=．
综上所述：点D的横坐标为﹣2或．
考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．
63．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．
（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；
（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．
【答案】（1）y=2x+4；（2）．
【解析】
试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；
（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴AD•OB=5，∴（m+2）•m=5，即 ，解得或（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B的运动路径长为：
．
考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．
64．（2017江苏省连云港市）某蓝莓种植生产基地产销两旺，采摘的蓝莓部分加工销售，部分直接销售，且当天都能销售完，直接销售是40元/斤，加工销售是130元/斤（不计损耗）．已知基地雇佣20名工人，每名工人只能参与采摘和加工中的一项工作，每人每天可以采摘70斤或加工35斤，设安排x名工人采摘蓝莓，剩下的工人加工蓝莓．
（1）若基地一天的总销售收入为y元，求y与x的函数关系式；
（2）试求如何分配工人，才能使一天的销售收入最大？并求出最大值．
【答案】（1）y=﹣350x+63000；（2）：安排7名工人进行采摘，13名工人进行加工，才能使一天的收入最大，最大收入为60550元．
考点：1．一次函数的应用；2．最值问题．
65．（2017江苏省连云港市）如图，已知二次函数（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圆记为⊙M1，是否存在某个位置，使⊙M1
经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直角三角形，M（2，2）；（3）或．
【解析】
试题分析：（1）直接利用待定系数法求出a，b的值进而得出答案；
（2）首先得出∠OAC=45°，进而得出AD=BD，求出∠OAC=45°，即可得出答案；
（2）△ABC是直角三角形，过点B作BD⊥x轴于点D，易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，所以∠OAC=45°，又∵点B坐标为：（4，1），∴AD=BD，∴∠OAC=45°，∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，∴△ABC是直角三角形，圆心M的坐标为：（2，2）；
（3）存在．取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，∵M的坐标为：（2，2），∴MC=，OM=，∴∠MOA=45°，又∵∠BAD=45°，∴OM∥AB，∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，则平移的长度为：或；
∵∠BAD=45°，∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移个单位长度
或个单位长度，∵，∴平移后抛物线的关系式为：
，即
或，即．
综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：
或．
考点：1．二次函数综合题；2．平移的性质；3．动点型；4．存在型；5．压轴题．
66．（2017河北省）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线与轴交于点D，直线与轴及直线分别交于点C，E．点B，E关于轴对称，连接AB．
（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；
（2）设面积的和，求S的值；
（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里．
【答案】（1）C（-13，0），E（-5，-3），；（2）32；（3）见解析．
【解析】
试题分析：（1）由与x轴和直线x=-5的交点求得点C，E的坐标，点B，E关于x轴对称，求得B的坐标，由待定系数法求直线AB的解析式；
（2）分别求△CDE的面积和梯形ABDO的面积；
（3）点C不在直线AB上．
试题解析：
（2）∵CD=8，DE=DB=3，OA=OD=5，∴，，即S=32．
（3）当x=-13时，=-0.2≠0，∴点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线，∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC．
考点：1．待定系数法求一次函数解析式；2．一次函数的性质．
67．（2017河北省）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差很大，求m．
【答案】（1），不可能；（2）不存在；（3）1或11．
【解析】
试题分析：（1）设，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（），则=0可作出判断；
（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=求得x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断；
（3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．
试题解析：（1）由题意，设，由表中数据可得：，解得：，∴，由题意，若12=18﹣（），则=0，∵x＞0，∴＞0，∴不可能；
（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，解得：k=13，∴x=2n2﹣26n+144，将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，∴k=13；
由题意，得：18=，解得：x=50，∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，∴方程无实数根，∴不存在；
（3）第m个月的利润为W，W=x（18﹣y）=18x﹣x（）=12（x﹣50）=24（m2﹣13m+47），∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；
若W＜W′，W﹣W′=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W﹣W′取得最大值240；
∴m=1或11．
考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．分类讨论；4．最值问题；5．压轴题．
68．（2017浙江省丽水市）丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午00之前到达杭州市场？请说明理由；
（3）若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4，求平均速度v的取值范围．
【答案】（1）；（2）不能；（3）75≤v≤．
考点：反比例函数的应用．
69．（2017浙江省丽水市）如图1，在△ABC中，∠A=30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A﹣C﹣B运动，点Q从点A出发以a（cm/s）的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．
（1）求a的值；
（2）求图2中图象C2段的函数表达式；
（3）当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．
【答案】（1）1；（2）；（3）2＜x＜3．
【解析】
试题分析：（1）作PD⊥AB于D，根据直角三角形的性质得到PD=AP=x，根据三角形的面积公式得到函数解析式，代入计算；
（2）根据当x=4时，y=，求出sinB，得到图象C2段的函数表达式；
（3）求出 的最大值，根据二次函数的性质计算即可．
试题解析：（1）如图1，作PD⊥AB于D，∵∠A=30°，∴PD=AP=x，∴y=AQ•PD=，由图象可知，当x=1时，y=，∴×a×12=，解得，a=1；
（2）如图2，作PD⊥AB于D，由图象可知，PB=5×2﹣2x=10﹣2x，PD=PB•sinB=（10﹣2x）•sinB，∴y=×AQ×PD=x×（10﹣2x）•sinB，∵当x=4时，y=，∴×4×（10﹣2×4）•sinB=，解得，sinB=，∴y=x×（10﹣2x）×，即 ；
