数学学科参考答案及评分建议
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1． 已知集合，，则集合= ▲ ．
【答案】
2． 已知复数（i为虚数单位），则复数z的模为 ▲ .
【答案】
3． 某中学组织学生参加社会实践活动，高二（1）班50名学生参加活动的次数统计如下：
次数
2
3
4
5
人数
20
15
10
5
（第4题）
N
开 始
a < 15
Y
输出b
b←b＋2
结 束
a←0，b←1
a←4a+1
则平均每人参加活动的次数为 ▲ .
【答案】3
4． 如图是一个算法流程图，则输出的b的值为 ▲ ．
【答案】7
5． 有数学、物理、化学三个兴趣小组，甲、乙两位同学各随机参
加一个，则这两位同学参加不同兴趣小组的概率为 ▲ ．
【答案】
6． 已知正四棱柱的底面边长是3 cm，侧面的对角线长是cm，
则这个正四棱柱的体积为 ▲ cm3．
【答案】
7． 若实数满足，则的最小值为 ▲ ．
【答案】
8． 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的准线为l，直线l与双曲线
的两条渐近线分别交于A，B两点，，则的值为 ▲ ．
【答案】
9． 在平面直角坐标系xOy中，已知直线与曲线相切于
点，则的值为 ▲ ．
【答案】
10．已知数列是等比数列，有下列四个命题：
①数列是等比数列； ②数列是等比数列；
③数列是等比数列； ④数列是等比数列．
其中正确的命题有 ▲ 个．
【答案】
11．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a的值为 ▲ ．
【答案】2
12．在平面四边形中，，则的最小
值为 ▲ ．
【答案】
13．在平面直角坐标系xOy中，圆，圆．若存在过点的直线l，l被两圆截得的弦长相等，则实数m的取值范围是 ▲ ．
【答案】
14．已知函数．若…，则满足的的值为 ▲ ．
【答案】337
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．
15．（本小题满分14分）
（第15题）
A
B
C
D
P
M
N
如图，在四棱锥中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA=DP．
求证：（1）MN∥平面PBC；
（2）MD⊥平面PAB．
【证明】（1）在四棱锥中，M，N分别为
棱PA，PD的中点，
所以MN∥AD．……………………2分
又底面ABCD是矩形，
所以BC∥AD．
所以MN∥BC．…………………………………………………………………4分
又
所以MN∥平面PBC． ………………………………………………………6分
（2）因为底面ABCD是矩形，
所以AB⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，AB底面ABCD，
所以AB⊥侧面PAD．…………………………………………………………8分
又MD侧面PAD，
所以AB⊥MD． ………………………………………………………………10分
因为DA=DP，又M为AP的中点，
从而MD⊥． ……………………………………………………………12分
又，AB在平面PAB内，，
所以MD⊥平面PAB．………………………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，，．
（1）求角的值；
（2）若，求△ABC的面积．
【解】（1）在△ABC中，因为，，
所以．……………………………………………………2分
因为，
由正弦定理，得．
所以． ………………………………………………………………… 4分
若，则，与矛盾，故．
于是．
又因为，
所以． ……………………………………………………………………7分
（2）因为，，
由（1）及正弦定理，得，
所以． ……………………………………………………………………9分
又
．……………………………………………12分
所以△的面积为.……14分
17．（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为，右顶点为，
上顶点为．
（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；
（2）已知△外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值．
x
O
F
A
B
（第17题）
y
【解】（1）因为椭圆的离心率为，
所以，则．
因为线段中点的横坐标为，
所以．
所以，则，．
所以椭圆的标准方程为． …………………………………………………4分
（2）因为，
所以线段的中垂线方程为：．
又因为△外接圆的圆心C在直线上，
所以．………………………………………………………………6分
因为，
所以线段的中垂线方程为：．
由C在线段的中垂线上，得，
整理得，，…………………………………………………………10分
即．
因为，所以．…………………………………………………………12分
所以椭圆的离心率． ………………………………………14分
18．（本小题满分16分）
如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和
，上部是圆心为的劣弧，．
（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；
（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，
图1
（第18题）
图2
图3
图4
如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面
的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．
【解】（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的
长即为拱门最高点到地面的距离．
在中，，，
所以，圆的半径．
所以．
答：拱门最高点到地面的距离为． …………………4分
（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．
当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；
当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．
由（1）知，在中，．
x
y
以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．
（2.1）当点在劣弧上时，．
由，，
由三角函数定义，
得，
则．……………………8分
所以当即时，
取得最大值． ………………………………………………10分
y
x
（2.2）当点在线段上时，．
设，在中，
，
．
由，得．
所以．………………………………14分
又当时，．
所以在上递增．
所以当时，取得最大值．
因为，所以的最大值为．
答：；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地
面距离的最大值为（）． ………………………………………16分
19．（本小题满分16分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．
① 求实数的取值范围；
② 证明：．
【解】（1）的定义域为，且．
（1.1）当时，成立，所以在为增函数； …2分
（1.2）当时，
（i）当时，，所以在上为增函数；
（ii）当时，，所以在上为减函数．…4分
（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；
当时，的最小值为，
依题意知，解得．……………………………6分
一方面，由于，，在为增函数，且函数的图
象在上不间断．
所以在上有唯一的一个零点．
另一方面， 因为，所以．
，令，
当时，，
所以
又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．
所以在有唯一的一个零点．
综上，实数的取值范围是．………………………………………10分
② 设．
又 则．…………………………………12分
下面证明．
不妨设，由①知．
要证，即证．
因为，在上为减函数，
所以只要证．
又，即证．………………………………14分
设函数．
所以，所以在为增函数.
