河南师大附中2017-2018学年高三8月第一次月考
数学（理）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数（其中是虚数单位），那么的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3. 展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A．6 B．-6 C． 24 D． -24
4.命题“，”的否定是（ ）
A． B．
C. D．
5.某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（ ）
A．9,18,3 B． 10,15,5 C. 10,17,3 D．9,16,5
6.把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（ ）
A． B． C. D．
7.已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点，它们的夹角为，平面区域由所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为（ ）
A． B． C. D．
8.函数，给出下列四个命题：
①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是，其中，正确的命题的序号是（ ）
A．①② B．②③ C. ①④ D．③④
9.已知，则的值为（ ）
A． B． C. D．
10.若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. 2 D．
11.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（ ）
A． B． C. D．-4
12.对于函数和，设，，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与
互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.椭圆：的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为 ．
14.连掷两次骰子得到的点数分别为和，若记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是 ．
15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：
货物
体积（升/件）
重量（公斤/件）
利润（元/件）
甲
20
10
8
乙
10
20
10
运输限制
110
100
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为 ．
16.已知分别为内角的对边，，且，则面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设数列的前项和为，， .
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由.
18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.
（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）
19. 如图，已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求到平面的距离；
（3）求二面角的平面角的余弦值.
20. 已知抛物线：，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：.
21. 设，.
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论在区间上的极值点个数；
（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线：，：，：，设与交于点.
（1）求点的极坐标；
（2）若直线过点，且与曲线交于两不同的点，求的最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若函数的定义域为，试求的取值范围.
试卷答案
一、选择题 CAABA DDADA AD
二、填空题 13. 14. 15.62 16.
三、解答题
17．（1），，
所以时，
两式相减得：
即，也即，
所以是等差数列，
所以．
（2），
所以，
，
所以
所以，所以
即当时，．
18．【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；
又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），
而个样本小球重量的平均值为：（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，
则.的可能取值为、、、，
，，
，.
的分布列为：
.
（或者）
19．解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A1ACC1⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A1ACC1，
∴BC⊥AC1，
∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，
∴AC1⊥平面A1BC。
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC1⊥平面A1BC，
∴AC1⊥A1C，
∴四边形A1ACC1是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A1AD=60°，
∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），
∴=（1，0，），=（-2，2，0），
设平面A1AB的法向量=（x，y，z），
∴，
令z=1，
∴=（，，1），
∵=（2，0，0），
∴，
∴C1到平面A1AB的距离是
（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），
∴，
设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，
∴，
∴二面角A-A1B-C的余弦值为
20．I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．
∴，．
∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，
∴．∴，得 x1x2=4．
由，化为，
其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0
∴x1+x2=，x1x2=．
∴p=4，抛物线C：y2=8x．
（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，
∴，．
∴直线OD的斜率为．
直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，
得．∴．
∵k2＞0，∴
21.解：（1）当时：，（）
故
当时：，当时：，当时：．
故的减区间为：，增区间为
（2）
令，故,,
显然，又当时：．当时：．
故，，．
故在区间上单调递增，
注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定． ……5分
①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．
②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．
综上：当或时：在上无极值点．
当时：在上有唯一极值点．
（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，
由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：
…（*）同时成立．
联立得：，即代入（*）可得．
令，．
则，，当 时 （2）．
故在上单调递减．又， ．
故在上存在唯一零点．
即当时，单调递增．当时，单调递减．
因为，．
故在上无零点，在上有唯一零点．
由观察易得，故，即：．
综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．
请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22．解：（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为
（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则
当时，，有最小值
23. (1)当时,.由可得,
或或,解得或
即函数的定义域为
(2)依题可知恒成立,即恒成立,
而当且仅当即时取等号,所以
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