（3），解得，x1=0，x2=2，由图象可知，当x=2时，有最大值，最大值是×22=2，=2，解得，x1=3，x2=2，∴当2＜x＜3时，点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积，大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积．
考点：1．三角形综合题；2．二次函数的性质；3．分段函数；4．动点型；5．综合题．
70．（2017浙江省台州市）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．
【答案】（1）b=3，m=﹣1；（2）a=或a=．
【解析】
试题分析：（1）由点P（1，b）在直线l1上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线l2中，即可求出m值；
（2）当x=a时，yC=2a+1；
当x=a时，yD=4﹣a．
∵CD=2，∴|2a+1﹣（4﹣a）|=2，解得：a=或a=，∴a=或a=．
考点：1．两条直线相交或平行问题；2．分类讨论．
71．（2017浙江省台州市）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．
为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：
（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是 （只填上正确答案的序号）
①q=90v+100；②q=；③．
（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？
（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．
①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；
②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．
【答案】（1）③；（2）v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800；（3）①84＜k≤96；②流量q最大时d的值为60．
【解析】
试题分析：（1）利用函数的增减性即可判断；
（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；
（3）①求出v=12或18时，定义的k的值即可解决问题；
②由题意流量q最大时d的值=流量q最大时k的值；
试题解析：（1）函数①q=90v+100，q随v的增大而增大，显然不符合题意．
函数②q=q随v的增大而减小，显然不符合题意．
故刻画q，v关系最准确的是③．
故答案为：③．
（2）∵=，∵﹣2＜0，∴v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800．
考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．
72．（2017浙江省绍兴市）某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准，该市的用户每月应交水费y（元）是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示．
（1）若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？
（2）求当x＞18时，y关于x的函数表达式，若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
【答案】（1）45；（2）30．
考点：1．一次函数的应用；2．分段函数．
73．（2017浙江省绍兴市）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为 ．
（1）如图 ，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？
（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．
【解析】
试题分析：（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可；
（2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可．
试题解析：（1）∵ = ，∴当x=25时，占地面积y最大；
（2） =，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．
考点：1．二次函数的应用；2．最值问题．
74．（2017浙江省绍兴市）如图，已知□ABCD，AB∥x轴，AB=6，点A 的坐标为（1，-4），点D的坐标为（-3，4），点B在第四象限，点P是□ABCD边上一个动点．
（1） 若点P在边BC上，PD=CD，求点P的坐标．
（2）若点P在边AB、AD上，点P关于坐标轴对称的点Q ，落在直线上，求点P的坐标．
（3） 若点P在边AB，AD，CD上，点G是AD与y轴的交点，如图，过点作y轴的平行线PM，过点G作x轴的平行线GM，它们相交于点M，将△PGM沿直线PG翻折，当点M的对应点落在坐标轴上时，求点P的坐标（直接写出答案）．
【答案】（1）P（3，4）；（2）（-3，4）或（-1，0）或（5，-4）或（3，-4）；（3）P（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
【解析】
试题分析：（1）点P在BC上，要使PD=CD，只有P与C重合；
（2）首先要分点P在边AB，AD上时讨论，根据“点P关于坐标轴对称的点Q”，即还要细分“点P关于x轴的对称点Q和点P关于y轴的对称点Q”讨论，根据关于x轴、y轴对称点的特征（关于x轴对称时，点的横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于y轴对称时，相反；）将得到的点Q的坐标代入直线y=x-1，即可解答；
（3）在不同边上，根据图象，点M翻折后，点M’落在x轴还是y轴，可运用相似求解．
试题解析：（1）∵CD=6，∴点P与点C重合，∴点P的坐标是（3，4）．
（3）因为直线AD为y=-2x-2，所以G（0，-2）．
①如图，当点P在CD边上时，可设P（m，4），且-3≤m≤3，则可得M′P=PM=4+2=6，M′G=GM=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由
勾股定理得， ，解得m=-或 ，则P（ -，4）或（ ，4）；
②如下图，当点P在AD边上时，设P（m，-2m-2），则PM′=PM=|-2m|，GM′=MG=|m|，易证得△OGM′∽△HM′P，则，即，则OM′=，在Rt△OGM′中，由勾股定理得， ，整理得m= -，则P（-，3）；
如下图，当点P在AB边上时，设P（m，-4），此时M′在y轴上，则四边形PM′GM是正方形，所以GM=PM=4-2=2，则P（2，-4）．
综上所述，点P的坐标为（2，-4）或（-，3）或（-，4）或（，4）．
考点：1．一次函数综合题；2．平行四边形的性质；3．翻折变换（折叠问题）；4．动点型；5．分类讨论；6．压轴题．
75．（2017湖北省襄阳市）如图，直线直线与双曲线交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（﹣3，﹣2）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并结合图象直接写出时x的取值范围．
【答案】（1），；（2）x＜﹣2．
【解析】
试题分析：（1）由点B的坐标求出k=6，得出双曲线的解析式．求出A的坐标为（1，6），由点A和B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）由直线得，x=﹣2，∴点C的坐标为（﹣2，0），当时x的取值范围是x＜﹣2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
76．（2017湖北省襄阳市）为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x（m2），种草所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为，其图象如图所示：栽花所需费用（元）与x（m2）的函数关系式为（0≤x≤1000）．
（1）请直接写出、和b的值；
（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W（元），请利用W与x的函数关系式，求出绿化总费用W的最大值；