所以，所以成立．
从而成立.
所以，即成立. …16分
20．（本小题满分16分）
已知等差数列满足，前8项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足．
① 证明：为等比数列；
② 求集合．
【解】（1）设等差数列的公差为d．
因为等差数列满足，前8项和，
所以，解得
所以数列的通项公式为． ………………………………………3分
（2）①设数列前项的和为．
由（1）及得，
由③-④得
．
所以，
又，所以，满足上式．
所以…………………………………………6分
当时，
由⑤-⑥得，．…………………………………………………8分
，
所以，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列．…………………………10分
②由，得，即．
记，由①得，，
所以，所以（当且仅当时等号成立）．
由，得，
所以．……………………………………………………………………12分
设，由，得．
当时，，不合题意；
当时，，此时符合题意；
当时，，不合题意；
当时，，不合题意．
下面证明当时，．
不妨设，
，
所以在上单调增函数，
所以，
所以当时，，不合题意．
综上，所求集合．……………16分
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答．
若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵，，且，求矩阵．
【解】由题意，，则． ………………………………4分
因为，则．………………………………………………6分
所以矩阵．…………………………………………10分
B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，
x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
求：（1）直线l的直角坐标方程；
（2）直线被曲线C截得的线段长．
【解】（1）直线l的极坐标方程可化为，即．
又，
所以直线l的直角坐标方程为． ……………………4分
（2）曲线C: （为参数）的普通方程为．
由，得，
所以直线l与曲线C的交点，． ……………………8分
所以直线被曲线C截得的线段长为．……10分
C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）
已知实数满足，求证：．
【证明】由柯西不等式，得
，…………………………5分
所以． ……………………10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分10分)
“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位
“回文数”共9个：11，22，33，…，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，
其结果记为X；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y．
（1）求X为“回文数”的概率；
（2）设随机变量表示X，Y两数中“回文数”的个数，求的概率分布和数学期望．
【解】（1）记“X是‘回文数’”为事件A．
9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为：44，88，132，176，220，264，308，
352，396．其中“回文数”有：44，88．
所以，事件A的概率．………………………………………………3分
（2）根据条件知，随机变量的所有可能取值为0，1，2．
由（1）得．……………………………………………………………5分
设“Y是‘回文数’”为事件B，则事件A，B相互独立．
根据已知条件得，．
；
；
………………………………………………8分
所以，随机变量的概率分布为
0
1
2
P
所以，随机变量的数学期望为．………10分
23．(本小题满分10分)
设集合是集合…，的子集．记中所有元素的
和为（规定：为空集时，=0）．若为3的整数倍，则称为的“和谐子集”．
求：（1）集合的“和谐子集”的个数；
（2）集合的“和谐子集”的个数．
【解】（1）集合的子集有：，，，，，，，．
其中所有元素和为3的整数倍的集合有：，，，．
所以的“和谐子集”的个数等于4．………………………………………3分
（2）记的“和谐子集”的个数等于，即有个所有元素和为3的整数倍的子集；
另记有个所有元素和为3的整数倍余1的子集，有个所有元素和为3的整数
倍余2的子集．
由（1）知，．
集合的“和谐子集”
有以下四类（考察新增元素）：
第一类 集合…，的“和谐子集”，共个；
第二类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；
同时含两个元素的“和谐子集”，共个；
同时含三个元素的“和谐子集”，共个；
第三类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；
同时含两个元素的“和谐子集”，共个；
第四类 仅含一个元素的“和谐子集”，共个；
同时含有两个元素的“和谐子集”，共个，
所以集合的“和谐子集”共有个．
同理得，．…………………………7分
所以，，
所以数列是以2为首项，公比为2 的等比数列．
所以．同理得．
又，所以． ………………10分
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