（3）若种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2，请求出绿化总费用W的最小值．
【答案】（1），，b=6000；（2）32500；（3）27900．
【解析】
试题分析：（1）将x=600、y=18000代入y1=k1x可得k1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y1=k2x+b可得k2、b．
（2）分0≤x＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；
（3）根据种草部分的面积不少于700m2，栽花部分的面积不少于100m2求得x的范围，依据二次函数的性质可得．
试题解析：（1）将x=600、y=18000代入 ，得：18000=600，解得：；
将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：，解得：，b=6000；
（2）当0≤x＜600时，W=30x+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+10x+30000，∵﹣0.01＜0，W=﹣0.01（x﹣500）2+32500，∴当x=500时，W取得最大值为32500元；
当600≤x≤1000时，W=20x+6000+（﹣0.01x2﹣20x+30000）=﹣0.01x2+36000，∵﹣0.01＜0，∴当600≤x≤1000时，W随x的增大而减小，∴当x=600时，W取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W取最大值为32500元；
（3）由题意得：1000﹣x≥100，解得：x≤900，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W随x的增大而减小，∴当x=900时，W取得最小值27900元．
考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．分段函数；5．综合题．
77．（2017湖北省襄阳市）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．
（1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？
（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．
【答案】（1）B（10，4），C（0，4），；（2）3；（3）t的值为或．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标，由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可设P（t，4），则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可证得△PBE∽△OCD，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQ∽△QAB，利用相似三角形的性质可求得CQ的长，在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ，则可用t分别表示出PM和PN，可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析：
（1）在中，令x=0可得y=4，∴C（0，4），∵四边形OABC为矩形，且A（10，0），∴B（10，4），把B、D坐标代入抛物线解析式可得：，解得：，∴抛物线解析式为；
（2）由题意可设P（t，4），则E（t，），∴PB=10﹣t，PE=﹣4=，∵∠BPE=∠COD=90°，∠PBE=∠OCD，∴△PBE∽△OCD，∴，即BP•OD=CO•PE，∴2（10﹣t）=4（），解得t=3或t=10（不合题意，舍去），∴当t=3时，∠PBE=∠OCD；
（3）当四边形PMQN为正方形时，则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°，PM=PN，∴∠CQO+∠AQB=90°，∵∠CQO+∠OCQ=90°，∴∠OCQ=∠AQB，∴Rt△COQ∽Rt△QAB，∴，即OQ•AQ=CO•AB，设OQ=m，则AQ=10﹣m，∴m（10﹣m）=4×4，解得m=2或m=8；
①当m=2时，CQ= =，BQ==，∴sin∠BCQ= =，sin∠CBQ==，∴PM=PC•sin∠PCQ=t，PN=PB•sin∠CBQ=（10﹣t），∴t=（10﹣t），解得t=；
②当m=8时，同理可求得t=，∴当四边形PMQN为正方形时，t的值为或．
考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．
78．（2017重庆市B卷）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n）
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
【答案】（1），y=﹣2x+4；（2）8．
【解析】
试题分析：（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；
（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．
试题解析：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=，cos∠ACH=，∴，解得：HC=4，∵点O是线段CH的中点，∴HO=CO=2，∴AH==8，∴A（﹣2，8），∴反比例函数解析式为：
，∴B（4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y=kx+b，则：，解得：，∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；
（2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8．
考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．解直角三角形．
79．（2017重庆市B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）3；（3）Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，）或（3，）．
【解析】
试题分析：（1）抛物线的解析式可变形为y=（x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．
试题解析：（1）∵，∴y=（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x=4时，y=，∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=，∴直线AE的解析式为．
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣=，解得：m=，∴直线CE的解析式为．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
设点P的坐标为（x，），则点F（x，），则FP=（）﹣（）=，∴△EPC的面积=×（）×4=，∴当x=2时，△EPC的面积最大，∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
∵K是CB的中点，∴k（，﹣）．
∵点H与点K关于CP对称，∴点H的坐标为（，﹣）．
∵点G与点K关于CD对称，∴点G（0，0），∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH，∴GH= =3，∴KM+MN+NK
的最小值为3．
（3）如图3所示：
∵y′经过点D，y′的顶点为点F，∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，∴G（2，），∴FG= =，∴当FG=FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y=对称，∴点Q″（3，）．
当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=，∴点Q1的坐标为（3，）．
综上所述，点Q的坐标为（3，）或′（3，）或（3，）或（3，）．
考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．分类讨论；4．存在型；5．压轴题．
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